1161-1 (Логика неопределенности и неопределенности во времени), страница 3

Обсуждаемое сходство можно подкрепить психологически, сделав похожими начертания сходных предикатов. Удобнее вместо Q использовать, допустим, Р*. Важно подчеркнуть, что суть идеи сходства не в этом. Мы называем n - местные атомарные предикаты Р(х 1 , ..., x n ) и Q (х 1 , ..., x n ) сходными в теории Т, если любая аксиома Т, содержащая эти предикаты или один из них, остается аксиомой данной теории Т после одновременной замены каждого вхождения Р(х 1 , ..., x n ) на Q (х 1 , ..., x n ) и каждого вхождения Q (х 1 , ..., x n ) на Р(х 1 , ..., x n ). Аналогичным образом определяется сходство в теории Т функциональных символов.

Перейдем к более детальным построениям. Пусть Т – аксиоматическая теория в языке L классического исчисления предикатов первого порядка. Сопоставим каждому n -местному атомарному предикатному символу Р(х 1 , ..., x n ) языка L n -местный атомарный предикатный символ Р*(х 1 , ..., x n ), а каждому n -местному функциональному символу t (х 1 , ..., x n ) – n-местный функциональный символ t *(х 1 , ..., x n ). Индивидные константы (если они вообще имеются) оставим без изменений [1] . Получим язык L*. Теперь заменим в аксиомах теории Т каждое вхождение предикатных и функциональных символов на соответствующие символы со звездочкой. Результат описанной замены для аксиомы А обозначим через А*. В итоге получим теорию Т* в языке L*, содержащую в качестве аксиом только формулы вида А*.

Объединим полученные теории в одну. Получим теорию Т E Т* в языке L E L *. Теория Т E Т* вряд ли может кого-то заинтересовать. Просто она содержит два параллельных ряда аксиом, отличающихся лишь наличием или отсутствием звездочек в их формулировках. Однако понятие формулы претерпело существенное изменение. Формулами теории Т E Т* отныне являются не только формулы языка L и формулы языка L * по отдельности, но и смешанные формулы, содержащие как символы без звездочек, так и символы со звездочками. Пусть А – какая-либо формула языка L E L *. Через А* обозначим результат одновременной замены в А каждого предикатного или функционального символа без звездочки на соответствующий символ со звездочкой, а каждого предикатного или функционального символа со звездочкой на соответствующий символ без звездочки .

Так определенная операция * на формулах обладает следующим очевидным свойством.

Предложение 1 . Любая формула А графически совпадает с А**, но ни одна формула А не совпадает с А*.

По аналогии с атомарными формулами, произвольные формулы А и А* также будем называть сходными в теории Т E Т*.

Положим L н = L E L * E {н}, где “н” – символ новой унарной логической связки.

Добавим к Т E Т* важное определение. Точнее, схему определений. Для любой формулы А языка L н аксиомой является следующая формула:

нА « ((А & O A *) U ( O A & A *)).

Содержательный смысл данного определения должен быть ясен из вышесказанного. В частности, если А – формула языка L E L * (это означает, что в А нет вхождений оператора “н”), то А неопределенна тогда и только тогда, когда она выполнена в модели теории Т E Т*, а сходная с ней формула А* не выполнена в той же модели, или, наоборот, А не выполнена, но А* выполнена.

Теорию Т E Т* с присоединенной схемой определений

нА « ((А & O A *) U ( O A & A *)) в качестве новой аксиомной схемы назовем минимальной теорией с неопределенностью Тн в языке L н. Короче, минимальная Тн = Т E Т* E {нА « ((А & O A *) U ( O A & A *))}.

Интересно обсудить вопрос: относится ли предложенная конструкция к чистой логике, или она является частью прикладных построений? Уточним постановку вопроса. Пусть исходная теория Т – это просто одна из аксиоматических формулировок чистого исчисления предикатов первого порядка без равенства. Нет никаких причин сомневаться, что Т* тогда тоже относится к чистой логике. Но как быть в этом случае с минимальной Тн? Является ли Тн прикладной теорией (вроде арифметики или теории множеств), или ее все еще можно считать принадлежащей к чистой логике? Представляется убедительным следующий аргумент. Аксиомы прикладных теорий истинны не во всех универсумах, тогда как логические аксиомы верны при любых интерпретациях во всех непустых универсумах. Аксиомную схему нА « ((А & O A *) U ( O A & A *)) невозможно провалить по той же самой причине, по какой нельзя опровергнуть, например, сокращение (А & В) « O (А ® O В), добавленное к исчислению, сформулированному в языке { O , ® }. Так и в рассматриваемом случае. Формула нА « ((А & O A *) U ( O A & A *)) по сути является сокращением, позволяющем в более компактном виде представлять некоторые формулы. Можно, конечно, принять закон O ((А & В) « O (А ® O В) ), но это будет какая-то другая, неклассическая логика. Также можно придать унарной логической связке “н” какой-то другой смысл. Но это тоже будет уже другая логика.

