1 (Математическая постановка транспортной задачи линейного программирования)

20

Содержание

Введение 2

1. Постановка задачи и ее математическая модель 3

2. Модели транспортной задачи 7

2.1. Закрытая модель транспортной задачи 7

2.2. Открытая модель транспортной задачи 8

3. Определение оптимального и опорного плана транспортной задачи 10

4. Методы определения первоначального опорного плана 12

4.1. Метод минимального элемента 12

4.2. Метод аппроксимации Фогеля 14

5. Методы определения оптимального плана 16

5.1. Венгерский метод 16

5.2. Метод потенциалов 17

Список использованной литературы 19

Введение

Транспортная задача линейного программирования получила в настоящее время широкое распространение в теоретических обработках и практическом применении на транспорте и в промышленности. Особенно важное значение она имеет в деле рационализации постановок важнейших видов промышленной и сельскохозяйственной продукции, а также оптимального планирования грузопотоков и работы различных видов транспорта.

Кроме того, к задачам транспортного типа сводятся многие другие задачи линейного программирования - задачи о назначениях, сетевые, календарного планирования.

Цель заданной работы - освоить математическую постановку транспортной задачи линейного программирования.

1. Постановка задачи и ее математическая модель

Транспортная задача является частным типом задачи линейного программирования и формулируется следующим образом. Имеется m пунктов отправления (или пунктов производства) А_i …, А_m, в которых сосредоточены запасы однородных продуктов в количестве a₁, ..., а_m единиц. Имеется n пунктов назначения (или пунктов потребления) В₁, ..., В_m, потребность которых в указанных продуктах составляет b₁, ..., b_n единиц. Известны также транспортные расходы С_ij, связанные с перевозкой единицы продукта из пункта A_i в пункт В_j, i 1, …, m; j 1, ..., n. Предположим, что

т. е. общий объем производства равен общему объему потребления. Требуется составить такой план перевозок (откуда, куда и сколько единиц продукта везти), чтобы удовлетворить спрос всех пунктов потребления за счет реализации всего продукта, произведенного всеми пунктами производства, при минимальной общей стоимости всех перевозок. Приведенная формулировка транспортной задачи называется замкнутой транспортной моделью. Формализуем эту задачу.

Пусть х_ij - количество единиц продукта, поставляемого из пункта А_i в пункт В_j. Подлежащие минимизации суммарные затраты на перевозку продуктов из всех пунктов производства во все пункты потребления выражаются формулой:

(1)

Суммарное количество продукта, направляемого из каждого пункта отправления во все пункты назначения, должно быть равно запасу продукта в данном пункте. Формально это означает, что

, i 1, …, m (2)

Суммарное количество груза, доставляемого в каждый пункт назначения из всех пунктов отправления, должно быть равно потребности. Это условие полного удовлетворения спроса:

, j 1, …, n (3)

Объемы перевозок - неотрицательные числа, так как перевозки из пунктов потребления в пункты производства исключены:

x_ij 0, i 1, ..., m; j 1, ..., n (4)

Транспортная задача сводится, таким образом, к минимизации суммарных затрат при выполнении условий полного удовлетворения спроса и равенства вывозимого количества продукта запасам его в пунктах отправления.

Определение 1.

Всякое неотрицательное решение системы линейных уравнений

, j 1, …, n и , i 1, …, m,

определяемое матрицей X=(x_ij)(i 1, …, m; j 1, ..., n), называется планом транспортной задачи.

Определение 2.

П лан X*=(x*_ij)(i 1, …, m; j 1, ..., n), при котором функция

принимает свое минимальное значение, называется оптимальным планом транспортной задачи.

Обычно исходные данные записываются в виде таблицы 1.

Таблица 1.

Очевидно, общее наличие груза у поставщиков равно , а общая потребность в грузе в пунктах назначения равна единице. Если общая потребность в грузе в пунктах назначения равна запасу груза в пунктах отправления, т.е.

, (5)

то модель такой транспортной задачи называется закрытой.

В ряде случаев не требуется, чтобы весь произведенный продукт в каждом пункте производства был реализован. В таких случаях баланс производства и потребления может быть нарушен:

, i 1, ..., m.

Введение этого условия приводит к открытой транспортной модели.

Теорема 1.

Любая транспортная задача, у которой суммарный объем запасов совпадает с суммарным объемом потребностей, имеет решение.

2. Модели транспортной задачи

2.1. Закрытая модель транспортной задачи

Для доказательства теоремы необходимо показать, что при заданных условиях существует хотя бы один план задачи и линейная функция на множестве планов ограничена.

Доказательство. Пусть = M > 0 .

Тогда величины x_ij = a_ib_j /M (i = 1,2,3, ... m; j = 1,2,3, ..., n) являются планом, так как они удовлетворяют системе ограничений

( 2 ) и ( 3 ) .

Действительно, подставляя значения в (2) и (3) , находим

= a_i ,

= b_j .

Выберем из значений C_ij наибольшее C = max C_ij и заменим в линейной функции ( 1 ) все коэффициенты на C тогда, учитывая ( 2 ) , получим

,

Выберем из значений C_ij наименьшее C=min C_ij и заменим в линейной функции все коэффициенты на C ; тогда, учитывая ( 2 ) имеем

Объединяя два последних неравенства в одно двойное , окончательно получаем

CM ? Z ? C M,

т. е. линейная функция ограничена на множестве планов транспортной задачи.

2.2. Открытая модель транспортной задачи

Транспортная задача, в которой суммарные запасы и потребности не совпадают, т. е. не выполняется условие , называется открытой. Для открытой модели может быть два случая:

1. суммарные запасы превышают суммарные потребности ;

2. суммарные потребности превышают суммарные запасы .

Линейная функция одинакова в обоих случаях, изменяется только вид системы ограничений.

Найти минимальное значение линейной функции

при ограничениях

, i = 1, 2, ..., m, (случай а)

, j = 1, 2, ..., n;

, i = 1, 2, ..., m, (случай б)

, j = 1, 2, ..., n,

x_ij  0 (i = 1, 2, ..., m; j = 1, 2, ..., n).

Открытая модель решается приведением к закрытой модели.

В случае (а), когда суммарные запасы превышают суммарные потребности, вводится фиктивный потребитель B_n+1, потребности которого b_n+1 = . В случае (б), когда суммарные потребности превышают суммарные запасы, вводится фиктивный поставщик A_m+1, запасы которого a_m+1 = .

Стоимость перевозки единицы груза как фиктивного потребителя, так и стоимость перевозки единицы груза от фиктивного поставщика полагают равными нулю, так как груз в обоих случаях не перевозится.

После преобразований задача принимает вид закрытой модели и решается обычном способом. При равных стоимостях перевозки единицы груза от поставщиков к фиктивному потребителю затраты на перевозку груза реальным потребителям минимальны, а фиктивному потребителю будет направлен груз от наименее выгодных поставщиков. То же самое получаем и в отношении фиктивного поставщика.