1161-1 (Логика неопределенности и неопределенности во времени), страница 4

Необходимость перехода к оператору неопределенной дескрипции В. А. Смирнов иллюстрирует на следующем примере [16]. Рассмотрим предложение “Семен видел верблюда”. Здесь “Семен” – имя индивида, а термин “верблюд” указывает на класс индивидных объектов. Однако интуитивное понимание данного предложения не совместимо с утверждением “Семен видел класс верблюдов”. Имеется в виду, что Семен видел некоторого представителя класса верблюдов, а не сам класс. Уточнить сказанное позволяет оператор неопределенной дескрипции: “(Семен) Видел ( h х Верблюд (х))”. Но выражение вида h хА(х) имеет смысл тогда и только тогда, когда доказано $ хА(х), что также накладывает излишне строгие ограничения на использование оператора неопределенной дескрипции. Верблюды существуют, а динозавры нет. Поэтому утверждение “(Семен) Видел ( h х Динозавр (х))” оказывается просто неправильно построенным, хотя оно имеет точно такую же форму, как и в предыдущем примере.

Выходом из этого затруднения является отказ от обязательного доказательства существования объектов, обладающих некоторым свойством, в утверждениях с использованием оператора неопределенной дескрипции. Гильберт и Бернайс следующим образом обобщают идею неопределенной дескрипции, вводя e -оператор [8]. Принимается аксиома:

А( t ) ® A ( e xA ( x )) (где t – терм).

Кванторы общности и существования вводятся определениями:

$ xA(x) = Df A( e xA(x)), " xA(x) = Df A( e x O A(x)).

Теперь формулы вида В( e xA ( x )) можно вводить без каких-либо ограничений, связанных с предварительным доказательством существования индивидов, обладающих свойством А(х). С семантической точки зрения, общезначимость выше приведенной аксиомы можно обосновать следующим рассуждением. Пусть значением выражения e xA ( x ) будет произвольный индивид, удовлетворяющий свойству А(х), если предикат А(х) проинтерпретирован на непустой области объектов. Если же при данной интерпретации предикат А(х) пуст, то выражению e xA ( x ) сопоставляем любой индивид из универсума рассуждений. Пусть теперь формула А( t ) выполнена в интерпретации F при некоторой оценке f . Это означает, что предикат А(х) не пуст в интерпретации F . Ясно, что формула A ( e xA ( x )) также будет выполнена при данной интерпретации и оценке f . На самом деле A ( e xA ( x )) в рассматриваемом случае будет выполнена при любой оценке g . Если же формула А( t ) не выполнена в данной интерпретации ни при какой оценке, e xA ( x ) сопоставим b , где b – произвольный индивид из универсума рассуждений. Поскольку формула А( t ) не выполнена ни при какой оценке, формула A ( e xA ( x )) также не будет выполнена, какую бы оценку мы ни взяли, что и требовалось. В частности, если А( t ) истинна, то A ( e xA ( x )) также будет истинна, а если А( t ) ложна, то A ( e xA ( x )) также будет ложна. Фактически, именно такое понимание смысла оператора e было предложено Гильбертом и Бернайсом [8. C . 30].

Существенно, что построенное Гильбертом и Бернайсом исчисление предикатов, содержащее оператор e , не ведет к расширению класса формул, доказуемых в обычном исчислении предикатов. Точнее, если некоторая формула А, не содержащая символа e , доказуема в гильбертовском e -исчислении, то она будет доказуема и в исчислении предикатов первого порядка, не содержащем символа e . Иначе говоря, e -исчисление является консервативным расширением обычного исчисления предикатов. Исследования e -оператора В. А. Смирновым позволили распространить полученные школой Гильберта результаты на исчисления иных типов и на интуиционистскую логику. Эти новые, далеко идущие обобщения первоначально были изложены в седьмой, заключительной главе книги [16]. В дальнейшем В. А. Смирнов неоднократно обращался к проблематике e -исчислений, развивая и уточняя предложенный им подход.

