Вот таким образом решается проблема с электроном в атоме. Я ещё раз говорю, что этот образ электронов, вращающихся, как планеты вокруг солнца, вокруг ядра, который в классической физике присутствует, не имеет отношения к действительности.

Кстати, волновая функция описывает стационарное состояние (волновая функция для свободной частицы это частный случай стационарного состояния). Для плоской волны есть импульс, импульс это динамическая характеристика, а кинематики, то есть чего-то такого движущегося, нет, потому что вероятность всюду одинакова. Вот, когда мы возьмём волновой пакет, мы получим кинематику, но зато потеряем определённость в импульсе.

6. Прохождение частицы через потенциальный барьер. Туннельный эффект

Мы нашли одно частное решение для свободной частицы, когда не было потенциальной энергии, рассмотрим сейчас задачу чуть более сложную. Пусть потенциальная энергия имеет вид (рис.6.1, а).

Ф изика такая: в области x<0 сила, действующая на частицу, ноль, при x>0 сила, действующая на частицу тоже ноль (потенциальная энергия постоянна), но зато в окрестности нуля действует сила

. График силы изображён на рисунке 6.1, б. Для такой ступеньки производная бесконечно велика, это означает, что в окрестности нуля действует бесконечно большая сила, направленная влево, но, хотя сила бесконечно большая, работа против этой силы тем не менее конечна.

Н аглядно: вот стоит абсолютно твёрдая стенка, абсолютная твёрдость означает, что при столкновении со стенкой отбрасывающая сила бесконечно велика, но тем не менее стенка пробиваема: если налетающая частица имеет кинетическую энергию больше некоторой, то она эту стенку пробивает. Работа по преодолению этой силы тем не менее конечна. Это будет изображаться таким потенциальным барьером.

Реально это можно реализовать для электронов. Имеем две металлические стенки, к этим стенкам приложена разность потенциалов. Электрон попадает в область электрического поля между стенками и испытывает силу, выталкивающую его обратно. Теперь, выдерживая постоянное напряжение, будем сближать эти стенки. Напряжённость электрического поля стремится к бесконечности, но работа по пробиванию этого конденсатора остаётся конечной. Этот барьер для электронов будет реализован вот таким образом.

А теперь мы будем рассматривать стационарное состояние. Высота барьера U₀, пишем уравнение Шрёдингера для стационарных состояний:

Как нам затолкать эту разрывную функцию U(x) туда? А просто мы сейчас разделим всё пространство на две части, напишем это уравнение для области x<0 и потом напишем это уравнение для области x>0, найдём эти решения, а потом их будем сшивать в точке x₀=0, чтоб получить одну функцию (волновая функция должна быть непрерывной).

(8.1)

(8.2)

Решение уравнения (8.1) пишем немедленно (это уравнение колебаний):

. Это решение в области x<0.

У равнение в области

в случае E>U₀ имеет решение такое же как при x<0, а если , то это уравнение другого типа, оно имеет другое решение.

Мы рассматриваем первый случай, когда энергия частицы больше, чем напряжение в цепи: и E>U₀.

Эти решения надо состыковать. Функция должна быть это непрерывной:

(8.3)

На волновую функцию накладывается ещё одно требование – непрерывность первой производной (физическую основу этих требований мы ещё увидим):

(8.4)

У нас четыре константы, а мы имеем два уравнения. Математик, конечно, озадачился бы, но мы должны интерпретировать результат. Прежде всего смотрим на функцию u₁: это волна, бегущая вправо вдоль оси x, она описывает налетающие частицы, это волна, бегущая влево вдоль оси x в области x<0, это волна может быть отразившейся, мы пока оставим это дело. Константа C₁ описывает падающую волну, она соответствует амплитуде падающей волны, то есть, в конечном счёте, интенсивности налетающего пучка, значит, C₁ заданная константа, C₂ подлежит определению. Смотрим на решение u₂ в области : это волна, идущая вправо, она описывает пучок, прошедший через барьер, это волна, идущая влево, физически ей неоткуда взяться, поэтому полагаем C₄=0. Теперь мы имеем константу C₁ (задаём сами), а C₂ и C₃ должны определить. У нас есть два условия, напишем эти условия: формула (8.3) в нуле даёт C₁+ C₂= C₃, формула (8.4) даёт . Мы получим:

и

Мы видим, что , это означает, что есть отражённая волна. Квадрат модуля функции даёт плотность вероятности (вероятность найти частицу в этой точке), она пропорциональна количеству частиц.

Вот электроны, летящие с кинетической энергией, входят в область электрического поля, которое оказывает тормозящую силу, но их энергия больше, чем работа по преодолению этого поля. По классическим понятиям все электроны проходят этот конденсатор и дальше идут с меньшей энергией, здесь мы получаем, что существует отличная от нуля вероятность (тем больше, чем больше C₂), что электрон отразится от этого поля и полетит обратно, при чём с той же энергией, с которой он летел. Чтобы драматизировать пример: ставим абсолютно твёрдое, но непробиваемое стекло, и вы стреляете в него из пулемёта. Нормальные пули стекло пробивают, но по правилам игры, которые мы тут обнаруживаем, есть отличная от нуля вероятность, что пуля отразится всё-таки от стекла и попадёт стрелку в лоб.

7

М ы рассматривали прохождение частицы через потенциальный барьер. Мы нашли решение для этой ситуации в случае, когда x<0 и когда

и E>U₀. Мы нашли, что он проходит барьер, но существует отличная от нуля вероятность, что он тем не менее отразится обратно, потому что в решении появилась отражённая волна.

А теперь второй случай: и .¹⁾

Уравнение (8.2) нам даёт: , где . Раньше это было уравнение колебаний, имели решение в виде мнимых экспонент, а здесь будет решение в виде действительных экспонент (уравнения такого типа всегда удовлетворяются экспонентами):

Слева от барьера было решение . Опять мы должны получить функцию, заданную на всей оси x,²⁾ мы снова должны сшить эти функции в точке x₀=0.

Опять имеем четыре константы, и условия для сшивки (8.3) и (8.4). Константу C₁ мы считаем заданной (это мера интенсивности налетающего пучка), это отражённая волна, C₂ подлежит определению. В решении в правой части мы выкинем сразу, потому что функция экспоненциально нарастает, а это недопустимо для волновой функции (она интерпретируется как плотность вероятности): , подлежит определению. Условие (8.3) даёт: , (8.4): , и получим, что

и

Видно, что , интенсивность отражённого пучка такая же как интенсивность падающего. Это означает, что весь пучок, действительно, отразится назад, но, тем не менее, волновая функция в области будет отлична от нуля: .

Т о есть вероятность обнаружить частицу в классически запрещённой области отлична от нуля, – она экспоненциально затухает, но, все-таки, частица внедряется в эту запрещённую область. Частица уходит назад (интенсивность отражённого пучка такая же как интенсивность падающего, всё, что упало, всё отразилось), но то, что волновая функция не сразу обращается в ноль, физически проявляется в эффекте очень неожиданном на первый взгляд.

Туннельный эффект

Н е будем решать эту задачу, она решается, но, просто, алгебра здесь длинная. Рассмотрим барьер конечной ширины – вот такую потенциальную энергию U(x) (рис.6.6, а).

Физически как реализовать эту ситуацию? Для электрона, поставив два конденсатора (рис.6.5). С точки зрения здравого смысла и классической механики что будет? Электрон летит, если его энергии достаточно, чтобы пробить конденсатор, то он через него пройдёт, долетит до следующего конденсатора, ускорится, вылетит и будет двигаться дальше с той же скоростью, с которой он подлетал. Если же у него энергии недостаточно, чтобы пробить первый конденсатор, то он сюда забурился, остановился, и его выбросило обратно, и он улетел, а что там дальше подставлять (человека поставить флажком махать или ещё что-нибудь) ему всё равно, он туда не долетает.

