151000 (Теплоёмкость. Термодинамические процессы с идеальным газом)

Теплоёмкость.

Краткая теоретическая часть

Отношение теплоты δq, полученной единицей количества вещества к изменению температуры dt называют удельной теплоемкостью.

(1.1)

Поскольку количество теплоты δq зависит от характера процесса, то и теплоемкость системы CX также зависит от условий протекания процесса.

Теплоемкость в зависимости от количества вещества может быть массовой – С, объемной – С' и мольной µC. Связь между ними:

(1.2)

Физический смысл теплоемкостей идеального вещества при V = const и P = const следует из рассмотрения дифференциальных соотношений термодинамики вида:

(1.3)

После соответствующих преобразований с учётом свойств идеального газа получим:

(1.4)

Это свидетельствует о том, что изменения внутренней энергии и энтальпии определяются как:

(1.5)

т.е. независимо от характера процесса.

Соотношения между CP и CV:

(1.6)

В соответствии с молекулярно-кинетической теорией газов мольная теплоемкость при V = Const пропорциональна числу их степеней свободы, выраженному в джоулевом эквиваленте и для одного моля газа равна µСV = 3 × 4,19 = 12,5 Дж/(моль×К). Тогда в соответствии с законом Майера, µСP = 5 × 4,19 = 20,8 Дж/(моль×К), что позволяет в зависимости от атомности газа и их степеней свободы представить значения мольных теплоёмкостей в следующем виде:

Таблица № 1.1.

Теплоемкость, определяемая по уравнению (4.1) при заданных параметрах состояния (P, v, Т) называемая истинной и может быть выражена как:

CX = CX0 + ΔCX,(1.7)

где СX0 – теплоемкость газа в разряженном состоянии (при P 0) и зависит только от температуры, а ΔСX – определяет зависимость теплоемкости от давления и объема.

Средняя теплоемкость СXm в интервале температур от T1 до T2 выражается как:

(1.8)

Если принять что один из пределов, например T1 = 273,15 К, то можно рассчитать средние теплоемкости газов в интервале температур от t1 = 0 °C до t2 = х °C и представить их значения в табличной форме, см. приложение, таблицы №2 – №4.

Количество теплоты, передаваемое системе согласно уравнению (4.8) и используя данные теплоемкостей, таблицы №2 – №4, с учетом (4.2), в зависимости от процесса рассчитывается по формулам:

(1.9)

Для приближенных расчетов количества теплоты при не очень высоких температурах можно принять C = Const и тогда уравнения (1.14) с учетом (1.2) – (1.4) и значений таблицы №4.1. будут иметь вид:

(1.15)

Задачи для самостоятельного решения.

Задача № 1-1. Воздух имеющий объем V = 15 м3 при температуре t1 = = 1500 °C и давлении Р = 760 ммHg, охлаждается изобарически до температуры t2 = 250 °C. Определить отводимое тепло QP, если: а) считать теплоемкость постоянной, б) использовать формулу µСP = 6,949 + + 0,000576×t.

Задача № 1-2. Расход воздуха измеряется с помощью электрического нагревателя, установленного в воздухопроводе. Температура воздуха перед нагревателем и за ним измеряется с помощью двух термометров. Определить часовой расход воздуха G кг/ч, если при включении электрического нагревателя мощностью 0,75 кВт температура воздуха перед нагревателем Т1 = 288 К, а за нагревателем Т2 = 291,1 К. Определить также скорость потока воздуха за нагревателем, если давление его (принимаемое нами неизменным) Р = 870 ммHg, а диаметр воздухопровода d = 90 мм.

Задача № 1-3. В результате полного сгорания углерода в атмосфере чистого кислорода в сосуде образовался углекислый газ СО2 при давлении Р = 6,04 бар и температуре Т1 = 1673 К. Какое количество тепла выделится при остывании СО2 до температуры Т2 = 293 К. Определить также, какое давление установиться при этом в сосуде и какое давление имел кислород в сосуде до сгорания, если температура его равнялась 10 °C. Объем сосуда принять неизменным и равным 5 литров.

Задача № 1-4. Найти количество тепла, необходимое для нагревания 1 нм3 газовой смеси состава τ(CO2) = 14,5%; τ(O2) = 6,5%; τ(N2) = 79,0% от 200 до 1200 °C при P = Const и нелинейной зависимости теплоемкости от температуры.

Пример. Воздух в количестве 6 м3 при давлении Р1 = 3 бар и температуре t1 = 25 °C нагревается в процессе P = Const до t2 = 130 °C. Определить количество подведенного тепла, считая С = Const и С = f(T).

Решение.

