150951 (Стаціонарні та рівномірно-обертові конфігурації точкових вихорів)

КИЇВСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

ІМЕНІ ТАРАСА ШЕВЧЕНКА

ГУБА АНТОНІНА ОЛЕКСАНДРІВНА

УДК 532.5

СТАЦІОНАРНІ ТА РІВНОМІРНО-ОБЕРТОВІ КОНФІГУРАЦІЇ

ТОЧКОВИХ ВИХОРІВ

01.02.05 - механіка рідини, газу та плазми

Автореферат дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Київ – 2008

Дисертацією є рукопис

Робота виконана у Київському національному університеті імені Тараса Шевченка

Науковий керівник: доктор фізико-математичних наук, професор

МЕЛЕШКО В’ячеслав Володимирович,

Київський національний університет імені Тараса Шевченка,

завідувач кафедри теоретичної та прикладної механіки

Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук, професор

НІКІШОВ Володимир Іванович,

Інститут гідромеханіки НАН України,

заступник директора

кандидат фізико-математичних наук, доцент

ЧЕРНІЙ Дмитро Іванович,

Київський національний університет імені Тараса Шевченка,

доцент кафедри обчислювальної математики

Захист відбудеться 16 квітня 2008 року о 14.30 годині на засіданні

спеціалізованої вченої ради К26.001.21 у Київському національному університеті імені Тараса Шевченка за адресою: 03127, м. Київ, вул. Глушкова, 2, корпус 7, механіко-математичний факультет, ауд. 41.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Київського національного університету імені Тараса Шевченка (01033, м. Київ, вул. Володимирська, 58).

Автореферат розісланий 5 березня 2008 р.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради

кандидат фізико-математичних наук А.В. Ловейкін

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Теорія вихрових рухів представляє собою один з найкращих підходів до розуміння природи хаотизації потоку та початкового розвитку турбулентності. У випадку нев’язкої рідини вихрова динаміка забезпечує фізичний приклад нелінійних гамільтонових систем нескінченної розмірності та представляє постійний інтерес у зв’язку з дослідженнями хаотичних властивостей динамічних систем. Динаміка вихрових структур являється важливим розділом фізики рідини, газу та плазми, так як всі реальні течії являються вихровими. Особлива увага дослідників традиційно приділена двовимірним вихровим структурам. Зменшення розмірності задачі дозволяє суттєво спростити дослідження, виявити основні властивості та закономірності взаємодії масштабних вихрових структур та з меншими зусиллями досягти необхідних результатів.

Задачі про пошук конфігурацій точкових вихорів, зокрема стаціонарних та рівномірно-обертових конфігурацій вихорів однакової інтенсивності, крім механіки рідини, мають важливе значення в області небесної механіки, фізики надтекучого гелію II. Вивчення руху конфігурацій з невеликою кількістю вихорів поблизу границь найпростішої форми (прямолінійної або колової) дає уявлення про вплив геометрично більш складних границь на природу порядку та хаосу. Дослідження еволюції точкових вихорів, що розміщені по концентричних колах має велике значення для аналізу вихрових доріжок Кармана, що в свою чергу дозволяє вивчати процеси вихроутворення за тілами зі слабкими обтікаючими властивостями. Рівномірно-обертові моделі точкових вихорів застосовуються при пошуку та аналізі стійких конфігурацій вихрових структур, що впливають на формування атмосферних циклонів і океанографічних течій, при проектуванні апаратури в хімічній промисловості.

Задача про формування динамічними системами із скінченою кількістю степенів вільності стаціонарних та рівномірно-обертових конфігурацій належить до найбільш цікавих задач механіки рідини, газу та плазми. Пошук таких конфігурацій та аналіз їх стійкості потребує глибокого розуміння особливостей динаміки руху систем, що розглядаються, й суттєвого звуження діапазонів параметрів багатомірних систем, розробки нових алгоритмічних підходів чисельно-аналітичного розв’язання задачі, що й обумовлює актуальність даної дисертації.

Зв’язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дослідження, що складають дисертаційну роботу, виконані у відповідності до держбюджетної теми “Механіка рухомих деформівних середовищ та експериментальні методи механіки і низькочастотного електромагнітного зв’язку телесистем для похилого і горизонтального буріння нафтогазових свердловин” (№ 01БФ038-02), яка виконувалась у Київському національному університеті імені Тараса Шевченка (2001-2005), а також у рамках проекту INTAS 04-80-7297 “Vortex Dynamics” (2005-2007).

Мета і завдання дослідження. Метою представлених досліджень являється пошук нових стаціонарних та рівномірно-обертових симетричних та несиметричних конфігурацій систем точкових вихорів в ідеальній нестисливій рідині на необмеженій площині.

