183458 (Економіко–математичне моделювання), страница 9

Задача побудови класу функцій, на якому відповідні метрики еквівалентні, зводиться тим самим до вивчення структури послідовностей Е.

Визначення 2. Множина G називається групою, якщо для будь-яких двох елементів а, b цієї множини однозначно визначений третій елемент з цієї множини (тобто введена бінарна операція, що позначається, наприклад, ) з наступними властивостями:

1. - асоціативність.

1. В G є елемент О, званий нулем, такий, що для будь-якого елемента a із G справедлива рівність .

1. Для кожного елемента а існує протилежний (зворотний) елемент –а такий, що .

Групи, для яких для будь-кого а, в із G, називаються комутативними (або абелевими) групами. Нижче ми обмежимося розглядом лише абелевих груп. Прикладом некомутативної групи є, наприклад, група підстановок кінцевої множини, або група лінійних перетворень евклідова простору. Разом з групою підмножин кінцевої множини (індикаторів) ми розглянемо також кінцеву циклічну групу і групу дійсних чисел відрізка [0, 2л] з операцією складання по модулю 2тс.

Визначення 3. Симетричною різницею множин А і В (позначається ) називається така множина З, яке складається з елементів, що належать рівно одній з множин А і В. Легко бачити, що .

Визначення 4. Групи G і Н називаються ізоморфними, якщо існує таке взаємно однозначна відповідність φ між цими групами, яка зберігає групову операцію, тобто для будь-кого а, в G .

Визначення 5. Лінійним простором Е над полем з двох елементів (0, 1) називається безліч всіх n - рядків ( ) з покоординатним складанням модулю 2, де ( ) рівні 0 або 1.

Добре відомо, що група підмножин початкової кінцевої множини по операції симетричної різниці ізоморфна як група лінійному простору над полем з двох елементів. Відомо також, що в такому середовищі можна ввести другу операцію - множення - певним чином злагоджену з складанням, внаслідок чого подібна структура називається ще кінцевим полем, або полемо Галуа (на ім'я видатного французького математика Еваріста Галуа, що застосував їх властивості для вирішення питання про можливості розв’язання рівнянь алгебри в радикалах).

Основна ідея аналізу - апроксимація функцій довільної природи Битвами, що складаються з функцій більш простої природи, реалізується за рахунок вибору як такий основний набір системи мультиплікативних функцій.

Визначення 6. Характером групи З називають таку комплекснозначну функцію, яка задовольняє функціональному рівнянню: .

Як показано в роботі, групою характерів групи підмножин кінцевої множини по операції симетричної різниці є система функцій Уолша, про яку мова піде нижчим. В цій же роботі показано, що групою характерів безлічі дійсних чисел відрізка [0, 2π] з операцією складання по модулю 2к є класична система ортогональних функцій , а групою характерів кінцевої циклічної групи з n елементів є безліч коренів n-й ступінь з 1:

.

Саме ці групи ми і використовуємо надалі для характеристики політичного процесу як функції політичних індикаторів. При цьому континуальний випадок є природним узагальненням дискретного випадку в припущенні ухвалення концепції актуальної нескінченності для безлічі політичних індикаторів, що представляється самим загальним випадком. Крім того, з тригонометричною системою пов'язана, як вже наголошувалося, класична проблема представлення функції (суперечка Ейлера і Д'Аламбера). Нижче за показ? але, як метричні задачі для загальних тригонометричних рядів будуть зведені до вивчення рядів (насправді, кінцевих ідемпотентних поліномів) за системою характерів кінцевої циклічної групи.

На базі наступної допоміжної леми здійснено зведення метричних задач до вивчення властивостей ідемпотентних поліномів, які можна також потрактувати як тригонометричні суми або їх аналог за системою Уолша.

Лема. Хай функція . Якщо, то існує постійна С > 0 така, що для будь-якої вимірної множини , . Назад, якщо існує постійна С > 0 така, що для будь-якої вимірної множини , для деякого ε > 0, то функція , при будь-кому р, 0 < р < 1 + е, причому при р = 0 твердження втрачає силу. Крім того, функція f(x) істотно обмежена на [0,2л] тоді і тільки тоді, коли існує постійна С>0 така, що для будь-якої вимірної множини , .

Доведення: Хай , , тоді:

.

і в одну сторону затвердження леми доведено.

Хай тепер для будь-якої вимірної множини Е, , і деякого . Хай , .

Якщо f(x) - дійснозначна функція, то:

.

Якщо f(x) = u(x)+iv(x), то:

; ;

і значить:

.

Нехай ,

k=1,2, ..., і хай , р>0, р<1+ε.

Тоді:

(1)

Легко бачити, що для k = 1,2....

,

тому:

(2)

Зіставляючи (1) і (2), маємо:

будь-яке , тобто , що і вимагалося довести.

Те, що твердження втрачає силу при р = 0, видно на прикладі функції .

Для цієї функції:

, але .