QP = m × CP × (t2 – t1) = VН × C'P × (t2 – t1);

QP = m × (CPm × t2 – CPm × t1) = VН × (C'Pm × t2 – C'Pm × t1).

m = (Р1 × V1 × µ) /(R × T1) = (3×105 × 6 × 2,896×10–2) /(8,314 × 298,15) = 21,03 кг.

VН = (Р1 × V1 × TН) /(РН × T1) = (3×105 × 6 × 273,15) /(101325 Па × 298,15) = 16,28 нм3.

QP = 21,03 × (29,33/2,896 × 10–2) × (130 – 25) = 16,28 × (29,33/2,24 × 10–2) × (130 – 25) = 2236,4 кДж.

QP = 21,03 кг × (1,0079 × 130 – 1,0042 × 25) = 16,28 × (1,3026 × 130 – 1,298 × 25) = 2227,5 кДж.

Расхождение 0,40%.

Задача № 1-5. В закрытом сосуде ёмкостью V = 0,5 м5 содержится диоксид углерода при Р = 6 бар и Т = 800 К. Как изменится давление газа, если от него отнять 100 ккал? Принять зависимость C = f(T) линейной.

Задача № 1-6. Сосуд емкостью 90 л содержит воздух при давлении 8 бар и температуре 303 К. Определить количество тепла, которое необходимо сообщить воздуху, чтобы повысить его давление при V = Const до 16 бар. Принять зависимость C = f(T) нелинейной. Ответ дать в ккал.

Задача № 1-7. Какое количество тепла необходимо затратить, чтобы нагреть 2 м3 воздуха при постоянном избыточном давлении РМ = 2 бар от t1 = 100 °C до t2 = 500 °C? какую работу при этом совершит воздух? Давление воздуха по барометру принять равным 760 ммHg.

Задача № 1-8. При изобарическом нагревании от Т1 = 313 К до Т2 = 1023 К однородный газ совершает работу l = 184 кДж/кг. Определить, какой это газ, какое количество тепла ему сообщено и как при этом изменилось его давление.

Задача № 1-9. В процессе подвода тепла при постоянном давлении температура 0,9 нм3 азота повышается от Т1 = 288 К до Т2 = 1873 К. Определить изменения энтальпии азота и долю тепла, пошедшую на увеличение внутренней энергии.

Задача № 1-10. В цилиндре с подвижным поршнем заключен кислород в количестве VН = 0,3 нм3 при Т1 = 318 К и Р1 = 776 ммHg. Некоторое количество тепла сообщается кислороду при Р = Const, а затем производится охлаждение до начальной температуры (318 К) при V = Const. Определить количество подведенного тепла, изменения энтальпии, внутренней энергии и произведенную работу для обоих процессов, если известно, что в конце изохорического охлаждения давление кислорода Р3 = 0,588 бар. Изобразите состояния газа в P – V и T – S координатах.

Термодинамические процессы с идеальным газом.

Краткая теоретическая часть

Под термодинамическим процессом понимается взаимодействие ТС с окружающей средой, в результате которого ТС переводится из определенного начального состояния в определенное конечное состояние.

Если ТС, в которой протекает процесс, можно вернуть в начальное состояние так, что во внешней среде не произойдет каких либо изменений, то процесс называется обратимым. Если начальное состояние ТС без изменений во внешней среде невосстановимо, то процесс называется необратимым.

Только обратимые процессы могут быть изображены графически на диаграммах состояния, так как на них каждая точка представляет равновесное состояние.

Принцип сохранения энергии, сформулированный первым законом термодинамики (формулы (2.1) – (2.3)), приводит в конечном счете к энергетическому балансу, связывающему изменение запаса энергии ТС (внутренней энергии) с энергией, переходящей границы системы при совершении процесса в форме работы или теплоты.

Группа процессов, являющаяся при определенных условиях обобщающей для всех процессов и характеризующаяся постоянством теплоемкости называются политропными.

Для всех процессов устанавливается общий метод исследования, заключающийся в следующем:

• выводится уравнение процесса;

• устанавливается зависимость между основными параметрами состояния ТС;

• определяется теплоемкость процесса;

• определяются изменения функций состояния: внутренней энергии, энтальпии, энтропии;

• вычисляются функции процесса: теплота и работа;

• дается графическая интерпретация термодинамических процессов в P – V и T – S координатах.

Рассматриваемые процессы считаются обратимыми.

Основные соотношения согласно пунктам 1 – 5 даны в таблицах № 2.1 – № 2.3.

Таблица № 2.1

Таблица № 2.2

Таблица № 2.3

Теплоёмкость при политропном процессе равна:

(5.1)

На рисунке ниже приведены политропные процессы в P – V и T – S координатах.