Для досягнення означеної мети ставились наступні завдання:

- проаналізувати особливості та основні закономірності взаємодії систем точкових вихорів на необмеженій площині;

- розробити ефективний чисельно-аналітичний метод для пошуку нових стаціонарних та рівномірно-обертових конфігурацій точкових вихорів однакової інтенсивності;

- провести класифікацію отриманих симетричних та несиметричних стаціонарних та рівномірно-обертових конфігурацій точкових вихорів однакової інтенсивності відповідно до даних, що містяться в сучасній літературі;

- проаналізувати стійкість знайдених конфігурацій точкових вихорів однакової інтенсивності.

Об’єктом дослідження являються стаціонарні та рівномірно-обертові конфігурації точкових вихорів в ідеальній нестисливій рідині на необмеженій площині.

Предмет дослідження – вплив кількості точкових вихорів однакової інтенсивності на розташування та стійкість стаціонарних та рівномірно-обертових конфігурацій та проведення аналогового експерименту.

Метод дослідження базується на розв’язанні нелінійної алгебраїчної системи рівнянь, що описує рух точкових вихорів однакової інтенсивності в ідеальній нестисливій рідині на необмеженій площині. В якості початкового наближення вибирається стаціонарна конфігурація вихорів порядку та стаціонарна точка потоку рідини. В стаціонарній точці рідини розміщується точковий вихор, інтенсивність якого, по мірі проведення ітерацій, поступово збільшується від нуля до інтенсивності решти вихорів. На кожному ітераційному кроці розв’язується нелінійна система алгебраїчних рівнянь порядку за допомогою чисельного методу Ньютона-Рафсона.

Аналіз стійкості знайдених конфігурацій проводився шляхом чисельного інтегрування (метод Рунге-Кутта 4 порядку) гамільтонової системи руху точкових вихорів.

Наукова новизна одержаних результатів. Спираючись на основні закономірності динаміки точкових вихорів на необмеженій площині та на основні властивості рівнянь руху в гамільтоновій формі, було отримано наступні нові наукові результати:

- представлено новий чисельно-аналітичний метод для пошуку рівномірно-обертових конфігурацій систем точкових вихорів однакової інтенсивності на необмеженій площині, який базується на аналізі стаціонарних точок поля швидкості в рівномірно-обертовій конфігурації системи з меншою кількістю вихорів;

- доповнено відомий, так званий, “Лос-Аламоський каталог” стійких вихрових конфігурацій (структури 8₃, 9₁ та 10₁ в наведених позначеннях), які розміщені по концентричних колах при ;

- знайдено послідовність нових несиметричних рівномірно-обертових конфігурацій систем точкових вихорів однакової інтенсивності. Показано, що такі структури виникають у системах, починаючи з 5 точкових вихорів, а не 8 вихорів;

- показано, що загальна кількість несиметричних конфігурацій збільшується по мірі збільшення кількості точкових вихорів в системах, що розглядаються;

- проведено чисельний аналіз стійкості вихрових конфігурацій, дослідження показали, що більшість з симетричних конфігурацій являються стійкими, тоді як несиметричні конфігурації являються нестійкими відносно малих збурень початкових координат.

Практичне значення одержаних результатів. Практичне значення досліджень визначається широким колом вказаних вище застосувань задачі, наявністю комплексу програм та алгоритмів, які досліджують явище, а також великою кількістю отриманих чисельних результатів. Матеріали дисертації використовуються в спеціальному курсі „Динаміка концентрованих вихорів”, що читається на механіко-математичному факультеті КНУ імені Тараса Шевченка.

Апробація результатів роботи. Основні результати по темі дисертації доповідались та обговорювались на наступних конференціях:

IV Міжнародна конференція “Актуальні проблеми механіки деформівного твердого тіла” (м.Донецьк, червень 2006);

Міжнародна конференція “Dynamical system modeling and stability investigation (DSMSI)” (м.Київ, травень 2007);

Міжнародна конференція “Euler Equations: 250 Years On (EE 250)” (France, Aussois, June 2007);

Міжнародна науково-технічна конференція пам’яті акад. В.І. Моссаковського (1919-2006) “Актуальні проблеми механіки суцільного середовища і міцності конструкцій” (м.Дніпропетровськ, жовтень 2007).

У повному обсязі робота доповідалась на:

семінарі “Сучасні проблеми механіки” Київського національного університету імені Тараса Шевченка під керівництвом член.-кор. НАН України Улітка А.Ф. та проф. Мелешка В.В. (м. Київ, грудень 2007);

Республіканському семінарі при Інституті гідромеханіки НАН України під керівництвом академіка НАН України Грінченка В.Т. (м.Київ, січень 2008).

Публікації та особистий внесок здобувача. Результати дисертаційної роботи викладені у 7 працях, з них 3 опубліковані у рецензованих наукових журналах із переліку фахових видань ВАК України для здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук зі спеціальності 01.02.05 – механіка рідини, газу та плазми [1,2,3] та 4 тез доповідей наукових конференцій [4,5,6,7].

