Imitac (Имитационное моделирование), страница 2

3. Провести горизонтальную прямую от точки на оси ординат соответствующей выбран­ному случайному числу, до пересечения с кривой распределения вероятностей.

4.Опустить из этой точки пересечения перпендикуляр на ось абсцисс.

5.Записать полученное значение х. Далее оно принимается как выборочное значение.

б.Повторить шаги 2-5 для всех требуемых случайных переменных, следуя тому порядку, в котором они были записаны. Общий смысл легко понять с помощью простого примера: количе­ство звонков на телефонную станцию в течение 1 минуты соответствует следующему распреде­лению:

Кол - во звонков Вероятность Кумулятивная вероятность
О 0,10 0,10

1 0,40 0,50

2 0,30 0,80

3 0,15 0,95

4 0,05 1,00

Предположим, что мы хотим провести мысленный эксперимент для пяти периодов времени.

Построим график распределения кумулятивной вероятности. С помощью генератора слу­чайных чисел получим пять чисел, каждое из которых используем для определения количества звонков в данном интервале времени.

Период времени Случайное число Количество звонков

1 0,09 О

2 0,54 2

3 0,42 1

4 0,86 3

5 0,23 1

Взяв еще несколько таких выборок, можно убедиться в том, что если используемые числа действительно распределены равномерно, то каждое из значений исследуемой величины будет появляться с такой же частотой, как ирреальном мире», и мы получим результаты, типичные для поведения исследуемой системы.

Вернемся к примеру. Для расчета нам нужно было выбирать случайные

точки в единичном квадрате. Как это сделать физически?

Представим такой эксперимент. Рис.1. (в увеличенном масштабе) с фигурой

S и квадратом повешен на стену в качестве мишени. Стрелок, находившийся

на некотором расстоянии от стены, стреляет N раз, целясь в центр квадрата.

Конечно, все пули не будут ложиться точно в центр: они пробьют на мишени N случайных точек. Можно ли по этим точкам оценить площадь S.

Результат такого опыта показан на рис. 2.(см. Приложение 2)

Ясно, что при высокой квалификации стрелка результат опыта будет очень плохим, так как почти все пули будут ложиться вблизи центра и попадут в S.

Нетрудно понять, что наш метод вычисления площади будет справедлив только тогда, когда случайные точки будут не просто «случайными», а еще и «равномерно разбросанными» по всему квадрату.

В задачах исследования операций метод Монте-Карло применяется в

трех основных ролях:

1. при моделировании сложных, комплексных операций, где

присутствует много взаимодействующих случайных факторов;

1. при проверке применимости более простых, аналитических

методов и выяснении условий их применимости;

1. в целях выработки поправок к аналитическим формулам типа

«эмпирических формул» в технике.

Пример. Оценка геологических запасов.

Для оценки величины извлекаемых запасов необходимо, прежде всего, определить вели­чину суммарных или геологических запасов.

Анализ структурных ловушек.

Для оценки содержания в структурной ловушке нефти и/или газа, поисковые и промысло­вые геологи и геофизики должны изучить характер структурной ловушки. Такое исследование необходимо для определения возможной величины геологических запасов. Область изменения запасов определяется комбинацией следующих оценочных показателей: объем осадочных по­род (RV), пористости (F), перовой водонасыщенности (S_w), эффективная мощность (NP) g.

Определение вероятных значений параметра.

На этом этапе геологи должны оценить значение вероятностей для параметров, исполь­зуемых при подсчете геологических запасов. Каждому параметру приписываются интерваль­ные значения вероятностей, исходя из экспертных оценок геологов..

Анализ графиков вероятности.

Графики, показанные на рис. 1,2,3,4,5 являются графиками накопленной вероятности. Не­прерывная кривая представляет вероятность того, что величина рассматриваемого параметра будет «равна или больше» чем величина в той точке горизонтальной оси, которая пересекается вертикальной линией, проектируемой от кривой, с перпендикуляром к вертикальной оси для любых значений от 0 до 100 %. Кривая построена по данным гистограмм, которые показаны как заштрихованные столбики. Гистограммы представляют собой экспертную оценку поиско­вых и промысловых геологов и геофизиков, которые обеспечивают информацию в следующей форме:

- по нашему мнению , вероятность того, что объем пород залежи находиться в интервале от 0 до 390 тыс. футов составляет 10%;

- по нашей оценке вероятность того, что объем пород равен от 380 до 550 куб. футов , составля­ет 15% и так далее.

Эти оценки геологов накапливаются, и в итоге получается обобщенная кривая вероятно­сти . На основании этой кривой можно экстраполировать значения ожидаемых вероятностей для изучаемых параметров.

Подсчет геологических запасов.

Объем геологических запасов вычисляется с помощью следующей формулы:

RVxFx(l-S_w)x NPx —, где F_v - коэффициент приведения нефти к поверхностным ус­ловиям.

Использование средних величин для получения приблизительной оценки геологических запасов.

При оценке приблизительного количества нефти в месторождении будем использовать следующие значения параметров:

- среднее значение объема пород составляет 1,35 млн. акрофутов (1 акрофут = 7760 бар­релей или около 1230 м³)

- средняя пористость - 17%

- средняя водонасыщенность - 20%

- средняя эффективная мощность - 75%

- коэффициент приведения - 1,02 (в пластовых условиях нет свободного газа). Теперь подставим эти значения в формулу

(1,35 х 1 0) х (1 7%) х (1 - 20%) х (75%) х ( ,т.е.:1350000x0,17x0,8x0,75x0,98) = 134946 акрофутов или 134946x7760 = 1047413760,

т. е. при­близительно 1,047 млрд. баррелей нефти (165 млн. м³, 141 млн.т).

