Министерство образования Российской федерации

Челябинский государственный университет

Кафедра философии

С А M

Проблема абстракции в математике.

Челябинск

2001

Содержание.

Введение. 3

1. Особенность математической абстракции. 6

2. Абстракция актуальной бесконечности. 11

3. Абстракция потенциальной бесконечности. 17

Заключение. 22

Список литературы. 24

Введение.

При изучении математики, как и любой другой науки, исследователь прежде всего сталкивается с вопросом о реальном содержании ее понятий и теорий. Чтобы понять, что соответствует математическому знанию в реальном мире, или, иначе говоря, каков тот специфический объект, который служит предметом исследования математики, надо понять, какую сторону действительности отображает математика, как совершается процесс абстрагирования в этой науке и чем он отличается от абстрагирования в естествознании и других опытных науках.

Что же такое абстракция?

В самом широком смысле слова абстракция означает возможность рассмотрения предметов и процессов с какой-либо одной точки зрения и отвлечения от других сторон, моментов и обстоятельств. В окружающем мире все предметы и явления находятся в различных взаимосвязях и отношениях друг с другом. Одни из них имеют существенный, устойчивый характер, другие – несущественный, случайный. Чтобы понять сущность явлений объективного мира, законы, которые управляют ими, необходимо отделить существенные связи от несущественных, отвлечься от второстепенных обстоятельств, в чем и состоит процесс абстрагирования.

Отвлечение тех или иных свойств вещей и наделение вещей свойствами, которые в определенной степени огрубляют их природные свойства, дает возможность лучше изучить эти свойства и отношения, а через них и сами вещи. Так, например, замена реальных тел в механике абсолютными твердыми телами, а в иных случаях даже материальными точками помогает глубже изучить процессы, связанные с механическим движением. Точно так же рассмотрение количественных отношений и пространственных форм обособленно от качественной природы предметов является весьма плодотворным приемом, с помощью которого математике удается глубоко проникнуть в сущность количественных и пространственных отношений действительности.

В эмпирической теории абстракции, свойства, которые являются общими для различных вещей, обнаруживаются в процессе созерцания. Они имеют опытный эмпирический характер. Соответственно этому предикаты, которые их выражают, называются эмпирическими. Более сложный характер носят так называемые диспозиционные предикаты, в которых отображается эмпирическое в определенных условиях его проявления. Такие свойства, как «быть проводником тока», «разлагаться на составные элементы» и т. п., проявляются лишь при наличии определенных условий. И в реальных ситуациях обычно такие условия точно фиксируются. По существу уже свойства, выражаемые с помощью эмпирических предикатов, всегда предполагают наличие определенных условий. Такое свойство тела, как теплопроводность, проявляется лишь при определенном взаимодействии с другими телами. Но от этого в повседневной практике отвлекаются и рассматривают его изолированно, как свойство данного тела. Наконец, абстрактные предикаты отображают более существенные и глубокие свойства, чем диспозиционные и эмпирические. Именно с такими предикатами и имеет дело математика. Часто такой предикат рассматривают как некоторый самостоятельный объект. Чтобы отличить его от реальных объектов, его называют абстрактным объектом. Понятно, что такие объекты или свойства нельзя воспринимать чувственно, но они приписываются вещам на основании определенных теоретических допущений.

В результате процесса абстракции возникают понятия, категории, законы, в которых как раз и отображаются существенные стороны реальной действительности. Являясь отвлечениями от определенных сторон вещей и явлений, научные абстракции воспроизводят действительность в обобщенном виде. Ясно, что отражая реальный мир абстракция воспроизводит его не непосредственно, а опосредованно чувственным познанием. Но на этом процесс познания не заканчивается, наоборот, абстракции служат лишь исходным пунктом для дальнейшего процесса восхождения от абстрактного знания к конкретному.

Рассмотрим те особенности, которые характерны для процесса абстрагирования в математике.

1. Особенность математической абстракции.

Специфика предмета математики обусловливает ряд важных особенностей математической абстракции. Обратим внимание на такие ее особенности, которыми она отличается прежде всего от абстракции в естествознании и опытных науках вообще.

