75312-1 (О принципиальной возможности аксиоматической перестройки произв0льн0й научной теории)

О принципиальной возможности аксиоматической перестройки произвольной научной теории

А.Воин

Краткое рассмотрение этого вопроса сделано уже мной в статье «Проблема абсолютности – относительности научного познания и единый метод обоснования» («Философские исследования», №2, 2002). Но поскольку аксиоматическое построение играет большую роль в едином методе обоснования, то есть необходимость расширить это рассмотрение и в частности, включить в него существующие возражения против принципиальной возможности аксиоматической перестройки произвольной теории, которые я в той статье не рассматривал.

Первое такое возражение со ссылкой на результат Геделя "обосновавшего принципиальную неполноту аксиоматических реконструкций достаточно богатых научных теорий", принадлежит П.Йолону(1). Что имеет в виду П.Йолон и другие, согласные с ним, философы под «принципиальной неполнотой аксиоматических реконструкций» теории. Они имеют в виду, что, якобы, в случае достаточно богатой научной теории, невозможно получить все ее выводы ни из какой одной системы аксиом. И ссылаются при этом, как уже сказано, на теорему Геделя. Рассмотрим, что сделал Гедель на самом деле и какое это имеет отношение к нашему предмету.

Гедель доказал недоказуемость полноты и непротиворечивости системы аксиом арифметики в рамках теории, построенной на этих аксиомах., т.е. отправляясь от них(2) . Опровергает ли это само по себе, без дополнительных допущений, возможность аксиоматической перестройки произвольной теории или доказывает ли это "принципиальную неполноту аксиоматической реконструкции"? Даже если обобщить теорему Геделя с арифметики на произвольную теорию /чего он не делал, но против чего я не возражаю/, то все равно -ответ отрицательный. Потому что какая нам разница с точки зрения этой возможности, будет ли доказана полнота и непротиворечивость внутри теории или вне ее. Более того, внутри аксиоматичес-кой теории не может быть доказана не только полнота и непротиво-речивость аксиом, но даже их истинность. В этом, собственно, смысл аксиоматического подхода, т.е. в том, что утверждения, содержащиеся в аксиомах принимаются без доказательства, а "как аксиомы". Истинность их при этом проверяется только соот-ветствием их и выводов из них эмпирие. Дедуктивное же доказа-тельство их возможно только в рамках более общей теории, аксиомы которой теперь уже будут недоказуемы /дедуктивно/ внутри нее. Так, например, базисные положения дифференциаль-ного исчисления доказываются не внутри его, а в теории преде-лов. В свою очередь базисные положения последней доказываются в теории множеств.

Но если нас устраивает и не мешает аксиоматической рекон-струкции недоказуемость истинности аксиом внутри теории, то почему должна мешать аналогичная недоказуемость полноты и непротиворечивости, тем более, что непротиворечивость проверя-ется /хотя и не доказывается/ тем же соответствием эмпирие. /Внутри природы нет противоречий/.

Т.е. сама по себе теорема Геделя не приводит к отрицанию принципиальной аксиоматичности. А чтобы прийти к ней, было добавлено допущение /См.2/ , что полнота арифметической системы аксиом не только не может быть доказана внутри нее, но там ее нет вообще, т.е. что арифметическая система аксиом -не полна. Следует подчеркнуть, что это только допущение, а не дедуктивный вывод из теоремы Геделя, поскольку из того, что полнота не может быть доказана внутри аксиоматической теории, отнюдь не следует, что ее нет. Но и из этого допущения /в предположении, что оно будет доказано/ непосредственно также еще не следует утверждение П.Йолона. Действительно, хорошо известно, что можно строить аксиоматические теории и на неполной системе аксиом и многие известные математические и физические теории так и построены. Но Э.Нагель и Д.Р.Ньюман подкрепили это допущение примером. Суть примера такова: утверждение, гласящее, что любое четное число может быть представлено как сумма двух простых чисел, невыводимо из арифметической системы аксиом и в то же время до сих пор никем не опровергнуто.