А вот в квантовой механике будет иначе. Качественно ситуация выглядит так.

За барьером мы получаем волну с той же длиной. Качественно довольно очевидно, ну а формально можно получить всё это, только в два раза больше сил потребуется, чем для ступеньки, поскольку больше граничных условий.

Это означает, что, если энергия частицы меньше высоты барьера, то существует тем не менее отличная от нуля вероятность, что она пролетит, то есть, когда вы ставите для электрона конденсатор с тормозящим полем, через него электрон заведомо не проходит, но если вы дальше поставите конденсатор с ускоряющим полем, то он пройдёт. Чем дальше будет второй конденсатор, тем больше ширина потенциального барьера, тем меньше вероятность.

Конечно, ситуация удивительная, чтобы её перевести на житейский язык, так скажем. Человек не прыгнет на 3м, чемпионы сейчас на 2.30 прыгают, но на 3м не прыгнут, даже я берусь спорить, что никогда не прыгнут.¹⁾ Теперь в чистом поле роем яму глубиной 3м и туда человека скинули. Он там может прыгать, но из ямы не выскочит. Другая ситуация: на ровном месте окружаем его стеной высотой 3м (барьер конечной ширины), тогда, если он будет прыгать достаточно долго и упорно, окажется, что он из ямы не выпрыгнет (ступенька потенциальная), а стену может преодолеть. Можно сказать, что нет вероятности выскочить из ямы глубиной 3м, но есть отличая от нуля вероятность перепрыгнуть трёхметровую стену.²⁾

Конечно, на макроскопическом уровне это (преодоление трёхметровой стены) выглядит как чудо, а в атомных масштабах это заурядная вещь. Вот использование электричества в быту связано радикальным образом с туннельным эффектом: всякий проводник покрыт тонкой непроводящей плёнкой, когда два проводника они разделены непроводящей плёнкой, электроны преодолевают эту плёнку за счёт туннельного эффекта.³⁾ Вот так всё на благо человечества устроено.

Ещё один пример. Мы обсуждали фотоэффект. Электрон в металле сидит в потенциальной яме, и он не выскакивает, потому что имеет перед собой потенциальную ступеньку. А если мы за металлом убавим потенциальную энергию как на рис.6.7, а это можно сделать (см. рис.6.8), электрон в металле этого поля не чувствует, но он имеет перед собой барьер конечной ширины, а это означает, что имеется отличная от нуля вероятность, что он выскочит из металла. Это известный эффект, он называется эффектом В. Шотки, – если вы к куску металла приложите электрическое поле (оно всегда перпендикулярно к эквипотенциальной поверхности металла) такое, что для выскочившего электрона оно будет ускоряющим, то электроны начнут вылетать из металла.

7. Связанные состояния. Частица в ящике

Если частица локализована в ограниченной области пространства, то говорят, что она находится в связанном состоянии.¹⁾ Например, две частицы внутри вот этого куска мела находятся в связанном состоянии (они заперты в объёме этого куска), электроны в атоме так же находятся в связанном состоянии. Почему эти состояния важны? А вот потому, что энергия частицы в связанном состоянии может принимать лишь определённые значения ²⁾ (энергия квантуется). Это очень существенное свойство, не имеющее, кстати, классического аналога. Земля вращается вокруг Солнца – строго говоря, её энергия квантуется, просто уровни энергии не заметны, в атомных масштабах заметны. По классическим представлениям энергия системы это определённое число, оно сохраняется, чем это число определяется? Начальными условиями, тем, как возникла эта система. Оно может быть любым, скажем, энергия могла быть чуть больше, чем она есть, чуть меньше, в классической механике это дело не регламентируется никак, всё определяется начальными условиями. А вот электрон в атоме может иметь какое-то значение E_n, которое можно заранее предсказать, и никаких других значений быть не может.³⁾ Формально это проявляется так: уравнение Шрёдингера для стационарных связанных состояний имеет разумные решения лишь при определённых значениях E. Это факт математический, а его физическая интерпретация такая, что только эти значения энергии E могут наблюдаться. Мы сейчас убедимся на простом примере.

Частица в ящике

Мы сейчас смоделируем самое простое связанное состояние. Какое можно придумать самое простое связанное состояние? А вот такое – имеем ящик с абсолютно непробиваемыми стенками, с дверцей. Кинули туда частицу и дверцу захлопнули.¹⁾ Как это дело задать теперь математически? Потенциальная энергия в ящике равна нулю, вне ящика потенциальная энергия бесконечно велика, именно это и означает, что стенки ящика абсолютно непробиваемы (самый радикальный вариант связанного состояния). Дальше математика.

Мы рассматриваем стационарное состояние, волновая функция имеет вид: , а для функции (пространственная часть волновой функции) должно выполняться уравнение . В уравнение окружающая обстановка заводится посредством потенциальной энергии. Наша потенциальная энергия задана таким условием:

.

Из того, что стенки ящика абсолютно непробиваемы следует, что частица вне ящика не может находиться, мы тогда пишем сразу вне ящика. А внутри ящика мы получим такое уравнение:

, где .

Это уравнение в частных производных. Будем искать решение в виде

,

то есть пытаемся разделить переменные.

Тогда

,

подставим это в уравнение:

Теперь делим всё это дело на XYZ, получаем тогда уравнение такое:

.

Первое слагаемое зависит только от x, а второе только от y, а третье только от z, и утверждается, что в сумме они равны константе. Тогда всё это дело разбивается на такие уравнения:

А это уже знакомые уравнения и мы немедленно находим решения:

Это решение в ящике, мы должны получить решение для всёго пространства, чтобы оно было непрерывным. Это означает, что волновая функция в ящике должна быть устроена так, чтобы она на стенках ящика занулялась. Это условие накладывает такие ограничения:

Займёмся иксом: даёт B₁=0, то есть константу B₁ мы выкинем сразу, даёт , это означает, что , n_x=1, 2, 3… (значения A₁=0 и n_x=0 брать нельзя, потому что тогда мы убиваем всё решение). Таким образом, мы получаем такое условие: , поскольку для остальных функций мы имеем то же самое, то и . Для всей функции u мы получаем множество решений такого вида:

(10)

При этом .

И окончательно результат такой: состояние частицы в ящике задаётся тремя целыми числами, которым соответствует функция (10), и этому состоянию соответствует энергия , где a, b, c это рёбра ящика. Вот что такое квантование, имеем дискретные состояния (тройка чисел задаёт волновую функцию определённой конфигурации) и этим состояниям соответствует энергия. Важно, что нет никаких промежуточных состояний, переходных форм нет. Состояние (1,1,1) называется основным, оно имеет минимальную энергию, а максимальная вероятность найти частицу в ящике [для этого состояния] – в середине, то есть вот частица большую часть времени проводит в середине ящика вместо того, чтобы бегать от стенки к стенке.

8

Продолжаем ту же тему. Если ящик кубический, то формулка для энергии делается симпатичнее:

Возможны различные состояния, которым отвечает одна и та же энергия. Состояниям (2,1,1), (1,2,1), (1,1,2) отвечают различные волновые функции, то есть вероятности обнаружения частицы в точках ящика разные в этих состояниях, но понятно, что им отвечает одна и та же энергия. Уровень энергии, которому отвечают несколько различных состояний, называется вырожденным, в частности, уровень, отвечающий этим трём состояниям, называется трёхкратно вырожденным.

§6 Постулаты квантовой механики

1. Векторы и операторы

2. Постулаты квантовой механики

3. Операторы динамических переменных. Координатное представление

4. Оператор энергии

5. Оператор импульса

6. Момент импульса (собственные векторы, собственные значения)

7. Спин.