Нас здесь будет интересовать, в первую очередь, сформулированное В. А. Смирновым несеквенциальное натуральное исчисление предикатов второго типа, предполагающее наличие прямых правил удаления для каждого логического знака, в том числе для квантора существования [16. C . 217]. Введение такого правила для квантора существования порождает проблему, связанную с обеспечением логического следования. Такого рода проблема возникает и в случае прямого правила введения квантора всеобщности. Переход (при линейном способе записи) А(х) ? " хА(х) нарушает логическое следование: А(х) может оказаться истинным при каком-то конкретном значении х, тогда как утверждение " хА(х) окажется ложным. Однако общезначимость формулы А(х) в каком-либо универсуме рассуждений гарантирует общезначимость и формулы " хА(х) в том же универсуме.

С квантором существования дело обстоит сложнее. Прямое правило удаления квантора существования $ хА(х) ? А( t ) не воспроизводит отношение логического следования и в том случае, когда формула $ хА(х) является универсально общезначимой. Например, формула $ х(Р(х) ® " уР(у)) универсально общезначима, но формула (Р( t ) ® " уР(у)) не общезначима. Неформальное доказательство общезначимости первой формулы заключается в следующем простом рассуждении. Свойство Р(х) выполняется либо для всех объектов универсума, либо не для всех. В первом случае в качестве индивида, существование которого утверждается, возьмем произвольный объект универсума, скажем, b . Поскольку Р( b ) истинно и " уР(у) истинно, импликация также Р( b ) ® " уР(у) истинна, а вместе с ней истинна и формула $ х(Р(х) ® " уР(у)). Например, в универсуме людей истинно утверждение “Все люди смертны”. Отсюда истинно “Если Сократ смертен, то и все смертны” и, следовательно, истинно “Существует такой человек, что если он смертен, то и все смертны”. Если же свойство Р(х) выполняется не для всех индивидов рассматриваемой области, то в качестве объекта, существование которого утверждается, возьмем любой из тех индивидов, который не удовлетворяет свойству Р(х). Например, пусть Р(х) означает “Добрый(х)”. Но не все люди добры. Так, маркиз де Сад не является добрым. Отсюда импликация “Если уж и маркиз де Сад добр, то тогда все добры” будет истинна в силу ложности антецедента. Следовательно, истинно экзистенциальное обобщение “Существует такой человек, что если он добр, то все добры”.

Решить задачу формулировки прямого правила удаления квантора существования можно с помощью e -символа. Примем правило $ хА(х) ? А( e хА(х)), где А( e хА(х)) есть результат замены каждого свободного вхождения переменной х в формуле А(х) на выражение e хА(х). Такое правило, учитывая сказанное выше о семантике выражений с e -символом, воспроизводит отношение логического следования. Истинность посылки $ хА(х) гарантирует истинность заключения А( e хА(х)) [13. C . 139-140]. В. А. Смирнов построил и исследовал различные классические и интуиционистские варианты натурального e -исчисления с прямыми правилами введения и удаления логических знаков. При этом более ранний интуиционистский вариант основывался на требовании, чтобы e -термы не входили в устраняемые допущения и в заключение вывода [16, гл. 7]. Впоследствии он применил иной, более элегантный подход, использующий введение в систему предиката существования [17]. Таким образом, удалось рассмотреть с единых позиций и классическую, и интуиционистскую логики предикатов, представив их в виде e -исчислений натурального вывода второго типа.