Более распространенный способ: метод Монте-Карло.

Прежде всего, необходимо построить гистограммы и кривые накопленной вероятности для каждого параметра.

Для каждой из этих кривых случайным образом необходимо выбрать точку, соответст­вующую вероятности от 0 до 100 %. После этого надо подставить значение параметра, соответ­ствующее этой вероятности в уравнение. Затем можно подсчитать геологические запасы при этих значениях параметров и вычислить полную вероятность

Например , случайным образом выберем из рис 1,2,3,4-

- для 50%-ой накопленной вероятности имеем 25%-ю вероятность того, что объем пород соста­вит 690000 акрофутов

- для 20%-ой накопленной вероятности имеем 35%-ю вероятность того, что пористость соста­вит 21%

- для 25%-ой накопленной вероятности имеем 25%-ю вероятность того, что водосодержание равно 33%

- 80%-я накопленная вероятность показывает 32%-ю вероятность того, что эффективная мощ­ность составит 74%.

- коэффициент приведения нефти к поверхностным условиям принимаем равным 1,02.

Используя эти значения, вычислим геологические запасы:

(0,69 х 1 0) х (2 1 %) х (l - 33%) х (74%) х —— решив, получим приблизительно :

521 млн. баррелей нефти (82 млн.м³, 70 млн.т ). Результат этого вычисления значительно мень­ше, чем при использовании средних значений параметров. Нам нужно узнать вероятность этого результата. Для определения вероятности того, что геологические запасы составят 521 млн. баррелей нефти, вычислим полную вероятность:

0,25 х 0,35 х 0,20 х 0,35 х 1,0 = 0,006125 ,т.е. вероятность равна 0.6125% - не очень хорошая!

Эта процедура повторяется многократно, для чего мы использовали программу, состав­ленную для ЭВМ. Это дает нам разумное вероятностное распределение геологических запасов. В результате выполнения программы прогнозировали объем геологических запасов нефти: наиболее вероятно, что объем нефти составит 84658 акрофутов или около 88,5 млн.тонн.

Использование распределения накопленной вероятности.

На следующем этапе , используя график, необходимо выбрать несколько оценок вместе с их вероятностями. Для каждого из этих значений вычисляются: динамика добычи, варианты проекта разработки. Эти расчеты могут затем использоваться для оценки капитальных эксплуатационных затрат для каждого значения запасов, выбранных из графика. Затем для каждого значения запасов анализируются экономические показатели. По прошествии некоторого време­ни, и после того, как будет пробурено некоторое количество скважин, рассчитывается коэффи­циент успешности по формуле.

Коэффициент успешности = кол-во скважин давш. нефть\ кол-во пробур. скважин

За период в течение нескольких лет составляется график вероятности достижения успеха. Например, для условной площади, график коэффициента успешности составлен по прошествии девяти лет эксплуатации. Через соответствующие значения успешности проводятся условные линии, затем через их центры проводится огибающая кривая. Крайние точки этих линий соот­ветствует максимальному уровню успешности, а центральная кривая соответствует наиболее вероятному уровню достижения успеха Значения вероятностей определяется на основе субъек­тивных суждений промысловых геологов.

Аналогично определяется уровень запасов на одну скважину. С помощью коэффициента успешности и средних запасов на одну скважину оценивается вероятность достижения опреде­ленного уровня запасов, необходимая для составления программы бурения и определения ко­личества необходимых скважин.

Вывод.

Основным недостатком аналитических моделей является то, что они неизбежно требуют каких-то допущений, в частности, о «марковости» процесса. Приемлемость этих допущений далеко не всегда может быть оценена без контрольных расчетов, а производят­ся они методом Монте-Карло. Образно говоря, метод Монте-Карло в задачах исследования операций играет роль своеобразного ОТК. Статистические модели не требуют серьезных допущений и упрощений. В прин­ципе, в статистическую модель «лезет» что угодно — любые законы распределения, любая сложность системы, множественность ее состояний. Главный же недостаток статистических моделей — их громоздкость и трудоем­кость. Огромное число реализации, необходимое для нахождения искомых параметров с приемлемой точ­ностью, требует большого расхода машинного време­ни. Кроме того, результаты статистического моделиро­вания гораздо труднее осмыслить, чем расчеты по аналитическим моделям, и соответственно труднее оп­тимизировать решение (его приходится «нащупывать» вслепую). Правильное сочетание аналитических и ста­тистических методов в исследовании операций — дело искусства, чутья и опыта исследователя. Нередко ана­литическими методами удается описать какие-то «под­системы», выделяемые в большой системе, а затем из таких моделей, как из «кирпичиков», строить здание большой, сложной модели.

Список используемой литературы:

1. Вентцель Е.С. «Исследование операций», Москва «Советское радио»

1972 г.

1. Соболь И.М. «Метод Монте-Карло», Москва «Наука»,1985 г.

1. «Экономико-математические методы и прикладные модели»,

под ред. Федосеева В.В. , Москва «Юнити» 2001 г.

10