Мы с вами обсудили некоторые аспекты физики систем атомных масштабов, волновые свойства частиц, квантование энергии, туннельный эффект… Это всё были отдельные фрагменты, не связанные более-менее друг с другом, это ситуация на заре создания теории, когда обнаружилась длина волны де Бройля, интерференция. И многого мы вообще не знаем, например, знаем волновую функцию, а что мы получим при измерении импульса? Мы ещё не умеем отвечать на такие вопросы. Сейчас мы обсудим как устроена окончательная теория.

От первой модели атома Бора и до окончательной формулировки теории прошло 10-12 лет,¹⁾ и мы сейчас обсудим, как вообще строится вся эта теория.

Если сравнивать с классической механикой, раз нет траектории, скоростей, ускорений, сил, то понятно, что математическая структура должна быть другой.²⁾ Можете сейчас забыть про классическую механику, можете даже забыть то, что мы до сих пор тут обсуждали, и сейчас мы снова будем смотреть незамутнённым взглядом на новую теорию. И тут нужны некоторые математические подмостки.

1. Векторы и операторы

Вы знаете векторную алгебру (линейную алгебру), и заодно вы увидите, что не зря вы её изучали, оказывается, есть к чему её применить.

Обозначения:

– вектор a в n-мерном (может быть, бесконечномерном) абстрактном пространстве. Столбец из n чисел задаёт компоненты вектора a в n-мерном пространстве. Когда вы видите такую штуку , это означает, что мы имеем набор n чисел, которые можно организовать в матрицу-столбец.

– вектор сопряжённый , это матрица-строка .³⁾

Удобство этих обозначений состоит вот в следующем: – это число, скалярное произведение двух векторов: . Ясно, что такая штука – скалярное произведение вектора на сопряжённый ему вектор, это будет действительное число, . А вообще, кстати, ясно следующее, что .

Такое равенство расшифровывается так: есть правило, которое вектору ставит в соответствие вектор , и это правило обозначают буквой . Говорят, на вектор действует некоторый оператор, в результате действия которого, мы получаем вектор .

Если имеет место такое равенство , то оператор называется линейным.¹⁾ Дальше, когда идёт речь об операторах, имеются в виду только линейные операторы.

Каким образом можно задать это правило, то есть как можно задать оператор? Если оператор линейный, то вот такой строчкой: . Эта строчка – сжатое изображение вот такого: . Значит, любой линейный оператор будет представлен квадратной матрицей размерности . Задайте квадратную таблицу , любых чисел навтыкайте туда, эта матрица представляет линейный оператор.

Любая матрица представляет некоторый оператор , из неё можно получить другие матрицы, например, можем устроить транспонированную матрицу (отобразить её относительно главной диагонали), получим другую матрицу, то есть другой оператор. Можно не только сделать транспонированную матрицу, а сначала транспонировать и взять ещё комплексно сопряжённые элементы, ещё одну матрицу получим, получим другой оператор снова.

Если матрица оператора получается из элементов матрицы оператора с помощью транспонирования и комплексного сопряжения элементов: , то оператор называется эрмитово сопряжённым к оператору .

Если , тогда оператор называется самосопряжённым или эрмитовым.¹⁾

Если , где α – число, то вектор называется собственным вектором оператора , а α – собственным значением, отвечающим этому собственному вектору.²⁾

Оказывается, что эрмитов оператор , то есть оператор, для которого верно вот такое равенство , имеет n собственных векторов, которые будем обозначать , при этом собственные значения, отвечающие этим векторам действительны, то есть и . И ещё замечательная вещь такая: скалярное произведение двух собственных векторов равно: , собственные векторы эрмитова оператора ортогональны, а соответствующие им собственные значения действительны. Это наш реквизит, это факты математические, а теперь возвращаемся к физике.

2. Постулаты квантовой механики

Утверждение 1. Состояние частицы задаётся некоторым нормированным вектором в абстрактном пространстве,³⁾ предполагается, что .

Утверждение 2. Каждой наблюдаемой динамической переменной A (координаты, импульс, момент импульса …) ставится в соответствие эрмитов оператор .

Вектор переменной в абстрактном пространстве изображается столбцом, оператор, отвечающий этой переменной, в этом же пространстве будет изображаться квадратной матрицей. Кстати, эпитет «наблюдаемый» не для красного словца. Наблюдаемая переменная – это переменная, которую можно измерить.¹⁾

Утверждение 3. При измерении динамической переменной A (вот я подставляюсь под пулю, ловлю её и мерею её импульс) могут быть получены числа лишь из ряда собственных значений соответствующего ей оператора .

Сейчас мы это дело оформим более компактно. Если , то при измерении переменной A может быть получено одно из чисел α₁, α₂, …, α_n.

Утверждение 4. Вероятность того, что при измерении переменной A частицы в состоянии, задаваемом вектором , будет получено значение α_n равна:

Третий постулат утверждает, что при измерении переменной A могут получаться лишь числа α₁, α₂, …, α_n, какое из них получится при конкретном измерении, теория отказывается отвечать, но она говорит, что вероятность того, что будет получено значение α_k, например α₇, будет определяться по такому рецепту. Возьмите вектор состояния частицы, умножьте скалярно на собственный вектор, отвечающий этому собственному значению, получится комплексное число, найдите квадрат модуля этого числа, и вы получите вероятность того, что будет получено значение α₇. Этот рецепт можно выразить в более доступной форме.

Векторы , собственные вектора оператора , они ортогональны, нормированы, их можно в этом абстрактном пространстве взять в качестве базисных векторов. Это означает, что произвольный вектор может быть выражен в этом базисе. Разложим вектор состояния по базису из собственных векторов оператора : . Тогда говорится, что (квадрат модуля проекции вектора на собственный вектор оператора) даст вероятность того, что при измерении переменной A будет получено значение (соответствующее собственное значение).

Утверждение 5. Существует эрмитов оператор (гамильтониан) такой, что имеет место уравнение

уравнение Шрёдингера.

Короче говоря, существует оператор, который заведует изменением вектора состояния со временем. Малое изменение вектора за время будет равняться: . То есть подействуем на вектор в данный момент оператором , полученный вектор умножим на число , разделим на , и мы получим маленькое приращение вектора . Поскольку , можно себе представлять, что в абстрактном пространстве вектор вращается, вот этот маленький поворот определяется оператором .

Ну, что тут пока неудобно? Всё это звучит, наверное, замечательно и захватывающе, только не понятно, зачем это делали. В ньютоновской механике, когда всё там написали (Второй закон ньютона, силы), поскольку много лет все слышали, это кажется очевидным, а ведь на самом деле это голая форма, никакого содержания она не имеет. Содержание появляется только тогда, когда даются рецепты, что там в правой части писать. Ньютоновская механика это, на самом деле, утверждение такого сорта, что всё многообразие мира мы можем отлить в форму дифференциальных уравнений второго порядка, подбирая соответствующие функции в правой части. Именно на этом стояла физика фактически до конца XIX века, считалось, что всё, что мы тут видим, оно вот в эту простую математическую форму отольётся, если мы только правильно подберём эти функции, и зада физики тогда была придумать эти функции в правой части, чтобы отлить в эту форму. На самом деле мир оказался хитрее, и он не отливается в теорию дифференциальных уравнений второго порядка. Здесь мы пока тоже видим математическую форму. Утверждается, что мы подберём операторы такие, что всё окружающее нас тут отольём в эту математическую форму. В ньютоновской теории задача физики была в нахождении сил, в рамках этой механики задача физики это нахождение гамильтонианов, то есть операторов, которые определяют эволюцию состояния в заданной окружающей среде, а окружающая среда характеризуется гамильтонианом. Вот такая математическая структура.

