157274 (Соотношение интуитивного и логического в математике), страница 2

логики предикатов. Он построил систему формализованной арифметики, тем

самым пытаясь обосновать идею сводимости значительной части математики к

чистой логике. Это направление получило название логицизм, который был

развит в работе "Принципы математики" англичанами Бертраном Расселом и

Альфредом Уайтхедом. В этом же направлении работали гениальные математики

Пеано (им создана знаменитая система аксиом Пеано для определения базового понятия математики - натурального числа и принципа математической индукции) и Гильберт, строго аксиоматически изложивший евклидову геометрию в своем труде "Основания геометрии"(1889). Надо сказать, что она была достаточно далека от той геометрии, которую до сих пор преподают в школах.

Однако с углублением формализации математики начали натыкаться на различные парадоксы, связанные с определениями абстрактных понятий, из которых наиболее известен парадокс Рассела в теории множеств. Возникла

ситуация, похожая на ситуацию с евклидовой геометрией. Опять еще более

остро стали философские вопросы обоснования математики и возможности

ее построения на чисто логико-аксиоматической основе.

В 1931 году

австрийский математик Курт Гедель доказал неполноту достаточно богатых

формальных систем, что и означало, что лейбницева программа полной

формализации мышления невозможна. Иначе говоря, существуют

предложения, которые формулируются в терминах данной теории, но

недоказуемы и неопровержимы в рамках этой теории. Эти исследования

наряду с исследованиями поляка Тарского и голландца Чёрча определили

современное состояние математической логики. На сегодняшний день

ситуация с классической логикой повторила ситуацию с евклидовой

геометрией. Созданы и развиваются интуиционистская и конструктивная

логики, основанные на отбрасывании или замене классических

аристотелевских законов логики. Ведутся исследования в области

многозначных, релевантных и модальных логик.

Итак, можно сказать, что в ходе развития математики все большее внимание уделялось строгости логики. Надо сказать, что это не является какой-то особенностью именно математики. Для примера можно взять юриспруденцию и сравнить законы, которые использовались в средние века, в Новое время и сегодняшний свод законов. Можно увидеть, что при сохранении основных идей (записанных еще в Библии --- не убий, не укради и т.д.) увеличивается детальность и логическая последовательность законов. Тем более это видно в естественных науках. Был момент, когда казалось, что все в математике можно свести к формальным правилам вычислений. Иначе говоря, можно было бы сконструировать некую машину, которая могла бы генерировать все теоремы и их доказательства, а нужда в математике-человеке с его интуицией бы отпала. Только в 30-х годах XX века вновь появилось понимание, что машина не может заменить человека в этой области знаний (и, по-видимому, ни в какой другой).

egincenter

f

О природе математического умозаключения

ndcenter

Сама возможность математического познания при рассмотрении ее с точки зрения логицизма кажется неразрешимым противоречием. Если все предложения в математике выведены одно из другого по правилам формальной логики, то верно ли, что вся математика сводится к бесконечному повторению и тавтологии? Ведь силлогизм Аристотеля не может научить ничему новому, и если все теоремы вытекают из закона тождества, то все должно к сводится к нему и к нескольким аксиомам, лежащим в основе математики. Правда, надо предположить или проверить, что эта система аксиом не сводится к закону противоречия.

Получается, что ни одна теорема не могла бы дать никаких новых знаний, если бы в ее доказательство не входила бы новая аксиома. Ведь сам силлогизм ничего не добавляет к тем данным, которые даются в посылке. Иначе говоря, вся математика сводилась бы к нескольким аксиомам и скрытому способу говорить, что А есть А. Кроме того, если математика имеет дедуктивный характер, то как объяснить тот факт, что 90 процентов математических статей связаны с обобщением уже известных результатов. Чтобы объяснить смысл этих противоречий, надо признать, что математическое умозаключение само по себе имеет род творческой силы, и этим отличается от силлогизма.

Рассмотрим один из важнейших, если не самый важный, тип математических умозаключений, причем сделаем это на простейшем примере, на примере арифметике. Выражение "дважды два равно четырем" используется, когда говорят о чем-то очень простом, элементарном. Это вроде бы ясно, и доказывать тут нечего. Первым пытался доказать это Лейбниц. Для этого необходимо ввести некие понятия (по сути - аксиомы), а именно понятие числа 1 и операции прибавления к некоторому числу х числа 1. Далее определяем числа 2, 3 и 4 следующими равенствами

2=1+1, 3=2+1, 4=3+1. Теперь определим операцию прибавления 2 следующим образом х+2=(х+1)+1. Заметим, что пока ничего содержательного не появилось, но при этом в определении новой операции неявно используется аксиома ассоциативности сложения. Иначе говоря, либо вводится эта аксиома, и тогда новая операция определяется однозначно, либо сначала определяется новая операция прибавления 2, и из нее получается ассоциативность сложения как свойство (а не как аксиома). Далее имеем цепочку равенств 2+2=(2+1)+1=3+1=4. Откуда и получим, что 2+2=4. Таким образом, на основе формально введенных понятий мы доказали формальное(!) равенство. Вроде бы эти рассуждения может проделать и машина, с этим никто не спорит.