Вот отсюда то и вывел П.Йолон "обоснование принципиальной неполноты аксиоматической реконструкции достаточно богатых теорий". На первый взгляд кажется, что отсюда такой вывод можно сделать. Но лишь на первый взгляд.

Дело в том, что уже сами Э.Нагель и Д.Р.Ньюман пришли к выводу, что хотя это утверждение и невыводимо из той системы аксиом, которую рассматривал Гедель (арифметической), но оно будет выводимо, если к этой системе добавить еще аксиому. Правда, при этом мы получим уже не чисто арифметическую, а некую математическую теорию, включающую в себя арифметику, как часть. И еще отмечают Э.Нагель и Д.Р.Нюман, что и для этой новой системы аксиом найдется какое-нибудь другое утверждение относительно ее понятий, невыводимое уже из этой системы. Но тогда можно будет добавить еще одну аксиому и вывести и это утверждение и т.д. до бесконечности. Вывод из всего этого построения прямо противоположен сделанному П.Ф.Йолоном и он таков: для любой, сколь угодно богатой, теории, найдется достаточно богатый набор аксиом, из которых может быть выведено любое утверждение этой теории. Правда, этот вывод относится только к математическим теориям, обобщающим арифметику, но во всяком случае отсюда видно, что у П.Ф.Йолона не было оснований для его вывода ни в указанной области ни тем более для произвольных научных теорий. На этом заканчивается спор с П.Ф.Йолоном, но из построений 3.Нагеля и Д.Р.Ньюмана следует еще один вывод, важный для даль-нейшего.

Дело в том, что это построение приводит к мысли о несостоятельности изначального, классического определения полноты сис-темы аксиом, гласящего, что система аксиом полна, если к ней нельзя добавить ни одной новой независимой аксиомы,/т.е. невыводимой из данных/ и не противоречащей им. Правда, в этом построении нет доказательства стержневого примера, но к рас-сматриваемому выводу можно прийти и без помощи Э.Нагеля и Д.Р.Ньюмана. Действительно, в этом определении полноты не оговорен класс высказываний /утверждений/, среди которого можно искать аксиому для проверки полноты заданной системы. А коль так, то для любой системы аксиом /претендующей на пол-ноту/ всегда найдется бесчисленное множество аксиом /утверждений о ее понятиях/ непротиворечащих исходным аксиомам и невыводимых из них. Например, к евклидовой системе аксиом можно добавить такую: «Прямая, проходящая через две точки – дура». Как ни глупо и не бессмысленно это утверждение, но оно не противоречит аксиомам эвклида и не выводимо из них. Кстати, в дальнейшем в математике /в основаниях математики, в матлогике/ появился ряд новых определений полноты, уточняющих классическое, в том числе в направлении ограничения класса выс-казываний. Для целей этой статья нет нужды углубляться в сов-ременные определения полноты системы аксиом. Важно заметить лишь следующее: о полноте системы аксиом можно говорить лишь для заданного класса высказываний -утверждений или иными словами для заданной задачи. При изменении задачи, скажем расширении (ссужении) ее, изменяется /расширяется/ класс выскавываний-утверждений для выбора аксиом, и исходная система аксиом бывшая прежде пол-ной, перестает быть таковой и к ней можно добавлять новые независимые и непротиворечащие исходным аксиомы. Пример Э.Нагеля и Д.Р.Ньюмана иллюстрирует вышесказанное. Исходные аксиомы, рассматриваемые в нем - это аксиомы собственно ариф-метики, а вот невывоводимое из них утверждение, что любое четное число есть сумма двух простых, это уже утверждение не из чис-той арифметики, а из теории чисел, которая является расширением арифметики.

Другое возражение против принципиальной возможности аксиоматической перестройки произвольной теории принадлежит В.Степину(3) и основано на противопоставлении аксиоматическому методу построения теории так называемого генетического или конструктивного. Генетический метод построения теории был известен до В.С.Степина. Например, его упоминает Д.Гильберт(4). Однако Гилберт не противопоставляет генетического метода аксиоматическому /в смысле отрицания валидности последнего/. В.Степин это делает:

"При анализе теоретических текстов обнаруживается, что даже в высокоразвитых теориях, широко использующих приемы формализованной аксиоматики, существует некоторый принципиаль-ный /подчернуто мною/ неформальный остаток, причем организованный вовсе не по нормам аксиоматико-дедуктивного построения"(5). И т.п.

