Поскольку актуальная бесконечность представляет со­бой чрезвычайно сильную абстракцию, то с пониманием ее связан целый ряд трудностей. Прежде всего ин­туиция восстает против представления бесконечности и виде завершенного процесса. Завершенность бесконечно­сти нередко понимается как ее уничтожение. Так, напри­мер, натуральный ряд чисел обычно мыслится как не­ограниченно продолженный, и интуиции нелегко свыкнуться с представлением о законченности этого ряда.

Еще Аристотель возражал против использования и науке понятия актуальной бесконечности, ссылаясь на то, что известен способ счета только на конечных мно­жествах. Он указывал, что конечное число разрушается актуальной бесконечностью.

Разбирая возражения, Кантор указывает, что и с бесконечными множествами можно производить некото­рые действия счета, если определенным образом упорядо­чить их. Разница будет состоять только в том, что если для конечных множеств порядок элементов не влияет па результат счета, то для бесконечных множеств он зави­сит от способа их упорядочения. Часто отмечали также, что актуальную бесконечность нельзя целиком объять в мысли, так как она предполагает сосчитанным бесконеч­ное множество. Возражая против этого, еще Б. Больцано заметил: чтобы вообразить целое, нет необходимости представлять отдельно его части.

Понятие актуальной бесконечности приводит к чрезвычайно неожиданным следствиям, например, утверждение, что для бесконечных множеств аксиома «часть меньше цело­го» теряет свою силу. Действительно, еще в XVII в. Галилей заметил, что квадраты целых положительных чисел могут быть поставлены во взаимноднозначное соответствие с самими положительными числами, и следовательно, эти множества эквивалентны.

Все эквивалентные множества обладают определенным общим свойством, которое можно выделить с помощью аб­стракции отождествления. Это свойство в математике при­нято называть мощностью множества. В случае конеч­ных множеств она совпадает с количеством элементов. В случае же бесконечных множеств, указывает Кантор, нельзя говорить о каком-либо точном определенном коли­честве их элементов, но зато им можно приписать опре­деленную, совершенно не зависящую от их порядка мощ­ность.

Воспользовавшись понятием мощности, можно оп­ределить бесконечное множество как множество, равномощное с какой-либо своей частью, или, как говорят математики, собственным подмножеством. Например, мно­жество натуральных чисел будет равномощно с множе­ством квадратов натуральных чисел, или с множеством всех четных чисел, или с множеством чисел, кратных 3, 5, 7, или вообще нечетных чисел и т. д. И множество квадратов целых чисел, и множество четных чисел так же, как и нечетных, составляют лишь часть множества натуральных чисел, но тем не менее они эквивалентны целому множеству. Обычно такого рода примеры вызы­вают недоумение у тех, кто впервые приступает к изуче­нию теории множеств. Кажется невозможным, чтобы часть множества была эквивалентна целому. На этой ос­нове и возникает критическое отношение к актуальной бесконечности.

На первый взгляд может показаться, что все существующие бесконечности имеют только одну мощность. Множества и натуральных, и рациональных, и алгебраи­ческих чисел являются счетными множествами. Прибавление к таким множествам любого числа конечных, или счетных, множеств дает в итоге счетное множество. Даже умножение на счетное множество не выводит за пределы счетных множеств.

Однако если сравнить мощность натурального ряда чисел с мощностью всех действительных чисел или мно­жеством всех точек отрезка прямой, то обнаружится, что они неравномощны. И множество всех действительных чисел, и множество точек отрезка имеют мощность боль­шую, чем мощность счетного множества. Поэтому действительные числа, как и точки отрезка, нельзя «пересчи­тать» с помощью натуральных чисел. Мощность множе­ства действительных чисел, или точек отрезка, или любой геометрической фигуры, содержащей по крайней мере одну линию, принято называть мощностью континуума. Кантору не удалось обнаружить множеств, мощность которых была бы промежуточной между мощностью счетного множества и континуума. Поэто­му он высказывал предположение, что континуум непосредственно следует за мощностью счетного множества. Решение этой знаменитой континуум-гипотезы долгое время не поддавалось ника­ким усилиям, и в свое время она была названа Гильбер­том одной из важнейших нерешенных проблем матема­тики. В 30-с годы К. Гёдель установил, что континуум-гипотеза не может быть опровергнута, исходя из аксиом теории множеств. П. Коэн, развивая идеи Гёделя, доказал, что континуум-гипотеза независима от других аксиом теории множеств. Иными словами, исходя из указанных аксиом, она не может быть ни доказана, ни опровергнута.

Таким образом, добавление к аксиомам теории множеств как континуум-гипотезу, так и противоположное ей ут­верждение, никогда не приведет к логическому проти­воречию. Выходит, что могут существовать разные тео­рии множеств, в одних из которых континуум-гипотеза выполняется, в других нет. В этом открытии Коэна нетрудно обнаружить аналогию с открытием неевклидовой геометрии, когда стало ясно, что аксиома параллельных независима от остальных аксиом абсолютной геометрии.