3. Операторы динамических переменных. Координатное представление

В качестве базиса выбираются собственные векторы какого-либо оператора.¹⁾ Если взяты собственные векторы оператора , то говорят, что мы работаем в A-представлении. Тогда все векторы и все операторы будут выражаться в этом базисе. Если – оператор координаты, тогда имеет место такое равенство: , – собственный вектор, отвечающий собственному значению q. Если в качестве базисных векторов будут взяты векторы , то есть собственные векторы оператора координат, то значит мы работаем в координатном представлении.

9

Проблема такая: как связать абстрактное пространство, в котором разыгрываются все эти события, с нашим реальным наблюдаемым миром, в котором мы живём? Как нам отсюда пролезть туда, в этот потусторонний мир, в котором действуют правила игры, которые мы сформулировали. Лазейка такая: чтобы задать вектор в виде набора чисел, надо предъявить базис. Операторы, с которыми мы имеем дело (это эрмитовы операторы), обладают тем свойством, что для них имеется n собственных векторов, эти собственные векторы эрмитова оператора ортогональны, если в качестве базиса выбрать собственные векторы оператора, то его матрица в этом базисе будет диагональной, а по диагонали будут стоять собственные значения. Собственные значения – это те числа, которые мы получаем при измерении переменной, которую описывает данный оператор. Вот так можно состыковать эти абстрактные математические объекты с реальными наблюдаемыми величинами. Если мы, например, экспериментально исследовали набор собственных значений данного оператора, то мы сразу можем написать его матрицу в базисе его собственных векторов, просто по диагонали расположивши эти собственные значения. Есть законы, которые связывают операторы друг с другом, и если мы нашли один оператор, то просто зная связь между этими операторами, мы можем построить и другие операторы. Мы тогда получим матрицы в том представлении, в котором исходный оператор был диагональным.

Если это оператор координаты, а – собственный вектор этого оператора, отвечающий собственному значению q, то есть имеет место такое соотношение: ,¹⁾ оператор действует на собственный вектор, получается тот же собственный вектор, которому отвечает число q.²⁾

Произведение операторов

Если , то это означает, что действует на некоторый вектор (на любой), это то же самое, что .³⁾ Матрица оператора представится, оказывается, как произведение матриц B и A, то есть .

Произведение операторов, вообще говоря, не коммутативно (потому что произведение матриц не коммутативно), то есть когда мы действуем оператором , а потом или наоборот, сначала , потом , то это разные результаты.⁴⁾ Разность произведений это некоторый оператор: и называется коммутатором операторов и . Это математические факты, а вот с этим делом связан физический факт, очень существенный.

Переменные, операторы которых не коммутируют (коммутируют), не могут (могут) быть измерены [и заданы] одновременно.

Мы уже сталкивались с такими вещами. Иксовая координата частицы и иксовая компонента импульса x и не могут быть заданы одновременно: нельзя сказать, что частица имеет точно такую координату и имеет такую-то составляющую импульса, есть соотношение неопределённости. Это, кстати, означает, что операторы и не коммутируют.

Утверждение. Постулируется, что .¹⁾

Но, кстати, например , это означает, что одновременно мы можем задать координату и игрековую составляющую импульса (или зетовую), а вот иксовую задать не можем, и измерить одновременно не можем. Это можно написать в более общем виде: .

Из того, что , следует, что спектр собственных значений оператора координаты непрерывен. Иначе говоря, мы можем задать любое число q, и для него найдётся вектор , который является собственным вектором оператора . Физически это означает, что при измерении координат может быть получено любое число или, ещё проще говоря, координаты не квантуются.²⁾

Существует координатное представление, когда в качестве базисных векторов выбираются собственные векторы оператора координаты. Произвольный вектор может быть выражен в этом базисе. Если бы эти собственные векторы нумеровались каким-то дискретным параметром , то тогда произвольный вектор представился бы суммой . Но у нас векторы нумеруются непрерывным параметром, это означает, что вместо суммы пишется интеграл: . Как находить коэффициенты разложения? В дискретном случае , а как быть, если параметр, нумерующий вектор, непрерывен? Аналогично: , базисные векторы таковы, что .

функция это функция, удовлетворяющая двум условиям:

1)

2)

функция проникла в математику именно в этой ситуации. Дирак, создатель квантовой теории, он эту функцию и изобрёл, потом в математике появилась целая теория этих функций.

В координатном представлении вектор состояния изобразится интегралом: , где функция – это коэффициенты разложения вектора по базису из собственных векторов оператора координаты, это то, что у нас называлось волновой функцией. Вот таким образом стыкуется то, что раньше говорилось о волновой функции, и её представление в абстрактном пространстве.

Раньше я говорил, что волновая функция описывает состояние частицы с импульсом и с энергией , где . Теперь мы можем изобразить вектор в абстрактном пространстве для этого состояния: . Вот наш вектор выражен через базисные векторы, которые мы обозначаем .¹⁾

А как быть с другими операторами? Пусть у нас для простоты , тогда . Кстати, что получится при действии оператора координаты на этот вектор ? Здесь вы должны довериться просто формализму. Пишем: ²⁾ = . Когда оператор подействовал на вектор , мы получаем новый вектор с другими коэффициентами, и какие же это коэффициенты? А это та же функция , умноженная на x. Таким образом, в координатном представлении действие оператора на функцию сводится просто к умножению этой функции на число, то есть мы можем написать, что в координатном представлении .

Как же импульс? Оператор действует на вектор :

³⁾ =

Таким образом, в координатном представлении действие оператора на функцию приводит к взятию частной производной и умножению её на число , или символически: . В векторной форме: .

И, наконец, последнее. Если мы имеем какую-то функцию координаты и импульса , тогда оператором будет та же самая функция, но взятая от операторов и : .

10

Ещё раз, как можно ткнуть пальцем и предъявить базисные векторы, если мы работаем в абстрактном пространстве? В качестве базиса выбираются собственные векторы какого-нибудь оператора. В таком базисе этот оператор выражается диагональной матрицей, где по диагонали стоят собственные значения, а собственные значения – это наблюдаемые величины, поэтому, если мы экспериментально определяем собственные значения оператора, то мы его матрицу тут же пишем. Операторы связаны между собой (по теории), тогда другие операторы можно находить через матрицу, которую мы нашли. Это общая программа. Теперь конкретное исполнение.

Рассматривалось специальное представление – в качестве базиса были выбраны собственные векторы оператора координаты (тогда собственные значения этого оператора это просто координаты частицы, которые мы экспериментально можем определять). Из постулируемого коммутационного соотношения можно доказать, что собственные значения оператора координаты непрерывны. Оказывается, что в этом базисе оператор принимает вид , а всякий вектор задаётся функцией, в частности . При этом , если , то , векторы ортогональны. Если функция задаёт компоненты вектора в координатном базисе, то функция задаст компоненты вектора в том же самом базисе, так как .

Мы уже получили два оператора, оператор координаты и оператор импульса. Как быть с остальными? Лекция была кончена утверждением, что если некоторая переменная A есть функция координаты и импульса , то оператор будет функция от операторов и : . Рецепт такой: если переменная имеет классический аналог и в классической механике выражается как функция импульса и координаты, то оператор этой переменной изобразится той же самой функцией, но от операторов.¹⁾

А вот если переменная не имеет классического аналога, а в квантовой механике появились такие переменные (например, спин), вот там приходится оператор для переменной изобретать.

4. Оператор энергии

У нас был один из постулатов, что существует оператор , который называется гамильтонианом и который определяет динамику системы, то есть изменение вектора состояния за единицу времени получается как результат действия оператора на вектор состояния в данный момент времени:

Это аналог Второго закона Ньютона. Этот оператор что такое?