Придадим сказанному формальный смысл. Пусть – структура для языка L E L *. Поскольку язык L E L * является языком исчисления предикатов первого порядка, функция интерпретации F предикатных, функциональных и индивидных констант из L E L * на непустом универсуме U стандартна. Все, что требуется для того, чтобы сделать структурой для языка L н, – это определить условие выполнимости для формул вида нА. Это условие очевидно: формула нА выполнена в структуре при оценке v тогда и только тогда, когда в при оценке v выполнена формула ((А & O A *) U ( O A & A *)). Тогда верно следующее утверждение (в котором знак логического закона “ u = ” имеет обычное классическое значение).

Предложение 2 . u = (нА « ((А & O A *) ? ( O A & A *))).

Однако чисто логическая теория Тн моментально превратится в прикладную, как только мы примем аксиому о том, что конкретная выполнимая формула А является неопределенной. Аксиома нА для такой формулы может выполняться в одних интерпретациях и не выполняться в других, как и положено аксиомам прикладных теорий. Но в этом случае теория Тн перестанет быть минимальной.

Предложение 3 . Для любой теории Т теория Т E Т* является ее консервативным расширением, а минимальная теория Тн является консервативным расширением Т E Т* (и, значит, также Т).

Как и всякую теорию, минимальную теорию Тн можно расширять, причем не обязательно формулами, содержащими оператор “н”. В качестве новой аксиомы к Тн разрешается добавлять любую формулу языка L н. Разумеется, в результате расширение уже не обязано быть консервативным. Тем не менее, каковы бы ни были теории с неопределенностью Тн, для них верны все стандартные метатеоремы о первопорядковых теориях классической логики. Иными словами, выполняется своего рода принцип переноса . Данный факт имеет место потому, что по сути дела теории Тн не выводят нас за рамки классической логики. В частности, каждую формулу теории Тн, содержащую оператор “н”, можно заменить эквивалентной ей формулой без этого оператора, элиминировав, таким образом, оператор неопределенности “н”.

Зато введение этого оператора позволяет в компактном виде сформулировать ряд неклассических идей, связанных с неопределенностью. Начнем с семантики. Будем использовать понятие выполнимости в обычном смысле с учетом расширения его на формулы вида нА, как было определено выше. Пусть А – формула языка L н и – структура для языка L н. А определенно выполнена в структуре при оценке v , если как А, так и А* выполнена в структуре при оценке v . А определенно не выполнена в структуре при оценке v , если как А, так и А* не выполнена в структуре при оценке v . Если в классическом случае любая формула либо выполнена, либо не выполнена, то здесь появляется третья возможность. Формула А неопределенно выполнена в структуре при оценке v , если либо А выполнена в структуре при оценке v , но А* не выполнена в структуре при оценке v , либо А не выполнена в структуре при оценке v , но А* выполнена в структуре при оценке v .

Предложение 4 . Формула нА определенно выполнена в структуре при оценке v тогда и только тогда, когда А неопределенно выполнена в структуре при оценке v .

Докажем это утверждение. Пусть нА определенно выполнена в структуре при оценке v . Значит, как нА, так и нА* выполнена в структуре при оценке v . Согласно определению выполнимости для формул вида нА, получаем, что в структуре при оценке v выполнена формула ((А & O A *) U ( O A & A *)). Дизъюнкция C U D выполнена, если выполнена формула С или выполнена формула D . Допустим, (А & O A *) выполнена в структуре при оценке v . Тогда и А, и O А* выполнена в структуре при оценке v . Раз O А* выполнена, то А* не выполнена в структуре при оценке v , т. е. А неопределенно выполнена в структуре при оценке v , что и требовалось. Случай ( O A & A *) рассматривается аналогично.

Пусть теперь А неопределенно выполнена в структуре при оценке v . Тогда либо А выполнена в структуре при оценке v , но А* не выполнена в структуре при оценке v , либо А не выполнена в структуре при оценке v , но А* выполнена в структуре при оценке v . Рассмотрим первую возможность. Так как А* не выполнена в структуре при оценке v , O А* выполнена в структуре при оценке v . Значит, в структуре при оценке v выполнена конъюнкция (А & O A *) и, следовательно, дизъюнкция ((А & O A *) U ( O A & A *)), что и требовалось. Вторая возможность рассматривается аналогичным образом.

Формула А принимает значение 1 ( определенно истинно ) в структуре , если А определенно выполнена структуре при всех оценках v . Формула А принимает значение 0 ( определенно ложно ) в структуре , если А определенно не выполнена структуре при всех оценках v . Формула А принимает истинностное значение 1/0 ( неопределенность ), если А неопределенно выполнена структуре при всех оценках v .

Разумеется (как и в классическом случае, когда незамкнутая формула может быть ни истинной, ни ложной), незамкнутая формула может быть ни истинной, ни ложной, ни неопределенной. Зато каждая замкнутая формула в семантике неопределенности получит какое-то из трех истинностных значений.