Рассматриваемая книга В.Степина воспринималась в бывшем советском и воспринимается в нынеш-нем постсоветском философском сообществе, как закрывшая вопрос о принципиальной возможности аксиоматической перестройки произ-вольной теории, причем закрывшая его негативно. Поэтому остановимся на том, что сделал В.Степин в этой книге подробней.

Прежде всего следует отметить, что книга В. Степина, как это следует хотя бы из ее названия, посвящена генезису научных теорий, в то время как единый метод требует аксиоматической развертки теории при обосновании ее. Генезис и обоснование теории связаны между собой, но отнюдь не одно-однозначной связью, т.е. генезис не определяет однозначно обоснование и наоборот. Это следует хотя бы из того, что в процессе генезиса существенную роль играет интуиция и рассуждения по аналогии, основанные на некоторой общности явлений в двух областях /например, рассматри-ваемый В.С.Степиным в его книге перенос математического формализ-ма из одной области физики в другую/ и т.п. В то время как в обосновании мы не можем ссылаться ни на интуицию ни на приблизи-тельные аналогии.

Таким образом, мы имеем две разные задачи и, как показано

в (6), разные задачи требуют, вообще говоря, разного понятийного аппарата, что имеет место и в данном случае. Поэтому для того, чтобы вести полемику с В.Степиным, нужно прежде всего установить связь между его и моей терминологией.

Базисным понятием моей теории служит понятие понятия. Основным аналогом ему у В.Степина является абстрактный, он же иде-альный объект с его вариациями: эмпирический и теоретический объекты. Я говорю, основным аналогом, а не единственным, потому что так же, как при переводе с языка на язык, одному слову одного языка соответствуют несколько слов другого и наоборот, также и во взаимотнощении близких понятий разных теорий одному понятию одной теории соответствует несколько понятий другой и наоборот /и соответствие, естественно, не полное/. И моему понятию понятия соответствует у В.Степина кроме абстрактного объекта еще поня-тие "конструкта познания" и его понятие понятия. Однако, понятие понятия у В.Степина помимо того, что не совпадает с моим, не играет в его построениях существенной роли. Роль же базисного элемента играет у него абстрактный объект. Точнее, сам В.Степин называет базисным элементом своей теории теоретическую схему /которая сравнима, хоть и !не тождественна, с моим понятием модели/. Однако, это элемент более высокого уровня сложности, сам состоящий из подэлементов, главный из которых (у Степина) - абстрактный объект. Послед-ний играет у него более менее ту же роль, что у меня понятие, поэтому именно их я намерен здесь сравнить. Напомню, что у меня понятие - это множество объектов действительности, которое мы вырезаем из нее на основе общего свойства или свойств. И далее, чтобы определить конкретное понятие однозначно нужно указать свойство /свойства/ этого понятия, меру этого свойства и допуска-емые отклонения по этой мере от номинала. Абстрактный или идеаль-ный объект у В.Степина это идеализация реальных объектов некой природы /скажем, электрон/.

Первое различие между ними состоит в том, что мое понятие совершенно четко фиксирует одно или несколько свойств объектов, отвлекаясь от остальных абсолютно. Т.е. при пользованием понятием (приобосновании по единому методу) аппеляция и свойством объектов, не перечисленным в определении понятия, запрещена и если она делается, это означает использование уже другого понятия /пусть и имеющего с данным область пересечения множеств, на которых каждое их них определено/. При оперировании же абстрактными объектами мы, конечно, также отвле-каемся от огромного числа свойств реальных объектов, но тем не менее не имеем указанного жесткого ограничения. Более того, вовлечение в рассмотрение все новых и новых свойств одного и то-го же абстрактного объекта является существенным моментом генетического /конструктивного/ метода построения теории и именно из этого вытекает один из аргументов В.С.Степина против возможностиаксиоматической перестройки теории/который мы рассмотрим в дальнейшем/.