Для частицы в потенциальном поле сил гамильтониан H – это полная энергия частицы, выраженная через координаты и импульс: . Тогда оператор по нашему рецепту будет:

Задача на собственные векторы оператора энергии ставится так: оператор действует на вектор , даёт число , : . В координатном представлении векторы задаются функциями : . Для частицы в связанном состоянии спектр собственных значений оператора энергии дискретен (энергия в этом случае квантуется), в несвязанном состоянии спектр собственных значений непрерывен (энергия не квантуется). То есть, если частица может уйти на бесконечность, то любое действительное число может представлять её энергию, а если не может уйти на бесконечность, то тогда энергия может принимать определённые значения. Как найти эти собственные значения и собственные векторы?

В координатном представлении оператор изобразится так:

Тогда уравнение на собственные значения перепишется в координатном представлении таким образом: . Сейчас мы его перепишем так: . Это уже знакомое уравнение, это уравнение Шредингера для стационарных состояний. Это означает то, что мы с вами делали, мы решали задачу на собственные значения оператора энергии.

Для свободной частицы должно оказаться, что спектр собственных значений непрерывен, проверим. Для свободной частицы никакой потенциальной энергии нет: . Тогда задача на собственные векторы приводит к такому уравнению: (я не пишу индексы, потому что на самом деле они и не появятся) или , обозначим , тогда легко убедиться, что функция является решением этого уравнения.¹⁾

Собственные значения нумеруются вектором , мы можем написать так: , или в координатном представлении . Мораль такая: задайте любой вектор , этому вектору будет отвечать функция с таким собственным значением: . И, действительно, мы видим, что спектр собственных значений непрерывен, потому что вектор любой.

5. Оператор импульса

Физическая проблема такая: энергия квантуется, координата, как мы видели, не квантуется, спрашивается, квантуется ли импульс (то есть в результате измерений может получаться любое число или какие-то дискретные величины)?¹⁾

В координатном представлении оператор импульса есть: . Уравнение на собственные векторы выглядит так: , в координатном представлении вектор задаётся некоторой функцией и должен изобразиться так: , а уравнение на собственные векторы в координатном представлении сводится к такому , и в компонентах: или . Поскольку это функция от x только, то можно писать прямую производную:

Решение находится сразу: . Общий результат такой:

Это собственная функция оператора импульса, отвечающая собственному значению . Можно рассматривать это как наводящие соображения. Вернёмся к уравнению .

Утверждение. Функция является решением этого уравнения.

Доказательство. Подставляя эту функцию в уравнение, мы получаем:

Функция является собственной функцией оператора импульса, соответствующей собственному значению .

Отсюда видно, что собственным значением оператора импульса может быть любой вектор.

Если операторы двух переменных коммутируют, то эти переменные могут быть заданы и измерены одновременно, а операторы имеют одинаковые собственные векторы, ну и поэтому собственные значения могут быть заданы одновременно. То, что нельзя одновременно задавать координату и импульс, мы обсуждали, можно ли одновременно задать координату и энергию? Ответ зависит от того, коммутируют или нет операторы координаты и энергии. Ответ такой: оператор энергии , очевидно, что операторы и не коммутируют, потому что оператор со вторым слагаемым прокоммутирует, а с первым нет (это следует из коммутационного соотношения). Это означает, что координату и энергию задать вместе нельзя никогда, то есть не может быть утверждений, что частица находится в некоторой точке пространства и имеет такую-то полную энергию (они не коммутируют). Другой вопрос: импульс и энергию задать можно или нет? Вроде бы ответ напрашивается, что в коммутационное соотношение координата и импульс входят симметрично, но оператор энергии координата и импульс входят несимметрично, . Например, для свободной частицы, когда , оператор импульса с оператором энергии прокоммутирует. И, стало быть, импульс и энергия свободной частицы могут быть измерены одновременно. И действительно, это мы уже видели, а функция является одновременно собственной функцией оператора импульса и энергии, собственные значения связаны так: , . Но если частица не свободна, то оператор импульса не коммутирует с оператором энергии.

11

Мы нашли, что , и мы нашли вид этого вектора в координатном представлении: .¹⁾ Векторы могут быть выбраны сами в качестве базиса, в котором можно выражать все другие векторы, это называется импульсное представление.

Чтобы покончить совсем с оператором импульса и собственными значениями оператора импульса, окончательно оформим это так: оператор действуя на вектор даст: , при этом собственные значения оператора будут равняться , а вектор изобразится так: .

6. Момент импульса (собственные векторы, собственные значения)

М ы разобрались с оператором координаты, с оператором импульса, с оператором энергии, есть ещё одна переменная – момент импульса. Вот разберёмся с моментом импульса.

Надеюсь, кто-нибудь из вас помнит ещё что это такое, а если не помнит, то я напишу: . Если частица в плоскости движется по окружности, то момент импульса это вектор перпендикулярный плоскости орбиты частицы. Оператор момента импульса это будет произведение оператора координаты и оператора импульса: . Ещё можно ввести оператор . Мы имеем три проекции момента на координатные оси и оператор , который даёт полную величину момента. Непосредственным вычислением можно убедиться, что операторы между собой не коммутируют, например , это математический факт, физически этому соответствует важное обстоятельство – проекции момента на координатные оси не могут быть заданы одновременно. Но легко убедиться, что коммутирует с , а поскольку x ничем не лучше y, z, то это будет означать, что коммутирует , коммутирует , коммутирует с , сами компоненты между собой не коммутируют, но каждая компонента коммутирует с абсолютным значением момента импульса. Это означает, что можно задать величину момента и проекцию его на одну из координатных осей, но только на одну. Обычно в качестве такой проекции выбирают ось z.

Мы можем задать длину вектора и задать его проекцию на ось z, но проекции на оси x, y мы задать не можем, тогда мы имеем такую картину, что вектор где-то лежит на конической поверхности, какое он там занимает место не определено, но проекция его на ось z вполне определённая.

Исходя только из коммутационных соотношений, можно найти собственные значения операторов и .¹⁾ Собственные векторы и собственные значения будем нумеровать двумя числами – два числа j и m определяют вектор , и такой вектор является собственным вектором и (это возможно, потому что эти операторы коммутируют и у них общие собственные векторы).

При этом , а .

Ситуация такая: задаёте j из набора , теперь можете задать число из набора , тогда пара чисел (j, m) определяет вектор в абстрактном пространстве, который мы обозначаем , и этот вектор является собственным вектором оператора вот с такими собственными значениями: , и оператора с собственными значениями .

Мораль такая: квадрат момента квантуется и может принимать лишь значения , проекция момента на ось z может принимать значения кратные : .

Оказалось, что если j принимает целые значения , то это соответствует орбитальному моменту, т.е. когда частица движется в пространстве так, что .

7. Спин.

Опыт Штерна-Герлаха (1922г.)

Как фактически проявляется квантование момента импульса? Электрон вращающийся вокруг ядра, обладает орбитальным моментом . С точки зрения электродинамики электрон, вращающийся вокруг ядра это некоторый круговой ток, ему соответствует магнитный момент . А частица с магнитным моментом реагирует на магнитное поле. Потенциальная энергия частицы в магнитном поле равна , и на магнитный момент в магнитном поле действует сила равная .¹⁾ Пусть создаётся такое магнитное поле (см. рис.7.1). Теперь мы сюда запускаем пучок частиц, обладающих магнитными моментами. Когда частица залетает в магнитное поле, на неё действует сила по вертикали .²⁾ Тогда, если влетает пучок частиц с хаотично ориентированными магнитными моментами, то на каждую из этих частиц будет действовать сила пропорциональная направлению магнитного момента на ось z. Каждая частица будет отклоняться пропорционально силе, т.е. п ропорционально

, и они размажутся в виде такого веера:

Это способ определить экспериментально проекцию магнитного момента, которая связана с орбитальным моментом: .