Но если спросить любого математика об этом доказательстве, то он скажет, что это рассуждение доказательством не является, это просто проверка. Грань между доказательством и проверкой очень тонкая, и если все математики ее чувствуют интуитивно, то далеко не все смогут ее точно определить. На самом деле проверка - это некое бесплодное рассуждение, где фактически мы просто проверили закон тождества, перевели предпосылки на другой язык. Истинное доказательство должно быть плодотворным, и вывод должен заключать в себе некое новое знание, чем посылка, которое берется не из новых введенных аксиом, а из самой творческой силы умозаключения.

Рассмотрим другое рассуждение, которое, по-видимому, лежит в самой основе математики. Пусть у нас есть некоторое высказывание, зависящее от n, например, что существует n-угольник, у которого 3 острых угла. Ряд силлогизмов будет выглядеть следующим образом

Это верно для n=3.

Если это верно для n=3, то это верно для n=4.

Следовательно, это верно для n=4.

Если это верно для n=4, то это верно для n=5.

Следовательно, это верно для n=5. и т.д.

Таким образом, мы получаем бесконечный ряд силлогизмов. Если мы хотим проверить наше утверждение для 10-угольника, то нам необходимо пройти все предыдущие этапы, и обосновать 7 силлогизмов. Для 100-угольника потребуется немного больше времени --- 97 силлогизмов. Тем не менее это время конечное. А вот если потребуется узнать, верна ли теорема для многоугольника с миллиардом углов, то жизни одного человека уже не хватит. Однако, как бы далеко мы не шли, мы никогда не дойдем до применимой ко всем числам теоремы, которая и есть предмет науки математика. Чтобы ее достигнуть, необходимо пройти бесконечный ряд силлогизмов, то есть надо перескочить бездну, сделать шаг, на который не способна формальная логика, и, следовательно, на этот шаг неспособна машина.

Орудием, которое

позволяет переходить от конечного к бесконечному, является математическая индукция, которая избавляет нас от ряда долгих и однообразных проверок, позволяя получить общую теорему. Надо сказать, что метод математической индукции для натуральных, а в последнее время и для трансфинитных чисел, включен в систему аксиом Пеано. Если задуматься, то это очень странный факт - ведь МЕТОД мышления включен в систему аксиом, он не может быть выведен из других аксиом - понятий при помощи логических законов. Причем еще в начале нашего века множество математиков пыталось создать систему аксиом без индукции (кстати, это же пытался сделать и сам Пеано, и великий Гильберт), но так или иначе, индукция возникала в скрытой, неявной форме.

Вторая странность заключается вот в чем. Если аксиома - это то, что нам очевидно, то надо сказать, что метод математической индукции имеет дело с бесконечностью, перед которой бессилен любой человеческий опыт. Это правило не доступно для аналитического или опытного доказательства или проверки. Но тем не менее, этот метод достаточно очевиден для мало-мальски образованного и подготовленного ума. Доказательством тому является тот факт, что в последние годы он входит в школьную программу для 10-11 классов, а наиболее подготовленные ученики осваивают его в 7-8 классе, причем интуитивно они начинают его применять примерно с 6 класса, и поэтому его логическую формулировку воспринимают достаточно легко. Здесь, по-видимому, сказывается только утверждение могущества человеческого разума, который способен постичь общность бесконечного повторения одного и того же акта, даже в различных его вариациях. В силу этого могущества разум обладает непосредственной интуицией бесконечного и интуицией обобщения.

Еще один аспект проблемы индукции в математике связан с процессом конструирования. Имея простые понятия, математики строят более сложные совокупности или конструкции. Затем путем анализа этих сочетаний они возвращаются к первоначальным объектам, раскрывая соотношение этих элементов и выводя отсюда отношение самих совокупностей. В этом процессе конструирования, которому всегда совершенно справедливо придавалось большое значение, некоторые хотели видеть необходимое и достаточное условие прогресса математики и вообще точных наук. Необходимость очевидна. А вот достаточность? Ведь для того, чтобы процесс конструирования был полезен, необходимо, чтобы конструкция несла в себе что-то новое по сравнению с составляющими ее элементами. Например, для чего изучать многоугольники, с которыми несомненно, дело иметь гораздо труднее, вместо того, чтобы ограничиться изучением только треугольников? Ведь любой многоугольник может быть составлен из треугольников.