Всі результати роботи отримані автором самостійно. У роботах, виконаних у співавторстві, теоретичні дослідження та чисельні розрахунки виконані здобувачем. Постановка задач належить науковому керівнику Мелешко В.В. та Х. Арефу – співавтору по роботі [3]. Обговорення отриманих результатів виконані спільно з усіма співавторами.

Структура та обсяг дисертації. Дисертаційна робота складається зі змісту, вступу, 5 розділів, висновків, списку використаних джерел. Викладена на 127 сторінках, із них 102 сторінки основного тексту, 20 рисунків, 6 таблиць, бібліографічні посилання складено з 148 джерел.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі шляхом критичного аналізу та порівняння з відомими розв’язаннями наведеної задачі подано інформацію про актуальність досліджень, сформульовано мету та наукову новизну роботи, представлено питання, що виносяться на захист, а також практичне значення одержаних результатів.

У першому розділі представлено узагальнений огляд літератури по темі дисертації, проаналізовано процес виникнення основних напрямків досліджень у даній області. Зазначені невирішені проблеми, аналіз яких дозволив сформулювати основні завдання дисертації.

Відзначено великий внесок у дослідження в області вихрової динаміки робіт таких науковців: Г.Гельмгольц, фундаментальна стаття якого поклали початок теорії вихорів (1858), Е.Г. Борд, А.В. Борисов, Н.С. Васильєв, Д.Н. Горячев, В.Ф. Козлов, Л.Г. Куракін, В.В. Мелешко, Е.А. Новіков, М.А. Соколовський, Л.Г. Хазін, В.І. Юдович, H. Aref, S. Boatto, L.J. Campbell, D. Crowdy, D. Dritschel, W. Grebli, T.H. Havelock, H. Kirchhoff, J.Marshall, P.K. Newton, K.O`Neil, H. Poincare, P.G. Saffman, M.M. Sano, G.J.F.van Heijst, J.J. Thomson, W. Thomson, H. Villat та багатьох інших.

У другому розділі визначено основні поняття теорії вихрових рухів на необмеженій площині, виписано загальні рівняння, що описують рух систем точкових вихорів інтенсивності на необмеженій площині в ідеальній нев’язкій рідині. Вихорі розміщені на комплексній площині та мають координати, при відсутності зовнішнього потенціального потоку рівняння руху точкових вихорів на необмежені рідині.

Виписано перші інтеграли рівнянь руху систем точкових вихорів, що пов’язані безпосередньо з незалежністю функцій від часу та її інваріантністю відносно паралельного переносу та повороту координат:

Представлено основні властивості систем вихорів.

Властивість 1. Якщо для даної конфігурації вихорів одночасно змінити знаки всіх інтенсивностей, то в усі наступні моменти часу система буде проходити через ті ж конфігурації, через які пройшла до цього моменту.

Властивість 2. Нехай в момент часу існує конфігурація, в якій всі вихорі колінеарні, тобто лежать на одній прямій. Тоді конфігурації в момент часу для будь-яких являються відображенням одна одної відносно цієї прямої.

Властивість 3. Система вихорів не може проходити більше, ніж через дві колінеарні конфігурації. Час, необхідний для переходу з однієї колінеарної конфігурації в іншу, завжди однаковий в процесі руху.

Властивість 4. Якщо дві системи та складаються з однакової кількості вихорів, до того ж інтенсивність кожного вихору першої систем пропорційна множнику інтенсивності другої системи , то початкові положення обох конфігурацій подібні. При цьому, масштаби довжин системи рівні масштабам довжин системи, помноженим на множник. Тоді наступна конфігурація другої системи через проміжок часу буде подібна до конфігурації першої системи через час. Час та пов’язаний співвідношенням.

Властивість 5. Якщо інтенсивності вихорів мають однаковий знак, то взаємна відстань між вихорами обмежена під час всього руху.

Властивість 6. При умові фазові потоки системи на площині порядку інтегралів траєкторно-еквівалентні, якщо постійні інтегралів пов’язані співвідношенням.

Наведено означення стаціонарних конфігурацій. До стаціонарних конфігурацій відносяться:

положення рівноваги, при яких швидкість кожного вихору конфігурації дорівнює нулеві;

твердотільні трансляції, при яких вихорі рухаються з постійною швидкістю;

відносні рівноваги, при яких вихорі обертаються навколо деякого центра (центра завихрення) як тверде тіло з постійною кутовою швидкістю;

конфігурації колапсу, при яких всі вихорі прямують до центру завихрення (або віддаляються від нього), а відстані між ними зменшуються таким чином, що конфігурація залишається геометрично подібною до початкової.

В представленій дисертаційній роботі під стаціонарними конфігураціями розуміємо лише відносні рівноваги точкових вихорів, а саме поняття стаціонарного руху розглядаємо лише для гамільтонових систем. Тому стаціонарними вважаємо ті конфігурації, які рівномірно обертаються навколо центра завихрення з постійною кутовою швидкістю.