А теперь мы запускаем туда не макроскопические элементы, а запускаем пучок атомов, а атом тоже может обладать магнитным моментом за счёт того, что там электрон вращается. А когда мы пропускаем пучок атомов, то обнаруживается, что мы не получаем такого размазывания в виде веера этих траекторий, а будет наблюдаться такое (скажем, пучок может разделиться на три пучка):

Пучок атомов не размазывается, они расщепятся, а именно три чётких отдельных пучка появится. Как это проинтерпретируется? Это будет означать, что проекция магнитного момента на ось z принимает всего три значения, а число проекций 2j+1 = 3 и j = 1, мы тогда говорим так: эти атомы обладают орбитальным моментом , а при этом число проекций 3. Вот это квантование момента наблюдается экспериментально, когда пучок атомов расщепляется определённое число пучков. Вот, целым j отвечают такие орбитальные моменты. Но оказалось, что есть ситуации, в которых пучок расщепляется на два пучка (рис.7.2. б). Это означает, что 2j+1 = 2 и . Эта ситуация, как выяснилось в конце концов, связана с тем, что электрон обладает собственным магнитным моментом, т.е. полуцелым значениям j не отвечают орбитальные моменты, значению отвечает собственный момент импульса электрона и он называется спином.

Ситуация выглядит так, что электрону, точечному объекту, приписывается собственный момент импульса, ему же отвечает соответствующий момент, и собственный магнитный момент электрона такой, что , а проекция магнитного момента принимает значения . Что здесь удивительного? Земля обладает орбитальным моментом импульса за счёт её вращения вокруг Солнца, это большая величина, кроме того, за счёт суточного вращения она обладает собственным моментом. Каждый элемент Земли движется по окружности и обладает собственным моментом импульса, вот сумма моментов импульса всех частей Земли с учётом её суточного вращения даёт собственный момент импульса, т.е. момент импульса в той системе, где центр масс Земли покоится), но он много меньше, чем орбитальный момент. Электрон, оказывается, обладает собственным моментом импульса той же величины, что и возможный орбитальный момент, а с другой стороны этот собственный момент импульса электрона нельзя приписать тому, что какие-то части электрона вращаются вокруг оси, т.е. мы не можем рассматривать электрон как, допустим, шар, обладающий моментом импульса за счёт вращения. Нет в электроне частей, это точечный объект, мы можем приписать некоторые размены, но он там вращается со сверхсветовыми скоростями, короче говоря, этот момент никак нельзя связать с орбитальным моментом частиц электрона, это некоторое врождённое свойство, не имеющее классического аналога. По отношению к магнитному полю электрон ведёт себя как маленький элементарный магнит, и вот величина его намагничивания это его врождённое свойство, кстати с этим врождённым свойством, связано, например то, что имеются постоянные магниты. Мамагниченность куска железа это следствие того, что электроны обладают собственными магнитными моментами и в железе они строятся так, что стремятся занять все одинаковую ориентацию, в результате суммарный магнитный момент отличен от нуля.

8. Средние значения динамических переменных

Мы уже видели, что теория отказывается предсказывать, что мы получим в результате измерения той или иной величины, она предсказывает лишь вероятности того, что будет получено то или иное значение. В связи вот с этим вероятностным характером возникает вопрос, каково среднее значение переменной? Ответ на это простой. Пусть мы имеет какую-то переменную A, и этой переменной соответствует оператор , тогда среднее значение переменной A в состоянии (угловыми скобками будем обозначать) будет определяться так:

.

Откуда берётся такой результат? Пусть , т.е. – собственные векторы оператора , а a_n – соответствующие собственные значения. Вектор можно представить в виде разложения по собственным векторам оператора : . Тогда

=

а – это вероятность получить при измерении переменной A в состоянии значение a_n. Возможные значения умножаются на вероятность и суммируются по всем возможным значениям, а это то, что в математике называется математическое ожидание, это и есть среднее значение данной величины.

9. Изменение со временем

Если состояние меняется со временем, это означает, что среднее значение тоже может меняться со временем. Напишем:

(это уравнение движения, пятый постулат)

(это сопряжённое уравнение)

И это изобразится, наконец, так:

12

Будем считать, что , тогда .

Если , то .

В координатном представлении:

Связь с классической механикой

,

Г де классическая механика верна? Там, где можно пренебречь соотношениями неопределённостей!

( отлична от нуля в маленькой области)

10. Атом водорода. Частица в центрально симметричном поле

Пусть , т.е. поле обладает центральной симметрией, тогда . Гамильтониан в координатном представлении имеет вид . Пишем уравнение на собственные векторы:

В полярных координатах оператор Лапласа имеет вид

,

где содержит слагаемые с производными по переменным и .

Можно показать, что оператор квадрата импульса и гамильтониан коммутируют: . Физически это означает, что L² сохраняется. И тоже, значит операторы имеют общие собственные векторы.

Положительно заряжённое ядро создаёт поле или в более общем виде . Вектор , где , , , будет решением уравнения на собственные векторы гамильтониана, при чём

Вектору в координатном представлении отвечает функция .

Стационарное состояние электрона в атоме водорода задаётся тремя числами n, l, m, эти числа определяют энергию E_n, момент и проекцию импульса соответствующие этому состоянию, при чём . Это вследствие того, что .

Бор постулировал, что существуют орбиты, на которых электроны не излучают и ещё

1) , где n – номер орбиты,

2) .

Из этих постулатов следует, что

и .

При Z = 1 (водород) и n = 1 .

11. Система тождественных частиц

Пусть система состоит из N частиц, а её состояние задаётся вектором тогда соответственно

(вероятность обнаружить частицу в элементе объёма ) = .

,

,

где .

В квантовой механике частицы одного сорта тождественны, принципиально неразличимы (рис. 11.1). Пусть у нас имеется две частицы, тогда

Как это может быть? Так как модуль вектора постоянен, то вектор может только вращаться вокруг начала координат: . Из условия нормировки следует: , это выполняется только в двух случаях: и . Так как , возможны две ситуации:

1. , волновая функция симметрична относительно перестановки пары тождественных частиц, такие частицы называются бозоны;

2. , это фермионы.

Принцип Паули гласит, что два фермиона не могут находиться в одном и том же состоянии.

§7. Квантовая статистика

Ели мы при абсолютном нуле температуры будем кидать бозоны в одну энергетическую яму, а фермионы в другую, то картины будут различными: фермионы будут занимать различные энергетические уровни, а бозоны – первый.¹⁾

Если теперь мы будем бозоны трясти, то они как-то распределятся по энергиям, фермионы тоже. Я приведу только результат.

1. Распределение Ферми (для фермионов)

Среднее число частиц при температуре T в определённом состоянии даётся формулой

где – уровень Ферми или химический потенциал. Электроны в металле представляют идеальный фермионный газ.

2. Распределение Бозе (для бозонов)

14

Итак, среднее число частиц в состоянии при температуре T равно:

,

где соответствует фермионам, – базонам.

3. Число состояний частицы в определённом интервале энергий. Распределение по энергиям

Число частиц с энергиями в интервале пропорционально : . Наша задача найти функцию распределения по энергиям .

Е сли мы найдём функцию g(E), тогда автоматически мы найдём и f(E),

– число состояний, приходящихся на интервал энергий . Это можно условно так изобразить: на шкале энергий отдельные значения энергии (энергия меняется дискретно), число палочек в интервале энергий это как раз будет число состояний . Проблема теперь упирается в нахождение этой функции g(E).