В данной работе будет показано, что трудности, связанные с принятием прямого правила удаления квантора существования, появляются вновь, если попытаться распространить его на область существенно неконструктивных рассуждений. Прежде всего поясним на примерах, что имеется в виду под неконструктивными рассуждениями. Всем известна загадочная история человека по имени Каспар Гаузер. Тайна его происхождения так и осталась нераскрытой. Кто были его родители? Несомненно, что таковые существовали, поскольку каждый человек имеет родителей. Зафиксируем это в символической форме: " у $ хР(х,у), где Р(х,у) читается “х родитель у”. Представим себе, однако, что следы существования родителей Каспара Гаузера начисто исчезли, что их нет в сам o м существующем в настоящее время универсуме. Заметим, что мы не утверждаем, что следы действительно исчезли. Предположим , что они исчезли. В таком предположении нет ничего невероятного. Более того, в трудах историков нередко можно встретить аналогичные утверждения о безвозвратной утрате источников и следов некоторых исторических событий. В рассматриваемой ситуации мы располагаем конечным множеством людей, которые могли бы быть родителями Каспара Гаузера. Претенденты на эту роль известны. Так, в одной из версий родителями Каспара Гаузера были герцог Баденский Карл и его жена Стефания де Богарне, удочеренная в свое время Наполеоном. Согласно еще одной гипотезе, Каспар Гаузер родился в семье простолюдинов Блохманнов [6, C . 334-340]. Но при отсутствии следов ни одно из утверждений вида Р( b , КГ), где b – имя конкретного претендента и КГ – имя Каспар Гаузер, не может быть верифицировано в принципе. Хотя, конечно, многие люди (например, наши современники или далекие предки) заведомо не могли быть родителями Каспара Гаузера, так что если “а” – имя такого человека, то истинно O Р(а, КГ).

Не имея возможности приписать таким утверждениям, как Р( b , КГ), значение “истинно” или “ложно”, будем оценивать их при помощи третьего истинностного значения “неопределенно”. Предшествующие рассуждения позволяют заключить, что " х(нР(х, КГ) U O Р(х, КГ)). Вместе с тем, несомненно " у $ хР(х,у). Снимая квантор общности в последнем предложении на имя “Каспар Гаузер”, получаем: $ хР(х, КГ). Попытавшись применить правило прямого удаления квантора существования, приходим к Р( e хР(х, КГ), КГ). Теперь в предложении " х(нР(х, КГ) U O Р(х, КГ)) снимем квантор общности на e -терм e хР(х, КГ): нР( e хР(х, КГ), КГ) U O Р( e хР(х, КГ), КГ). Поскольку некоторый человек, являющийся родителем Каспара Гаузера, не может не быть его родителем, последний дизъюнктивный член должен быть оценен как ложный. Следовательно, истинно нР( e хР(х, КГ), КГ). Но предложения Р( e хР(х, КГ), КГ) и нР( e хР(х, КГ), КГ) не могут быть вместе истинными!

Возникшая коллизия является результатом принятия правила прямого удаления квантора существования. Ситуация в действительности носит не частный характер, а имеет отношение к целому пласту реальных рассуждений в обыденной жизни и науке. Что касается науки, то речь идет о дисциплинах, которые (следуя терминологии В. Виндельбанда) можно назвать идиографическими в противоположность номотетическим. Идеалом науки является стремление к точности. Но как эту точность понимать? Не всякие представления о точности оправданы с теоретической и практической точек зрения. Например, представление о том, что любой феномен допускает строгое описание на языке чисел, в настоящее время уже не находит столько приверженцев, как это было раньше. В логике стремление к достижению большей строгости нашло выражение в требовании конструктивности рассуждений. Даже их формализация здесь не является решающим моментом.

Конструктивность в интересующем нас аспекте связана с особой трактовкой утверждений с квантором существования и дизъюнкцией [2] . Классического доказательства формул вида $ хА(х) и (А U В) здесь недостаточно. Неконструктивность классической логики легче всего продемонстрировать на примере закона исключенного третьего. В классической логике принимается, что формула А U O А истинна при любом суждении А , причем А либо истинно (тогда O А ложно), либо ложно (тогда истинно O А). Однако классическая логика далеко не всегда позволяет получить ответ на вопрос, какое именно суждение истинно – само А или его отрицание. Несмотря на то, что имеются существенные разногласия в подходах к анализу понятия конструктивности, нашедшие выражение в создании различных систем конструктивных логик, общим остается требование считать дизъюнкцию А U В доказанной лишь в том случае, если предъявлено доказательство по крайней мере одного из членов дизъюнкции. Еще один источник неконструктивности классической логики связан с квантором существования. Доказательство высказывания $ хА(х) с использованием классической логики может содержать неопределенность в отношении того объекта, существование которого утверждается. Речь идет о так называемых “чистых теоремах существования”, из доказательства которых невозможно извлечь информацию о способах эффективного построения искомого объекта.