Поскольку в математических понятиях отображается лишь количественная сторона предметов и процессов, постольку эти понятия представляют наиболее односторонний снимок с действительности. Чтобы выделить количественные отношения и пространственные формы в «чистом» виде, математик должен применить абстракцию «наибольшей силы», так как он обязан отвлечься от всех качественных особенностей и специфических свойств предметов и явлений. Эта особенность математической абстракции осознавалась уже античными философами. Один из универсальных умов той эпохи, Аристотель, так описывает подход математика к реальному миру: «...в отношении сущего примером служит то рассмотрение, которому математик подвергает объекты, полученные посредством отвлечения. Он производит это рассмотрение, сплошь устранивши все чувственные свойства, например тяжесть и легкость, жесткость и противоположное, далее — тепло и холод и все остальные чувственные противоположности, а сохраняет только количественную определенность и непрерывность...»[1,c.40].

По сравнению с естествознанием в математике процесс абстрагирования идет значительно дальше. В известном смысле справедливо утверждать, что там, где естествоиспытатель останавливается, математическое исследование только начинается. Лучше всего это можно проиллюстрировать на примере геометрии. Хорошо известно, что пространственные свойства материальных тел не существуют обособленно от самих тел. Они всецело определяются внутренними и внешними связями тел, но для лучшего понимания пространственных свойств исследователь вынужден временно абстрагироваться от всех их других свойств, кроме геометрических. Понятие геометрического тела представляет крайне односторонний снимок с действительности. Уже понятие физического тела представляет абстракцию, так как здесь отвлекаются от всех нефизических свойств. В понятии же геометрического тела отвлекаются и от физических свойств и сохраняют лишь его пространственные свойства. Естественно поэтому, что в теоретической физике наряду с широким применением математических понятий главное значение имеют специфические для этой науки физические понятия. В некоторых разделах механики, например в кинематике, физическая абстракция почти приближается к математической, поскольку материальное тело в известных условиях (малость размеров в сравнении с расстоянием между телами) отождествляется с материальной точкой. Но уже в пределах кинематики встречаются с такими специфическими физическими характеристиками тела, как его скорость, ускорение и т. п.

Вторая важнейшая особенность математической абстракции состоит в том, что абстрагирование здесь чаще всего осуществляется через ряд последовательных ступеней обобщения. Поэтому в математике преобладают абстракции от абстракций. В простейшей форме этот процесс встречался при выяснении происхождения понятия числа. Первоначально понятие числа еще не отделяется от сосчитываемых совокупностей и поэтому выступает как именованное число. Впоследствии оно освобождается от этой конкретности и выступает как отвлеченное понятие.

Эти две ступени абстракции мало чем отличаются от соответствующих абстракций естествознания. Но в математике отвлечение идет дальше. Если на втором этапе с понятием числа связывались еще конкретные отвлеченные числа, как, например, 1, 2... 15 ...100 и т. д., то на третьем этапе абстрагируются также и от конкретного значения числа. На этой основе и возникло понятие о любом возможном натуральном число, к которому пришли еще древние греки. Оперирование с таким понятием имело чрезвычайно большое значение для математики, так как оно давало возможность отвлекаться от конкретных чисел и обеспечивало возможность доказывать теоремы в общем виде.

Еще более отчетливо аналогичные этапы абстрагирования можно выделить в развитии такого фундаментального понятия всей математики, каким является функция. К самому понятию функциональной зависимости ученые пришли из рассмотрения конкретных взаимосвязей между различными величинами, которые встречаются в самых разнообразных задачах естествознания и техники. По сути дела большинство законов точного естествознания выражает функциональную связь различных величин.

В математике изучаются различные виды функций (целые, рациональные, логарифмические, тригонометрические и т. д.). Чтобы иметь возможность рассуждать о любых функциях, исследователь должен отвлечься от конкретных особенностей вышеперечисленных и других функций и ввести абстрактное понятие функции вообще. Это будет уже следующий этап абстрагирования. Дальнейший этап связан с образованием понятия функционала, который служит естественным обобщением функции и содержит его как частный случай.