Мы рассматривали частицу в ящике, и там были найдены возможные состояния, напомню, что любая тройка целых чисел задаёт состояние с волновой функцией . Перебирая все тройки чисел, мы получим все возможные состояния. А теперь у нас задача такая: задать интервал энергии и перебрать все возможные состояния, энергия которых попадёт в этот интервал. Задача на первый взгляд страшно трудная, на самом деле решаемая и довольно элементарно. Можно было бы отталкиваться от решения для ящика, но применяется другой трюк более у добный.

Будем считать, что волновая функция частицы не такая, как там было найдено для частицы в ящике, а волновая функция имеет вид с граничными условиями:¹⁾

Это означает, что

Ну, и

- целые числа

Если б мы рассматривали свободную частицу в пространстве, любой вектор был бы допустим, когда мы рассматриваем частицу в ящике, то не любые векторы задают состояния, а каждая компонента вектора должна быть кратной величине .

В екторы

могут быть такими, как на рис.3.3, они дискретны, проекции вектора должны быть кратны числу . Мы имеем дискретный набор точек и теперь мы их можем считать. Мы видим, что на одно состояние в этом пространстве волновых чисел или k-пространстве приходится ячейка с объёмом .

А теперь мы можем ответить на вопрос о том, сколько состояний приходится на заданный интервал энергии. Для частицы с массой m . В k-пространстве энергии E отвечает сфера радиуса , и тогда все точки k-пространства, которые находятся внутри этой сферы, отвечают состояниям, энергия которых меньше E. Тогда число состояний с энергией в интервале [0, E] это будет объём сферы, делённый на объём, приходящийся на одно состояние.

Число состояний N_E с энергиями в интервале [0, E], будет равняться

, где V = L³

А тогда число состояний в интервале мы получим просто дифференцированием:

Тогда число частиц, для которых , равно

Это не то, что нас интересует. Это не распределение по энергиям – это распределение по волновым числам. А теперь мы вернёмся к распределению по энергиям.

Фермионы с массой m.

, нам теперь надо просто перейти от k к E.

.

На самом деле, мы это учли движение частицы в целом, частица может иметь ещё внутренние состояния, связанные с её спином, тогда эта формула подправится, и мы напишем так:

Этот множитель 2(j+1) – это число проекций спина на выбранную ось. Для электронов и 2j+1 = 2, то есть число состояний удваивается, тогда для идеального фермионного газа распределение по энергиям выглядит так:

Такой множитель запоминать это безумие, важно, что функция распределения (что вы должны помнить, придя на экзамен)

Н а что похожа эта функция?

Интеграл должен равняться полному числу частиц N. Для фермионного газа , если этот интеграл взять, можно определить .

4. Равновесное электромагнитное излучение в полости

Мы уже обсуждали, что если взять полость, стенки которой имеют температуру T, и маленькую дырку в этой полости, то эта дырка ведёт себя как абсолютно чёрное тело, а излучение, которое заполняет полость характеризуется определённым распределением энергии по частотам, и это распределение универсально, оно не зависит от стенок полости, это то, что называется равновесное электромагнитное излучение. Я уже упоминал, что классическая физика споткнулась на этом равновесном электромагнитном излучении. А сейчас мы сидим в полости, стенки имеют температуру T, мы имеем температуру немного большую и портим всё дело, выгнали нас, свет потушили, и тогда мы имеем полость, и вся эта полость заполнена электромагнитным излучением, это излучение характеризуется определённым распределением энергии по частотам или по длинам волн, наша цель найти это распределение.

Мы будем исходить не из волновой картины, что здесь волны электромагнитные, а из фотонной картины. Стационарное состояние электромагнитного поля характеризуется определённым набором фотонов, т.е. мы это электромагнитное поле здесь будем рассматривать как идеальный фотонный газ. А фотоны это бозоны. И мы немедленно применяем формулу распределения Бозе к нашему фотонному газу. Импульс фотона , энергия фотона , а . Тогда число фотонов

(для фотонов )

Множитель 2 за счёт двух значений поляризации. Это число фотонов при температуре T, сейчас мы его переделаем .

Это число фотонов, которые приходятся на интервал частот . А теперь мы можем найти распределение энергии по частотам.

Множитель, который стоит перед , называется спектральная плотность равновесного электромагнитного излучения, и она даётся формулой

Э то формула Планка. Впервые в этой формуле появилась константа, названная постоянной Планка.

Нарисуем эту функцию: начало её как , хвост её экспоненциальный.

15

§8. Твёрдое тело

С помощью этой формулы Планка мы можем получить все ответы на вопросы, связанные с твёрдым телом.

1. Классическая теория теплоёмкости. Модель независимых осцилляторов

Т вёрдое тело может быть смоделировано частицами, которые колеблются относительно положения равновесия. Частицы в узлах решётки сидят и при нагревании колеблются, поэтому простейшая модель такая: частица массы m привязана пружинкой жёсткости k к положению равновесия. На самом деле, там пусто и привязаться не к чему, мы делаем модель. Каждый атом с положением равновесия в узлах решётки мы моделируем независимым осциллятором. Энергия осциллятора

. Можно доказать, что средняя кинетическая энергия осциллятора равна средней потенциальной энергии: . Из статистической физики известно, что , поэтому средняя энергия одного осциллятора равна . Тогда внутренняя энергия одного моля будет равняться , а теплоёмкость

К лассическая теория говорит, что теплоёмкость одного моля любого твёрдого тела равна 3R. На самом деле, теплопроводность твёрдых тел экспериментально имеет такой вид (рис.1.2).

При достаточно низких температурах теплоёмкость падает как T³. Классическая теория не справляется с этим делом.

Энергия осциллятора квантуется. , где – частота осциллятора. Если учесть квантование энергии, то средняя энергия, приходящаяся на одну степень свободы равна , а для пространственного осциллятора

Как это согласуется с классическим результатом? Очень просто – при и при . Это уже даёт правильное приближение, но закон T³ не получается всё равно. Это говорит о том, что модель независимых осцилляторов слишком груба.

2.Дебаевская теория

К онечно, эти осцилляторы не могут быть независимыми. Реальная модель такая: мы имеем атомы, связанные пружинками, конечно они могут колебаться, но это не независимые осцилляторы. Это представляется ужасным делом, но на самом деле это решаемая задача. Мы же ещё упростим картину.

Моделью нашего твёрдого тела будет сплошное упругое тело. Тогда тепловое возмущение будет представляться распространением возмущения, то есть стоячими звуковыми волнами. Электромагнитному полю ставятся в соответствие частицы фотоны, точно так же звуковым волнам в этой упругой среде ставятся в соответствие частицы фононы с энергией и импульсом . Подобно тому как электромагнитным волнам ставится в соответствие идеальный фотонный газ, возбуждению звуковых волн в твёрдом теле ставится в соответствие идеальный фононный газ. И тогда справедлива формула

В твёрдом теле, в отличие от электромагнитных волн, которые имеют два состояния поляризации, может идти продольная волна и поперечная с двумя состояниями поляризации, поэтому появился множитель . Для фонона . И ещё одна тонкость – для фонона три состояния волны имеют разные скорости, но мы будем считать, что они одинаковы.

Тогда внутренняя энергия кристалла изобразится как интеграл:

Для фотонов верхний предел был , а здесь мы имеем дело с кристаллом, там длина волны меньше чем атомные расстояния, значит надо где-то оборвать интеграл. мы определим из условия, что полное число состояний должно равняться 3N, числу собственных колебаний.

Попробуем найти классический предел (классическая механика всегда является предельным случаем квантовой).

здесь , а – дебаевская температура.