В конструктивных рассуждениях (например, в интуиционистской логике) наличие доказательства формулы вида (А U В) означает, что мы располагаем доказательством по крайней мере одного из ее членов (свойство дизъюнктивности), а утверждение вида $ хА(х) считается доказанным лишь при условии, что имеется терм t , для которого доказано суждение А( t ) (свойство экзистенциальности) [10]. Хотя классическая логика не удовлетворяет названным свойствам, любую основанную на ней теорию Т всегда можно пополнить таким образом, чтобы расширенная теория Т ? была дизъюнктивной и экзистенциальной. Правда, само такое расширение осуществляется неконструктивным образом и потому интуиционистски неприемлемо. В существенно неконструктивных рассуждениях в условиях неопределенности указанное расширение в общем случае осуществить невозможно в принципе. Здесь мы сталкиваемся с ситуацией, когда неконструктивная со стандартной точки зрения классическая логика оказывается слишком конструктивной!

Как было показано выше, доказательство (в рассмотренном примере со ссылкой на эмпирический закон) утверждений о существовании некоторых объектов не означает, что у нас имеется возможность предъявить эти объекты, даже если область рассуждений охватывает только конечное число индивидов. Последнее замечание также демонстрирует необычность ситуации, поскольку считается несомненным, что коль скоро задано конечное множество объектов K , то тем самым заданы и все подмножества множества K и его декартова произведения K ? K , представляющие соответственно всевозможные свойства и бинарные отношения на K . Ясно, в частности, что свойство “Родитель(х, КГ)” является подмножеством конечного множества людей, обстоятельства и время жизни которых не исключали возможности оказаться в роли одного из родителей Каспара Гаузера. Однако, как мы убедились, свойство “Родитель(х, КГ)” нельзя задать предъявлением двух его элементов. Поэтому стремление к строгости, выраженное идеалом конструктивности, оказывается нереализуемым. Представление о реальности как о вполне определенном образовании наталкивается на ограничения, поставленные самой природой вещей. Тем не менее, это не означает, что не следует стремиться к точности и строгости рассуждений в существенно неконструктивном случае. Просто идеал строгости не должен быть связан только с конструктивностью. Требуемая строгость, на наш взгляд, может быть достигнута за счет применения формальных методов анализа.

В условиях неопределенности свойство “Родитель(х, КГ)” не может быть представлено одним подмножеством универсума людей Л. Есть два сходных подмножества этого универсума Р и Р*, в одно из которых попадут аристократы герцог Карл и его жена, а в другое – простолюдины Блохманны. Все остальные претенденты также должны быть разведены по Р и Р*. Если бы остались реальные следы единственной пары родителей { a , b }, то необходимо было бы положить Р = Р* = { a , b }. Если бы следы оставил один из родителей, но не другой (допустим, рассматриваемому свойству удовлетворяет b ), то отсюда вытекало бы, что Р ? Р*, но Р C Р* = { b }. В анализируемом примере, по предположению, нет ни того, ни другого. Остается утверждать, что Р ? ? , Р* ? ? , но при этом Р C Р* = ? .

Высказанные соображения можно обобщить следующим образом. Если для двух сходных свойств А(х) и А*(х) верно, что $ х(А(х) & А*(х)), то можно ввести константу с , для которой будет верно (А( с ) & А*( с )). Назовем такую константу определенной в отношении свойств А(х) и А*(х). Если же O$ х(А(х) & А*(х)), то будем говорить, что любая константа является неопределенной в отношении свойства А(х) и свойства А*(х)).

Теории с неопределенностью оказываются неконструктивными (или антиконструктивными ) в следующем смысле. Распространим естественным образом понятие модели теории на теории с неопределенностью: н- моделью теории Тн называется структура, в которой все предложения Тн определенно истинны.