150951 (Стаціонарні та рівномірно-обертові конфігурації точкових вихорів), страница 2

Функція току рідини, зумовлена конфігурацією точкових вихорів інтенсивності , визначається з виразу:

Поле швидкості потоку рідини пов’язане з полем функції току рівняннями:

Також проведено аналогію з задачами небесної механіки та представлено теореми про кількість деяких конфігурацій, зокрема колінеарних.

Третій розділ дисертації присвячено пошуку стаціонарних конфігурацій рівномірно намагнічених сталевих голок, що рухаються в рідині. Даний експеримент вперше було відтворено Майєром (1878), і саме завдяки цьому експерименту набула розвитку одна з найцікавіших задач вихрової динаміки про рівномірне обертання систем точкових вихорів.

Слід відмітити, що вперше на аналогію між обертанням вихрових структур та електромагнітними явищами звернув увагу Гельмгольц в своїй визначній роботі, яка поклала початок теорії вихрових рухів (1858). І хоча повної аналогії між плаваючими магнітами та точковими вихорами не існує, все ж таки, результати, знайдені експериментально, мають певну аналогію з чисельними та аналітичними розрахунками. В розділі описано експериментальну установку та представлено основні результати експерименту.

В експерименті декілька намагнічених сталевих голок (експеримент проводився з кількістю голок від 2 до 12) розміщувались в корки та занурювались у посудину з водою діаметром 14-16 см та висотою 12 см. Голки розміщувались таким чином, що всі їх додатні полюси знаходились вище поверхні води. До посудини з намагніченими голками зверху над поверхнею площини води підводився сильний магніт протилежним з голками полюсом. Внаслідок чого додатні полюси намагнічених голок відштовхувались одна від одної з силами, величини яких змінювались обернено пропорційно квадрату відстаней між ними, та утворювали через деякий проміжок часу (1 - 1,2 хв.) нерухомі конфігурації. Коли кількість намагнічених голок менше чотирьох, вони розміщувались у вершинах правильних трикутника та чотирикутника.

Отримані конфігурації намагнічених точкових голок при кількості плаваючих голок від 5 до 10 представлені на рис.1. Видно, що 5 та 6 магнітів можуть знаходиться в вершинах правильних многокутників, як без магніту в центрі многокутника, так і з розміщеним в центрі многокутника магнітом, схематично це можна представити у вигляді 4+1 та 5+1. Конфігурація 7 магнітів розміщується, відповідно до запропонованої схеми, у вигляді 7=6+1. Аналогічно, 8=7+1 та 8=6+2; для 9 магнітів 9=8+1 та 9=7+2; 10 магнітів розташовуються у вигляді 10=7+3 та 10=8+2.

Під час відтворення експерименту були також помічені конфігурації намагнічених голок, що розміщувались несиметричним чином, або симетрично відносно вісі, і перебували у даному положенні деякий час нерухомо (приблизно 10-15 сек.). Потім вони продовжували рухатись та приймали стійке симетричне положення. Деякі з цих „нестійких конфігурацій” зображено на рис.2. З рисунку видно, що помічені положення вихорів мають певну аналогію з чисельно отриманими та представленими в роботі несиметричними конфігураціями точкових вихорів. Зокрема, конфігурація „тимчасово стійких” намагнічених голок (а) аналогічна до чисельно отриманої несиметричної конфігурації семи точкових вихорів 7₁ (лише повернуту на кут ), а конфігурація (с) – схожа на конфігурацію 9₁ - несиметричну конфігурацію 9 вихорів. Зрозуміло, що отримані конфігурації є нестійкими, але помічені аналогії з чисельними розрахунками ще раз підтверджують важливість експерименту Майєра для вихрової динаміки.

У четвертому розділі дисертації розглянуто рівномірно-обертові конфігурації точкових вихорів однакової інтенсивності. У цьому випадку рівняння руху вихорів мають вигляд.

Розглядається випадок, коли система точкових вихорів рівномірно обертається навколо центру завихрення з постійною кутовою швидкістю , тому розв’язок системи рівнянь.

Функція току рідини зумовлена конфігурацією точкових вихорів, що обертаються з постійною кутовою швидкістю, приймає вигляд:

В даному розділі запропоновано новий метод для побудови рівномірно-обертових конфігурацій точкових вихорів однакової інтенсивності, його чисельна реалізація суттєво спрощує обсяг обчислень при знаходженні нових конфігурацій систем точкових вихорів. Метод базується на розв’язанні нелінійної алгебраїчної системи рівнянь руху точкових вихорів. В якості початкового наближення вибирається стаціонарна конфігурація точкових вихорів та стаціонарна точка потоку рідини в системі координат, що обертається. В стаціонарній точці рідини розміщується точковий вихор, інтенсивність якого, по мірі проведення ітерацій, поступово збільшується від нуля до інтенсивності решти вихорів. При цьому поле швидкостей не зазнає змін. На кожному ітераційному кроці розв’язується нелінійна система алгебраїчних рівнянь порядку , в результаті визначається нова рівномірно-обертова конфігурація з вихором.