Предложение 5 . Если А – замкнутая формула языка L н, то в любой структуре для языка L н А получит одно и только одно из трех истинностных значений: либо ¦А¦ = 1, либо ¦А¦ = 0, либо ¦А¦ = 1/0.

Еще одним очевидным следствием принятых определений является следующее утверждение.

Предложение 6 . Унарные связки “ O ” и “н” подчиняются вышеприведенной таблице истинности, тогда как бинарные связки не могут быть заданы конечной таблицей истинности.

Предложение 7 . Пусть А – замкнутая формула. Тогда ¦нА¦ = ¦нА*¦ = ¦н O А¦ = ¦н O А*¦. При этом либо ¦нА¦ = 1, либо ¦нА¦ = 0.

Для доказательства данного утверждения достаточно обратить внимание, что условия выполнимости для нА и нА* эквивалентны ввиду того, что А неопределенно выполнена тогда и только тогда, когда А* неопределенно выполнена. Аналогичным образом, если формула А неопределенно выполнена, то и O А также неопределенно выполнена, и наоборот. Поэтому можно было бы сказать, что если А неопределенно не выполнена, то и O А также неопределенно не выполнена. То есть в условиях неопределенности выполнимость и невыполнимость совпадают. В случае неопределенности А формула нА будет определенно истинной, а в случае определенной истинности или определенной ложности А формула нА окажется определенно ложной. Случай ¦нА¦ = 1/0 поэтому исключается. С философской точки зрения это означает, что утверждение неопределенности или, равным образом, отрицание неопределенности, само вполне определенно. Но так и должно быть. Либо неопределенность есть, либо ее нет. Словосочетание “неопределенная неопределенность”, на наш взгляд, лишено смысла.

Стандартное понятие общезначимой формулы распространяется на построенную трехзначную семантику естественным образом: вместо истинно надо сказать определенно истинно . Точнее, формула А языка L н является н- общезначимой , если А определенно истинна в любой структуре для языка L н. Для обычной общезначимости пишем u = А, а для н-общезначимости будем использовать запись н u = А.

Принципиальное значение имеет следующее утверждение.

Предложение 8 . Для любой формулы А языка L н u = А тогда и только тогда, когда н u = А.

Из определений ясно, что если н u = А, то не только u = А, но и u = А*. Доказательство в обратную сторону основывается на том факте, что u = А U u = А* (ведь формулы А и А* имеют одинаковую структуру). Рутинные детали опустим.

Осуществив столь же естественное распространение на семантику неопределенности понятия логического следования (снова достаточно в нужных местах добавить слово “определенно”), получим более общее утверждение.

Предложение 9 . Г u = А U Г н u = А.

Наконец, используя теорему полноты для классической логики, получаем следующее утверждение.

Предложение 10 . Тн ? ? А U н u = А.

Пора проиллюстрировать логическую теорию неопределенности конкретными примерами рассуждений в неопределенных условиях. Лучше всего это сделать, обратившись к логике исторических рассуждений, поскольку именно исследователям уже исчезнувших событий прошлого приходится сталкиваться с неопределенностями там, где аналогичные события, будь мы их очевидцами, не вызвали бы вопросов.

Более конкретно, мы займемся проблемой прямого правила удаления квантора существования в рассуждениях историков. Но вначале необходимо показать, как эта проблема решалась в классической и интуиционистской (ставшей уже почти классической) логике. Одним из способов решения было ведение e -оператора. Как известно, идея исчисления с e -термином принадлежит Д. Гильберту. Смысл выражения вида e хА(х) состоит в указании на некий индивид, обладающий свойством А(х), если такой индивид существует. Знаки индивидов называются именами, однако в рассматриваемом случае мы имеем дело с именем не конкретного, а неопределенного индивида, произвольно выбранного среди объектов, удовлетворяющих свойству А(х), если таковые вообще найдутся. Поэтому оператор e получил название оператора неопределенной дескрипции . Существует также оператор определенной дескрипции , обычно обозначаемый символом i , который указывает на индивид однозначным образом. В трактовке Д. Гильберта требование однозначности обеспечивается доказательством существования и единственности введенного с помощью i -оператора объекта. Выражение i хА(х) имеет смысл тогда и только тогда, когда предварительно доказано, во-первых, что $ хА(х) (объект существует) и, во-вторых, что " х " у((А(х) & А(у)) ® х = у) (объект единственен) [7], или, в сокращенной форме, $ !хА(х). Отказываясь от слишком обременительного условия доказательства единственности и оставляя требование доказательства существования, приходим к h -оператору, который (так же, как и e ) оказывается оператором неопределенной дескрипции, поскольку указывает на произвольный объект, удовлетворяющий свойству А(х): h хА(х) означает результат выбора некоторого индивида, выполняющего свойство А(х).