Благодаря трудам Кантора и его последователей поня­тия и методы теории множеств заняли прочное место в математике. Теория мно­жеств дает возможность анализировать с единой точки зрения все математические науки: ведь элементами мно­жеств могут быть всевозможные математические объек­ты — и числа, и фигуры, и функции и т. п. Такая общность избавляет от необходимости доказывать, теоремы для частных видов математических объектов. Все эти до­казательства можно проводить теперь в общем виде.

Предельная общность и широта применения понятии и методов теории множеств не только для развития фак­тического содержания математики, по и для обоснования ее на новом фундаменте со временем привели к господ­ству в математике теоретико-множественных идей.

В 1902 г. Б. Рассел обнаружил пара­докс, который непосредственно связан с канторовским оп­ределением понятия множества. Это определенно не за­прещает рассматривать в качестве элементов множеств некоторые другие множества. Назовем такие множества не­обычными или лучше множествами второго рода. Примерами таких множеств могут служить множество множеств, каталогов библиотеки, множество множеств списков или вообще любое абстрактное множество множеств. К мно­жествам первого рода, или обычным, относятся то, ко­торые но содержат в качестве своих элементов множества. Так, множество звезд будет именно таким множеством.

Если теперь задать вопрос, к какому роду относится множество всех тех множеств, которые не содержат себя в качестве элемента, то на него можно дать два взаимо­исключающих ответа.

Если допустить, что указанное множество (в даль­нейшем называемое расселовским) относится к необыч­ным, то оно, будучи элементом множества всех мно­жеств, которые не содержат себя в качестве своего эле­мента, не должно принадлежать к необычным множест­вам. Следовательно, предположение о принадлежности расселовского множества к необычным множествам ведет к прямо противоположному результату: это множество должно принадлежать к обычным множествам. Исходя из полученного результата, легко обнаружить, что расселовское множество должно содержать себя в качестве элемента, т. е. оно должно принадлежать к необычным множествам. Выходит, что относительно множества всех множеств, не содержащих себя и качестве элемента, мож­но доказать дна прямо противоположных утверждения. Возникает парадокс.

Какой же вывод был сделан из первых парадоксов? Какие способы их устранения были предложены математиками? Многие математики, ознакомившись с парадок­сами, в первое время просто их игнорировали, утверждая, что они представляют собой крайне искусственные по­строения. Поскольку ни в математическом анализе, ни в геометрии такие парадоксы не были обнаружены, то не слодует-де особенно беспокоиться о парадоксах, которые возникают на окраинах теории множеств. Ясно, однако, что такой подход нельзя считать удовлетворительным, ибо нет уверенности, что эти парадоксы не могут не возникнуть в анализе и геометрии, если они строятся на теоретико-множественной основе.

Наиболее радикально решение было предложено интуиционистами. Они подвергли критике идею актуальной бесконечности и основанную на ней канторовскую тео­рию множеств. Понятия «все» и «существует», но мне­нию основоположника интуиционизма Брауэра, нельзя применять к бесконечным множествам. Любое утвержде­ние о существовании в бесконечном множестве элемента с определенными свойствами состоит в действительном указании такого элемента. Но очевидно, что нельзя пе­ребрать все элементы бесконечного множества. Именно в связи с этим интуиционисты отказываются от акту­альной бесконечности и возвращаются к бесконечности становящейся, потенциальной.

3. Абстракция потенциальной бесконечности.

Против допустимости идеи актуальной бесконечности в математике, а также тех логических средств, которые связаны с этой идеей (в частности, закона исключенного третьего), резко выступили представители интуиционистского направ­ления в обосновании математики (Л. Брауэр, Г. Вейль), воз­никшего в первое десятилетие прошлого века. Принципиально исключая применение абстракции актуальной бесконечности, интуиционисты считают допустимым лишь понятие, потен­циальной бесконечности.

Так, Брауэр утверждал, что о существовании математических объектов можно говорить лишь только в том случае, если принципиально возможно осуществить их вычисление или построение. Реализуя эту идею, они пытались построить основания математики, исходя из некоей присущей человеку праинтуиции, порождаю­щей натуральный ряд чисел и из него — всю математику. И хотя в действительности возможность построения тех или иных объектов всегда ограничена определенными условиями (наличие соответствующего материала, времени, пространства и т. п.), в теории можно отвлечься от этих ограничений. Надо заметить, что в основе понятия потенциальной бесконечности лежит гипотеза потенциальной осущест­вимости.

Эта гипотеза допускает построение не только таких объектов, которые можно осуществить практически (хотя бы в принципе), но и объектов потенциально осуществимых, т. е. осуществимых при предположении, что исследователь обладает для этого со­ответствующими возможностями. Ясно, что такое пред­положение представляет собой абстракцию: оно огрубля­ет, схематизирует действительное положение вещей, по­скольку реальная возможность построения объектов всег­да ограничена определенными рамками.

Можно ввести понятие потенциальной бесконечности как неограниченного про­цесса построения математических объектов, который не имеет последнего шага. Действительно, гипотеза потен­циальной осуществимости допускает, что после n шага всегда возможен n+1 шаг. А это означает, что в принципе допустимо существование безграничного про­цесса, или потенциальной бесконечности. Элементы та­кой бесконечности не существуют одновременно, они по­следовательно возникают в процессе построения. Именно так и воспринимается натуральный ряд чисел как ряд, начинающийся с 1, последовательно переходящий к чис­лам 2, 3, 4... и не имеющий последнего члена. Требует­ся немалое усилие, чтобы представить этот ряд в виде закопченного множества чисел. Это показывает, что сама идея потенциальной бесконечности интуитивно значи­тельно яснее, чем идея актуальной бесконечности. Поэтому логично предположить, что именно идея потенциальной бес­конечности первоначально возникла в математике.

В античной науке формулировку понятия потенци­альной бесконечности встречается впервые у Анаксагора (VI в. до н. э.). Рассматривая вопрос о делимости тел, он писал: «В малом не существует наименьшего, но всегда имеется еще меньшее. Ибо то, что существует, не может исчезнуть, как бы далеки ни были продолжено деление»[1, c.128-129]. Процесс деления здесь анализируется в аб­страктной форме, так как при этом отвлекаются, во-пepвыx, от качественных особенностей процесса, когда чисто количественное уменьшение тела приводит к но­вым качественным элементам (молекула, атом, «элемен­тарные» частицы); во-вторых, от практических возмож­ностей осуществления процесса, т. е. бесконечная дели­мость рассматривается как потенциально осуществимый процесс. Такой абстрактный подход к вопросу о делимо­сти материи встретил серьезные возражения со стороны древнегреческих атомистов. Допуская неограниченную делимость тел, указывали атомисты, исследователь тем самым пред­полагает возможность дойти в этом процессе до точек, поскольку «в малом не существует наименьшего». Сле­довательно, любую часть тела можно делить дальше и в конечном итоге дойти до точек. Но тогда тела но оста­нется: оно должно было бы состоять из точек, что оче­видно нелепо.

Следует еще раз подчеркнуть, что потенциальная бесконечность представляет собой зна­чительную идеализацию действительных процессов. Поэтому нельзя требовать, чтобы эта бесконечность существовала в реальном мире именно с теми свойствами, ко­торые ей приписывает математика. Ведь никто не ищет в природе точек, прямых и плоскостей и том виде, как они существуют в геометрии. Между тем известный аме­риканский специалист по математической логике X. Карри, основываясь на том, что «в нашем окружении нет ничего, соответствующего идее бесконечности», делает вывод о несостоятельности «реалистической точки зрения на матема­тику».

Гильберт справедливо критикует неверное представление о неограниченной делимости тел, при ко­торой всякая сколь угодно малая их часть обладает свойствами первоначального тела. В известной статье «О бесконечном», опираясь на теорию атомного строения материи и открытие квантов энергии, он делает вывод, что «однородный континуум, который должен был бы допускать неограниченное деление и тем самым реали­зовать бесконечное в малом, в действительности нигде не встречается»[1].

Беско­нечная делимость континуума представляет собой опе­рацию, существующую лишь в мышлении. Есте­ственно поэтому, что понятие потенциальной бесконечно­сти, которое допускает такую возможность, не может претендовать на адекватное описание физического про­цесса деления материи. При таком процессе объект не только количественно уменьшается, но и каче­ственно изменяется. В современном естествознании мельчайшей части­цей вещества принято считать молекулу. Деление моле­кул дает новые качественные образования — атомы, ко­торые существенно отличаются от молекул. Разложение атома дает различные элементарные частицы, также ка­чественно отличающиеся от атомов. Все это показывает, что процесс деления материи всегда связан с качествен­ными ее изменениями. Понятие же потенциальной бес­конечности, как и любое другое математическое поня­тие, отвлекается, абстрагируется от качественных осо­бенностей явлений и процессов, рассматривает их в «чис­том», идеализированном виде. Вполне понятно поэтому, что такое бесконечное не может существовать в приро­де.

Однако, отрицая объективный характер математиче­ской бесконечности, приписывая ей роль априорной идеи в духе Канта, он делает уступку идеализму. Впрочем, более внимательный анализ показывает, что для Гильберта бесконечность, как и любое другое идеальное высказывание математической теории, представляет прежде всего форму всеобщности. Одна из пло­дотворных идей его теории доказательства состоит в том, чтобы свести математику «к совокупно­сти формул, во-первых, такиx, которым соответсвуют содержательные сообщения конечных высказываний, т. е. по существу числовых равенств и неравенств, и, во-вто­рых, других формул, которые сами по себе никакого значения не имеют и которые являются идеальными об­разами нашей теории».