Второе различие между понятиями /в моем подходе/ и абстракт-ными объектами В.Степина вытекает из первого. Понятия,так как они определе-ны выше, связаны с аксиомами,построенными на них,одно однозначной связью, т.е. не только набор аксиом однозначно определяет понятия /как в геометрии Евклида/ но и набор понятий однозначно определя-ет аксиомы. Это следует из того, что аксиомы есть не что иное, как провозглашение свойств понятий коррелятивно друг другу. На-пример, аксиома, что через две точки можно провести одну и только одну прямую, есть утверждение свойства прямых в отношении точек или точек в отношении прямых. Второй закон Ньютона есть утвержде-ние коррелятивных свойств СИЛЫ ускорения и массы. Причем, npи аксиоматическом построении теории ни о каких иных свойствах поня-тий, кроме утвержденных в аксиомах, мы ничего не можем сказать. Если же помимо аксиом используются неаксиоматические определения понятий /как у Ньютона пространства и времени или массы, которую он определил как количество корпускул в теле/, это значит, что данная теория лишь частично выстроена аксиоматически.

В отличие от понятия, абстрактный объект, в силу неполной определенности его свойств, не связан жестко, т.е. одно однознач-но с конкретной системой аксиом. Это значит, что все утверждения, полученные чисто дедуктивно из некой системы аксиом /включая сами акеиомы/ относятся в точности только к понятиям, опреде-ляемым этими аксиомами. Что же касается абстрактных объектов, то аксиомы не определяют абстрактных объектов и также наоборот. Поэтому выводы, получамые, отправляясь от свойств абстрактных объектов, не определенных аксиомами, - не обоснованы по единому методу и, как я покажу в дальнейшем, не оладают никакой надежностью ни в какой области действительности.

Третье разнличие состоит в том, что только выводы, полученные аксиоматически /т.е. дедуктивно, отправляясь от аксиом/ и относя-щиеся к понятиям, обладают единственностью смысла, не допускающей их субъективного трактования. Выводы же, получаемые генетичес-ким /конструктивным/, методом и относящиеся к абстрактным объектам, этим качеством не обладают именно в силу неопределенности свойств абстрактных объектов.

Проиллюстрируем вышеразобранное сравнение абстрактных объектов с понятиями на примерах. Сравним абстрактный объект "электрон", рассматриваемый на определенных этапах генезиса теории тока в проводнике и теории строения атома, с понятием носителя тока/кото-рый также именовался в определенный период электроном/, определя-емым аксиомой теории тока в проводнике, именуемой законом Ампера-Ома: J=V/R. /Для этого сравнения нам не важно, выстроена ли данная теория чисто аксиоматически и каковы другие ее аксиомы, достаточно рассмотрение одной этой/. Физическое содержание /онтология/ абстрактного объекта "электрон" менялось много раз по ходу развития теорий тока, строения атома и других, связанных с этим объектом. Изначально абстрактный объект, пере-носящий ток, был вообще не электрон, а электрическая жидкость /флюид/. Затем появился электрон со свойствами заряда и массы определенной величины, сконцентрированными в практически точеч-ного размера шарике. Затем оказалось, что масса его - это не обычная масса покоя, но специфическая масса движения. Затем, что это не точечный шарик, а облако или пакет волн. Все это время закон Ампера-Ома оставался незыблем. Он определяет понятие носителя электрического тока двумя свойствами: наличием заряда и способностью перемещаться в проводнике под действием разности, потенциалов /а точнее к этому в соответствии с аксиомой следует добавить: передвигаться, перенося в единицу времени количество заряда пропорциональное напряжению и обратно пропорци-ональное сопротивлению/. Все остальное, как то форма шарика, облака, пакета волн или чемодана, и наличие какой бы то ни было массы, к данной аксиоме и вообще к аксиоматической теории тока отношения не имеет.