Число таких примеров можно было бы легко увеличить. Достаточно напомнить процесс обобщения таких понятий, как абстрактное математическое пространство, интеграл, группа и другие, чтобы убедиться в том, что процесс обобщения в математике, как правило, проходит ряд ступеней абстракции, каждая из которых сопровождается расширением объема соответствующего понятия.

Во всей истории математики можно выделить три больших исторических этапа в развитии ее абстракций. На первом этапе, связанном с возникновением арифметики и геометрии, отвлекаются от конкретной, качественной природы объектов. На втором этапе, когда вводится буквенная символика и происходит переход к алгебре, стали отвлекаться уже от конкретных чисел и величин. Наконец, на третьем этапе, связанном с переходом к современной математике, стали отвлекаться не только от конкретной природы объектов, но и от конкретных зависимостей между ними. Так, например, под операцией умножения теперь понимают не только умножение чисел, но и векторов, множеств каких-либо объектов («пересечение» множеств) и даже предложений (в математической логике). Таким образом, переменными здесь становятся не только объекты исследования, но и сами операции над ними.

Третья особенность математической абстракции состоит в значительном использовании так называемых идеальных объектов. Уже «точка», «прямая», «плоскость» Евклидовой геометрии представляют идеальные объекты, так как образуются посредством идеализации. Если же идеализацию понимать несколько шире, а именно как процесс образования таких понятий, которые или выражают свойства реальных объектов в искаженном виде, или приписывают им свойства, отсутствующие у них, тогда можно будет с известным основанием утверждать, что непосредственным объектом исследования математики являются именно абстрактные, или идеальные, математические объекты. Разумеется, что эти объекты не плод чистой фантазии. Они, как и вся математика в целом, служат для познания действительности. Но математика оперирует ими именно как идеальными объектами.

По существу такими же идеальными объектами являются понятия математической бесконечности потенциальной и актуальной. При образовании этих понятий приходится прибегать к различным абстракциям осуществимости. Использование различных абстракций осуществимости составляет четвертую важную особенность математического познания. В частности эти абстракции осуществимости ведут к разным понятиям бесконечности, которые в свою очередь порождают различные философские направления, такие как интуиционизм, конструктивизм и т. д., о чем подробнее будет сказано ниже.

Пятая важная особенность, непосредственно связанная с предыдущими, состоит в том, что многие системы абстракций в математике, возникнув на базе опыта и практики или даже в процессе чисто логического развития теории, не требуют в дальнейшем обращения к опыту. Действительно, в математике повсюду оперируют одними лишь абстракциями, т. е. обращаемся прежде всего к логике, а по к эксперименту, как это часто имеет место в естествознании.

2. Абстракция актуальной бесконечности.

Сущность абстракции актуальной бесконечности состоит в отвлечении от незавершенности и незавершимости процесса образования бесконечного множества, от невозможности за­дать такое множество посредством полного перечисления его элементов. Согласно абстракции актуальной бесконечности, в беско­нечном множестве можно выделить (индивидуализировать) каждый его элемент. Но на самом деле зафиксировать и описать каждый элемент бесконечного множества принци­пиально невозможно. Абстракция актуальной бесконечности и представляет собой отвлечение от этой невозможности, что позволяет рассматривать, например, отрезок прямой как бес­конечное множество точек, каждую из которых можно инди­видуализировать, обозначив ее каким-то действительным чис­лом.

Понятие актуальной бесконечности возникает с по­мощью процесса идеализации. В данном случае идеализация дает возможность применять к бесконечным множествам простой и хорошо изученный аппарат классической логики. Этот аппарат возник и вполне оправдал себя при исследовании конечных множеств. Идеализированный характер акту­альной бесконечности состоит в том, что о бесконечном множестве рассуждают по аналогии с конечными множествами. Кроме того, здесь абстра­гируются от конкретных способов построения элементов бесконечного множества и даже допускают, что все его элементы существуют одновременно, а не возникают в процессе построения.