Нарешті, якщо , то:

то

Якщо ж, навпаки, функція f(x) така, що:

,

то:

звідки при всіх k=l, 2,.... Це можливо лише у випадку, коли починаючи з деяким k₀, при всіх k>k₀, тобто у разі, коли функція f(x) істотно обмежена, і лема повністю доведена.

Теорема 1. Якщо послідовність цілих чисел

то існує постійна , така, що для будь-кого натурального числа р і будь-якого полінома , де або ,

справедлива нерівність:

(3)

Назад, якщо для послідовності {n_k} існує постійна С > 0, така, що для будь-кого натурального р і для будь-якого полінома , або , , справедлива оцінка (3), то послідовність для любого .

Доведення: Доведемо спочатку необхідність.

Хай:

де

Утворюємо множину Е на відрізку [0,2π] таким чином:

Оцінимо інтеграл по множині Е від функції , де коефіцієнти a_k підберемо пізніше:

тобто:

(4)

Хай тепер f(x) вибрана так, що:

(5)

Тоді в силу (4) маємо:

(6)

Оскільки , то існує постійна , така, що:

(7)

З другого боку, зважаючи на нерівність маємо в силу (6)

(8)

Зіставляючи (7) і (8), одержуємо:

і нерівність (З) доведена з постійною:

Доведемо тепер достатність. Хай для послідовності {n_k} справедлива нерівність (3) всякий раз, коли число р і поліном R(x) вибрано в відповідності з умовою теореми. Доведемо, що всяка функція:

належатиме і простору для будь-яке ρ (0,2 + ε), звідси і витікатиме, що послідовність при будь-яке .

Хай спочатку f(x) - поліном і хай:

(9)

З рівності (4) виходить, що:

(10)

Використовуючи (3) і (10), маємо:

(11)

Нерівність (11), будучи виконано для фіксованої функції

і всіх простих множин Е з достатньо дрібними становлячими інтервалами, очевидно, буде виконано для цієї ж функції і для будь-яких вимірних множин Е на відрізку [0,2л]. Але тоді нерівність

(11) буде виконано і для будь-яких функцій f(x) вигляду

і будь-яких вимірних множин Е. По лемі [*=1 для будь-яких , і теорема 1 повністю доведена.

Теорема 2. Хай , ε>0 за системою Уолша, тоді існує постійна С>0, така, що для будь-кого натурального р = 2ⁿ і будь-якого полінома:

справедлива нерівність:

(12)

Назад, якщо для послідовності {n_k} існує постійна С > 0, така, що для будь-кого натурального р = 2ⁿ і будь-якого полінома:

справедлива оцінка (12), то послідовність для будь-кого ρ, .

Доведення. Доведемо спочатку необхідність.

Хай:

Утворюємо множину:

Хай далі:

Оцінимо , тоді:

(13)

Помітимо тепер, що на інтервалі цифри х в двійковому розкладанні до номера n співпадають з відповідними цифрами у числа , якщо не допускати в двійковому розкладанні нескінченних послідовностей одиниць.

Хай:

Тоді, як відомо:

якщо Тому:

і в силу (13):

(14)

Якщо у визначенні функції f(х) покласти:

то нерівності (13) і (14) звернуться в рівність.

Для такої функції маємо в силу (14) і умови теореми:

звідки:

або:

що і доводить необхідність теореми.

Доведемо тепер достатність. Хай для послідовності {n_k} справедлива нерівність (12) при будь-кому р=2ⁿ і поліномі:

або

Тоді для полінома:

і множини:

справедлива оцінка (14), тобто:

(15)

Через умову теореми права частина нерівності (15) не перевершує величини:

тобто:

(16)

Оцінка (16), будучи справедлива для простих множин Е з умовою , розповсюджується для фіксованого полінома f(х) і на довільні вимірювання множини , а, отже, і на довільні функції

з умовою . Через лему нерівність (16) тягне за собою

умова при всіх , тобто при

всіх .

Теорема повністю доведена.

Наступні два кількісні результати торкаються густини лакунарних послідовностей Уолша і розподілу значень іденпотентних поліномів (терезів лінійних кодів). Ці оцінки представляють як самостійний інтерес (перша з них значно усилює аналогічний результат А. Бонами так і можуть мати додаток в загальній математичній теорії кодування Л передачі інформації.

Теорема 3. Хай Е_n n-мірне лінійний простір над полем з двох елементів. - пряма сума двох екземплярів цього простору, яке ми потрактуємо так само, як безліч всіх пар (а, b), де а, b – елементи Е_n.

Тоді безліч U всіх пар вигляду (а, а^-1), де і символом а^-1 позначений елемент, зворотний до елемента а в полі Е_n має потужність 2ⁿ-1, лежить в лінійному просторі W_2n потужності 2²ⁿ. Іншими словами, множина U є щільним B₂ (або (4)) множиною в тому значенні, що на ньому досягається верхня грань густини В3-последовательностей.

Доведення. Допустимо осоружне, тоді знайдуться такі 4 різний елемента а, b, c, d з U, що: