150702 (Пружні хвилі)
Описание файла
Документ из архива "Пружні хвилі", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "физика" из , которые можно найти в файловом архиве . Не смотря на прямую связь этого архива с , его также можно найти и в других разделах. Архив можно найти в разделе "рефераты, доклады и презентации", в предмете "физика" в общих файлах.
Онлайн просмотр документа "150702"
Текст из документа "150702"
РЕФЕРАТ
на тему:”Пружні хвилі”
План
-
Хвильові процеси. Подовжні і поперечні хвилі
-
Рівняння біжучої хвилі. Фазова швидкість. Сферична хвиля
-
Одномірне хвильове рівняння. Швидкість поширення хвиль
-
Енергія пружних хвиль. Потік і густина потоку енергії хвиль
-
Хвильові процеси. Подовжні і поперечні хвилі
-
Рівняння біжучої хвилі. Фазова швидкість. Сферична хвиля
-
Одномірне хвильове рівняння. Швидкість поширення хвиль
-
Енергія пружних хвиль. Потік і густина потоку енергії хвиль.
1. Хвильові процеси. Подовжні і поперечні хвилі
Коливання, які збуджуються в будь-якій точці пружного середовища (твердому, рідкому або газоподібному), передаються від однієї точки середовища до іншої з кінцевою швидкістю, яка залежить від властивостей цього середовища. Чим дальше розташовані частинки середовища від джерела коливань, тим пізніше вони почнуть коливатися. Інакше кажучи, фази коливань частинок середовища і джерела тим більше відрізняються одна від одної, чим більша ця відстань. При вивченні поширення коливань в середовищі не враховується дискретний (молекулярний) характер будови самого середовища. В цьому випадку вважають що частинки середовища мають неперервне заповнення навколишнього простору і проявляють пружні властивості.
Процес поширення коливань у суцільному пружному середовищі називається хвильовим процесом (або хвилею). При поширенні хвилі частинки середовища не рухаються разом із хвилею, а коливаються біля своїх положень рівноваги. Разом із хвилею від частинки до частинки середовища передається лише стан коливального руху і його енергія. Тому основною властивістю усіх хвиль незалежно від їхньої природи є перенос енергії без переносу речовини.
Серед різноманітних хвиль, які зустрічаються в природі й техніці, можна виділити такі їх типи: хвилі на поверхні рідини, пружні і електромагнітні хвилі. Пружні механічні хвилі виникають і поширюються лише в пружному середовищі. Пружні хвилі ще діляться на подовжні й поперечні. У подовжніх хвилях частинки середовища коливаються в напрямку поширення хвилі, у поперечних – у площинах, перпендикулярних до напрямку поширення хвилі.
Подовжні хвилі можуть поширюватися в середовищах, у яких виникають пружні сили при деформаціях стиску і розтягу. Це означає, що поздовжні хвилі поширюються у твердих, рідких і газоподібних середовищ.
Поперечні хвилі можуть поширюватися в середовищах, у яких виникають пружні сили при деформаціях зсуву, тобто фактично тільки у твердих тілах. У рідинах і газах виникають лише подовжні хвилі, а у твердих тілах — як подовжні, так і поперечні хвилі.
Пружна хвиля називається синусоїдальною (або гармонічною), якщо відповідні їй коливання частинок середовища є гармонічними. На рис. 21 показана синусоїдальна поперечна хвиля, яка поширюється зі швидкістю υ уздовж осі х, тобто показана залежність між зміщенням U(x,t) частинок середовища, у хвильовому процесі, і відстанню х цих частинок від джерела коливань для будь-якого фіксованого моменту часу t.
Приведений графік функції U(x,t) не схожий на графік гармонічного коливання. Графік хвилі (рис.1) показує залежність зміщення всіх частинок середовища від відстані до джерела коливань у даний момент часу, а графік гармонічних коливань — залежність зміщення даної частинки від часу.
Відстань між найближчими частинками, які коливаються в одній фазі, називається довжиною хвилі λ (рис. 1). Довжина хвилі дорівнює відстані, на яку поширюється фаза коливань за час в один період, тобто
(1)
Рис. 1
Якщо розглянути хвильовий процес трохи докладніше, то стане ясно, що в хвильовому русі коливаються не лише частинки, розташовані уздовж осі х, а й сукупність частинок, розташованих у деякому об’ємі, тобто хвиля, поширюючись від джерела коливань, охоплює все нові і нові області простору. Геометричне місце точок, які коливаються в однаковій фазі, називається хвильовою поверхнею. Хвильових поверхонь можна провести безліч. Хвильова поверхня у будь який момент часу називається хвильовим фронтом. Для цього моменту часу хвильовий фронт може бути лише один.
Хвильові поверхні можуть мати довільну форму. В найпростішому випадку хвильові поверхні є сукупністю площин, або сукупністю концентричних сфер. Відповідно хвиля називається плоскою або сферичною.
2. Рівняння біжучої хвилі. Фазова швидкість. Сферична хвиля
Якщо хвилі, поширюючись в пружному середовищі з кінцевою швидкістю, переносять енергію, то вони називаються біжучими. Перенос енергії в хвильовому русі кількісно характеризується вектором густини потоку енергії. Вектор потоку енергії вперше для механічних пружних хвиль був введений російським фізиком Умовим і називається вектором Умова. Напрямок вектора Умова збігається з напрямком переносу енергії, а його модуль дорівнює енергії, яка переноситься хвилею через одиничну площадку, розташовану перпендикулярно до напрямку поширення хвилі, за одиницю часу.
Для одержання рівняння біжучої хвилі ─ залежності зміщення коливної точки пружного середовища від координати і часу ─ розглянемо плоску синусоїдальну хвилю, допустивши, що вісь х збігається з напрямком поширення хвилі (рис. 21). У даному випадку хвильові поверхні, тобто поверхні однакової фази, перпендикулярні до осі х, а тому всі точки пружного середовища на цих поверхнях коливаються однаково. Зміщення будь якої точки пружного середовища від положення рівноваги в цьому випадку залежить лише від координати х і часу t, а його величина буде дорівнювати
Розглянемо деяку точку В, яка перебуває на відстані х від джерела коливань (рис. 1). Якщо коливання точок пружного середовища, які лежать у площині х = 0, описуються функцією U(0,t) = A cos , то точка В пружного середовища теж буде коливатися за тим же законом, але її коливання будуть відставати за часом від коливань джерела на τ, тому що для проходження хвилею відстані х потрібен час τ = , де – швидкість поширення хвилі. Тоді рівняння коливань частинок, які лежать у площині х, буде мати вигляд
(2)
де А – максимальне зміщення виділеної коливної точки В від положення рівноваги; ω – циклічна частота генератора коливань джерела.
Рівняння (2) є рівняння біжучої хвилі. Якщо плоска хвиля поширюється в протилежному напрямку, то
В загальному випадку рівняння плоскої синусоїдальної хвилі, яка поширюється без поглинання енергії уздовж позитивного напрямку осі х, має вигляд
(3)
де А – амплітуда хвилі; ω – циклічна частота хвилі; – початкова фаза коливань, обумовлена вибором початкових значень х і t; [ω (t - x/υ) + φ0] – фаза плоскої хвилі.
В рівнянні (3) синусоїдальний характер хвилі характеризують хвильовим числом, яке дорівнює
(4)
З врахуванням (4) рівняння (3) матиме вигляд
(5)
Рівняння хвилі, яка поширюється в сторону менших значень осі х, відрізняється від (5) тільки знаком члена kх.
Розглянемо випадок, коли в процесі хвильового руху, фаза коливань не змінюється з часом, тобто
(4.6)
Диференціюємо вираз (6) за часом, одержимо
,
звідки
Отже, швидкість υ поширення хвилі в рівнянні (6) є не що інше, як швидкість переміщення фази хвилі, а тому її називають фазовою швидкістю.
Сферичні хвилі утворюються в однорідному і ізотропному середовищі від точкових джерел коливань. Якщо повторити хід міркувань для плоскої хвилі, можна показати, що рівняння сферичної синусоїдальної хвилі – хвилі, хвильові поверхні якої мають вигляд концентричних сфер, записується так
(7)
де r – відстань від точкового джерела сферичних хвиль до виділеної точки пружного середовища.
У випадку сферичної хвилі навіть у середовищі, яке не поглинає енергії, амплітуда коливань не залишається постійною, а зменшується з відстанню за законом Рівняння (7) має місце лише для великих r, які значно перевищуючі розміри джерела коливань (джерело коливань тут можна вважати точковим).
З рівняння (3) можна одержати, що
тобто фазова швидкість синусоїдальних хвиль залежить від їхньої частоти. Це явище називають дисперсією хвиль, а середовище, у якому спостерігається дисперсія хвиль, називається дисперсним середовищем.
3. Одномірне хвильове рівняння. Швидкість поширення хвиль
Рівняння довільної хвилі є розв'язком рівняння, яке називається хвильовим.
Для виведення цього рівняння скористаємось рівняння плоскої хвилі, яка поширюється в напрямку осі х. Розглянемо ділянку пружного середовища, яке характеризується модулем пружності Е (рис. 2). З рисунка видно, що виділений елемент має переріз S і довжину Δх. Під дією зовнішньої сили F виділена ділянка пружного середовища деформується на величину ΔU.
Рис. 2
Оскільки середовище є пружним, то для виділеної ділянки можна застосувати закон Гука
(8)
де Е ─ модуль Юнга; ─ відносна деформація; F ─ зовнішня сила; S ─ площа виділеної ділянки пружного середовища в напрямі осі х.
В граничному випадку при , рівняння (8) запишеться так
(9)
Якщо збуджувати поздовжню хвилю в деякому пружному середовищі, яким є наприклад стержень перерізом S з модулем Юнга Е, то на виділену ділянку будуть діяти дві сили (рис.3). Запишемо для цієї ділянки другий закон Ньютона
(10)
Сили в рівнянні (10) є пружними силами, а тому відповідно до рівняння (9) запишуться так
(11)
Якщо підставити ці сили (11) в другий закон Ньютона (10), то після деяких перетворень одержимо
(12)
де m ─ маса виділеної ділянки пружного середовища.
Масу виділеної ділянки пружного середовища можна виразити через об’єм і густину речовини стержня так
m = ρSΔx. (13)
Рис.3
З урахуванням значення маси (13) і нескладних перетворень рівняння (12) запишеться так
(14)
Розглянувши граничний випадок при якому , з рівняння (14) одержуємо рівняння, яке називається хвильовим рівнянням
(15)
Рівняння (15) є лінійним диференціальним рівнянням другого порядку в частинних змінних. Розв’язком такого рівняння є уже відоме рівняння плоскої хвилі
(16)
Знайдемо другі частинні похідні за часом t і координатою х від рівняння (16)
(17)
Після підстановки похідних (17) в рівняння (15) та необхідних скорочень одержимо
(18)
Але оскільки , то хвильове рівняння (15) буде мати інший вигляд
(19)