Таким чином, для переходу від рівномірно-обертової конфігурації точкових вихорів до системи, що складається з вихору, використовується наступна схема:

1) Вибираємо в якості вихідної системи довільну конфігурацію рівномірно-обертових точкових вихорів.

2) Визначаємо кутову швидкість обертання системи точкових вихорів.

3) Знаходимо в потоці рідини, що розглядається, точки, в яких наведена швидкість збоку вихорів та зовнішнього потоку дорівнює нулеві або має екстремальні значення.

4) В нерухомих точках рідини розміщуємо додатковий точковий вихор інтенсивності та поступово з певним кроком збільшуємо інтенсивність цього вихору до 1. На кожному кроці розв’язується система нелінійних рівнянь відносно невідомих.

5) При розв’язок системи дає нове положення рівномірно-обертової конфігурації системи точкового вихору.

Аналіз системи рівнянь та її розв’язків показує, що нова конфігурація вихорів визначається, в першу чергу, початковим наближенням (конфігурацією точкових вихорів) та вибором точки, в якій розміщується додатковий вихор змінної інтенсивності. Дослідження показали, що стаціонарних точок в рідині може бути декілька, однак не кожна з них може привести до нової конфігурації точкових вихорів. Слід відмітити, що при розв’язанні системи нелінійних рівнянь точковий вихор, спочатку розміщений в різні стаціонарні точки потоку рідини, може потрапляти в одні й ті самі рівномірно-обертові конфігурації систем точкових вихорів.

При чисельній реалізації методу інтенсивність вихору збільшувалась дискретно на кожному кроці розв’язання задачі. При розв’язанні системи рівнянь застосовувався метод Ньютона-Рафсона.

В результаті досліджень сформовано доповнений аналог (фрагмент при), так званого, „Лос-Аламоського каталогу”, який вважається найбільш повним зібранням стійких вихрових конфігурацій для , що розміщуються на вкладених одне в одне концентричних колах (рис.4). Отриманий фрагмент каталогу, принаймні при , відрізняється від вищевказаного наявністю трьох нових конфігурацій 8₃, 9₁ та 10_1. В роботі класифіковано отримані вихрові структури на правильні, полігональні та розміщені по концентричних колах, а також проведено порівняльний аналіз з класами рівномірно-обертових конфігурацій точкових вихорів, наведеними в літературі.

Метод знаходження рівномірно-обертових вихрових конфігурацій дозволив також знайти несиметричні вихрові структури, які виникають. Їх кількість збільшується зі збільшенням кількості вихорів (при та по одній конфігурації, при по три конфігурації, при - сім конфігурацій та при - дев’ять конфігурацій). Побудовано каталог несиметричних конфігурацій. Більшість з представлених несиметричних вихрових структур являються новими. Також в роботі побудовано лінії току всіх знайдених рівномірно-обертових конфігурацій точкових вихорів однакової інтенсивності.

Таблиця 1. Значення інваріантів руху симетричних конфігурацій

У п’ятому розділі побудовано траєкторії руху всіх отриманих конфігурацій точкових вихорів без збурень та з малими збуреннями початкових координат. Інтегрування проводилось за допомогою методу Рунге-Кутта 4 порядку.

Проведено чисельний аналіз стійкості всіх знайдених рівномірно-обертових конфігурацій точкових вихорів Для цього в початкове положення вихорів вносилось мале збурення, таке, що не змінювало положення центру завихрення та мінімально змінювало енергетичні параметри системи точкових вихорів. В таблиці 1 наведено значення інваріантів руху симетричних систем точкових вихорів, що представлені на рис.4; - інваріанти незбурених систем вихорів, - інваріанти збурених систем при значенні збурення початкових координат . Аналогічно в табл.2 представлено значення інваріантів руху несиметричних конфігурацій вихорів (рис.5 та рис.6) при збуренні початкових координат .

Аналіз траєкторій руху показав, що симетричні конфігурації вихорів, представлені в роботі (рис.4), являються стійкими відносно малих збурень початкових

Таблиця 2. Значення інваріантів руху несиметричних конфігурацій

При цьому встановлено, що включена в, так званий, „Лос-Аламоський каталог” конфігурація 10 вихорів (випадок 3+7) являється нестійкою. І, навпаки, аналогічна конфігурація 10 вихорів (випадок 2+8) виявляється стійкою відносно малих збурень початкових координат.