Делается это для того, чтобы получать и доказывать общие свойства многоугольников с любым числом сторон (например, оценка периметра через сумму диагоналей), которые можно применять затем в любом частном случае. Если же рассматривать многоугольник только как фигуру, состоящую из элементарных треугольников, то увидеть эти свойства удается только ценой значительных умственных усилий или интуиции, или не удается вообще.

Отсюда получается, что конструирование становится плодотворным тогда, когда его можно сравнивать с аналогичными конструкциями того же родового понятия и когда есть возможность доказывать некоторые родовые свойства, не прибегая к проверке этих свойств для каждой конструкции. Для этого опять необходимо подняться от частного к общему, а это делается с помощью математической индукции.

egincenter

f

Два типа математического мышления

ndcenter

Если ознакомится с работами различных математиков, то легко заметить, что существуют два сильно отличающихся типа математического мышления. Один из них можно условно называют геометрическим или европейским тип, а другой - алгебраическим или азиатским (ныне его также называют аналитическим стилем мышления). Конечно, подобные названия сильно условны, и появились, по-видимому, в связи с тем, что геометрия как школа и наука развилась в Европе (Пифагор, Евклид, Декарт, Лобачевский), а начало алгебре, уравнениям и т.д. было положено в трудах арабов Аль-Хорезми, Омара Хайяма и других. Само слово алгебра происходит от арабского слова аль-джебр.

Аналитики придерживаются в своих работах логической стройности, двигаясь вперед шаг за шагом. Обычно они не пропускают без доказательства ни одной мелочи, аккуратно обосновывая каждый шаг. При этом общая идея доказательства может потонуть за нагромождением разного рода деталей. Чертежи или иного рода наглядные представления используются в работах аналитиков чрезвычайно редко.

Совершенно иная ситуация у математиков с

геометрическим стилем мышления. Их работы изобилуют рисунками, если это вообще возможно. Если нет, то по крайней мере они на словах пытаются

объяснить то, что представляется их внутреннему взору. При этом общие идеи доказательств обычно выписываются до строгой формулировки теорем, а иногда и вместо нее. Они не затрудняют себя доказательством мелких деталей.

Надо сказать, что условное деление на геометров и аналитиков вовсе не означает, что они занимаются именно той областью математики, которая вынесена в название соответствующего типа мышления. Это просто условное название того типа мышления, который присущ данным людям. Причем, видимо, эта склонность дается от рождения, а не формируется в результате воспитания или обучения, хотя в ходе этих процессов можно развить или подкорректировать эти склонности. Чтобы проиллюстрировать все вышесказанное примерами, обратимся к свидетельству французского математика Анри Пуанкаре, записанной в его книге "Ценность науки". Я позволю себе процитировать довольно большой кусок, потому что он дает яркие примеры двух типов математиков, с которыми Пуанкаре был знаком лично.

"Так, Мере хочет доказать, что двучленное уравнение всегда имеет корень, или, говоря просто, что всегда можно разделить угол на части. Если есть истина, которую мы могли бы узнать непосредственной интуицией, то она здесь. Кто станет сомневаться, что угол всегда можно разделить на какое угодно количество равных частей, и чтобы доказать это, ему нужно несколько страниц. Напротив, посмотрите на Клейна: он изучает один из самых абстрактных вопросов теории функций; требуется узнать, всегда ли существует на данной поверхности Римана функция, допускающая данные сингулярности. Что делает знаменитый немецкий геометр? Он заменяет поверхность Римана металлической поверхностью, электропроводность которой меняется по известным законам, и соединяет две точки ее с двумя полюсами элемента. Ток, говорит он, непременно пройдет, и распределение этого тока по поверхности определит функцию, особыми свойствами которой будут именно те, которые предусмотрены условием. Без сомнения, Клейн знает, что он дал здесь лишь наглядный очерк; и все-таки он не задумался опубликовать его; вероятно, он надеялся найти здесь если не строгое доказательство, то по крайней мере как бы нравственную уверенность. Логик с ужасом отбросил бы подобную концепцию или --- вернее --- ему и не нужно было бы ее отбрасывать, потому что она никогда не могла бы возникнуть в его уме."

Аналогичная, даже еще более характерная ситуация сложилась в общей теории функций, особенно функций комплексного переменного. Основа этого направления заложена в работах двух немецких математиков, Вейерштрасса и Римана. Они жили примерно в одно время, и получили примерно одинаковое образования. Математическая одаренность каждого из них не вызывает никаких сомнений. Работали они примерно в одной области, но насколько разительно их подходы отличаются друг от друга! Если Вейерштрасс сводил все функции к аналитическим рядам и рассматривал далее операции и свойства числовых и функциональных рядов, то есть как будто сводил всю теорию функций к алгебре или даже арифметике, то