При и , соответственно теплоёмкость . Это первое подтверждение теории. При больших температурах и мы получаем . Мы получили классический результат!

3. Твёрдое тело. Решётка Браве. Обратная решётка

Чем замечателен идеальный кристалл? Тем, что в нём возможны сдвиги, при которых вся эта структура переходит в себя (в узлах могут быть сложные группы атомов, они тоже переходят в себя).

Кристалл – это трёхмерная структура, три вектора , не лежащих, естественно, в одной плоскости, такие, что при сдвиге на вектор , где n₁, n₂, n₃ – любые целые числа, структура переходит в себя, задают элементарную ячейку кристалла, объём этой ячейки равен

Д анной решётке ставится в соответствие обратная решётка

с такими условиями: . Объём ячейки обратной решётки из геометрических соображений будет равен .

Симметрия кристалла позволяет получить важную теорему Блоха: волновые функции стационарных состояний электронов в твёрдом теле имеют вид , при этом пространственная функция обладает таким свойством периодичности: .

Что эта волновая функция из себя представляет в одномерном случае? Функция для частицы в пустом пространстве это плоская волна, её амплитуда промодулирована вот такой пространственной функцией с периодом решётки , амплитуда должна быть больше в местах нахождения атомов и меньше там, где их нет, то есть в промежутках.

Вот примерно такая волновая функция электронов, она максимальна в окрестности атома, там плотность вероятности обнаружить электрон больше, но в общем-то она не равна нулю в межатомных промежутках. Это просто означает, что электроны в твёрдом теле уже не принадлежат атомам, каждый электрон – житель всей этой решётки, волновая функция электрона размазана по всему образцу. Понятно почему: атомы это соседние потенциальные ямы, разделённые потенциальным барьером, но есть туннельный эффект.

4. Зоны энергии

Электрон в твёрдом теле заведомо находится в связанном состоянии, согласно общим положениям квантовой теории его энергия должна квантоваться, то есть собственные значения гамильтониана должны быть дискретны. Мы увидим сейчас, как она квантуется. Напишем гамильтониан:

Потенциальная энергия выглядит, конечно, сложным образом: это потенциальные ямы в окрестности атомов, и её не только ядра создают, там и все электроны. Выражение для гамильтониана задать очень сложно, надо учитывать взаимодействие электронов между собой, взаимодействия с ядрами, взаимодействие ядер между собой…, но нам это не важно, нам важно одно – эта функция периодическая. Напишем уравнение на собственные значения гамильтониана, где функция имеет такой вид :

или

Для каждого имеются значения , при которых это уравнение имеет решение, и тогда каждому будут соответствовать собственные функции . Таким образом, стационарные состояния электронов в металле задаются двумя переменными вектором и числом n, им отвечает функция и энергия . Напишем окончательно так:

В от главный результат от всей этой науки, и всё это добыто как следствие трансляционной инвариантности решётки (вся физика переходит в себя при сдвигах с определённым вектором

). Что мы получаем? Вот у нас энергетическая шкала E, возможные значения энергии определяются величинами . Фиксируем n, получаем какую-то функцию от , которая имеет минимальное значение и максимальное. n = 2, мы опять имеем полосу энергий, при каком-то значении она минимальна, при каком-то значении она максимальна. И в результате мы получаем, что энергия электронов в металле может лежать в пределах, так называемых, энергетических зон.

Для малых значений n эти зоны не перекрываются, но при больших значениях n они начинают перекрываться. Ещё более детальный анализ показывает, что имеются уровни энергий для электрона в атоме, когда эти атомы построятся в решётку, то эти уровни энергий расщепляются на зоны (рис. 4.2). Число уровней, на которые расщепляется начальный, равно 2N, где N – число атомов.

Ч тоб с этим кончить, какие значения принимает вектор

? В прошлый раз мы обсуждали понятие обратной решётки, вектор имеет размерность обратной длины, значит вектор это вектор, принадлежащий обратной решётке. Все значения вектора в пределах элементарной ячейки отвечают определённым состоянию, если мы переходим в соседнюю ячейку, то там все состояния повторяются. Поэтому, если – трансляционный вектор обратной решётки, то выполняются условия: , .

5. Уравнения движения электронов в твёрдом теле

Функция определяет стационарное состояние в твёрдом теле. Для частицы в вакууме функция определяет состояние с импульсом . Такая функция для электронов в твёрдом теле определяет состояние, величина называется квазиимпульсом. Настоящий импульс электрона в металле меняется сложным образом. Для частицы в пустоте из волновых функций можно соорудить волновой пакет, и этот пакет будет иметь групповую скорость . Для частицы в пустоте в состоянии энергия , и . Для электрона в твёрдом теле определяет энергию электрона в состоянии , скорость волнового пакета, который можно построить для электрона будет определяться по аналогии эта формула определяет скорость электрона в твёрдом теле. Тогда уравнение движения электрона в твёрдом теле, оказывается, имеет такой вид:

где – напряжённость и индукция внешнего электромагнитного поля.

- это сила Лоренца, квазиимпульс меняется, как импульс свободной частицы, под действием этой самой силы Лоренца. Импульс электрона должен был бы чувствовать все микроскопические поля, волновой пакет, представляющий электрон в твёрдом теле, сквозит через кристаллическую решётку, не чувствуя никаких локальных полей. Но это только для правильной решётки.

6. Проводимость твёрдых тел

Как определяется плотность тока? Берём маленький объём пространства, в пределах этого объёма вычисляем заряд частицы на скорость частицы, суммируем все эти вещи в пределах объёма, делим полученную величину на величину объёма – это есть плотность тока. Для нашего случая (для электрона в твёрдом теле) тогда напишем

Теперь от суммирования перейдём к интегралу: , множитель 2 вводится потому, что в одном состоянии может быть две частицы с антипараллельными спинами. Тогда получаем такой результат для плотности тока:

Здесь интегрирование ведётся по занятым состояниям . А теперь математический факт:

это следствие того, что .¹⁾

Мораль из этого математического факта такая: электроны в полностью заполненной зоне не дают вклада в проводимость, т.е. ток, соответствующий им, равен нулю.

«Дырки»

Отсюда мы видим, что . Это означает, что плотность тока можно вычислять либо суммируя соответствующие выражения по занятым состояниям, либо суммировать по свободным состояниям, но, беря e со знаком (+). Это математическое обстоятельство и приводит к концепции дырок. Мы в зоне имеем занятые электронные состояния, и если зона заполнена не полностью, то эти электроны дают вклад в проводимость, мы скорость каждого электрона умножаем на его заряд -e и получаем ток, - с таким же успехом мы могли бы суммировать по свободным состояниям, которые остались пустыми в зоне, умножать скорости, отвечающие свободным состояниям (хотя там никого нет) на заряд +e и считать, что у нас имеются не электроны отрицательные, а положительно заряженные частицы в этих свободных состояниях. Ну, а свободные состояния называются дырками, по вполне понятным причинам, и мы можем считать, что ток тогда обеспечивается либо электронами, которые занимают определённые состояния, либо – как зеркальное отражение этого дела – положительно заряженными частицами, отвечающими свободным состояниям, или дырками.

Заметьте, у нас электрон здесь не частица, это некоторая математическая конструкция вот с тем квазиимпульсом, который чувствует только внешнее поле. Эти наши частицы ведут себя именно как частицы в пустом пространстве. Для того, что называется электронами в твёрдом теле, кристаллическая решётка это то же самое, что вакуум для настоящего электрона.

Из всей этой математики следует, что сопротивление равно нулю. Сопротивление, на самом деле, имеется за счёт того, что решётка обычно искажена, в частности за счёт теплового движения.

7. Проводники, полупроводники и изоляторы.

Вот, имеются зоны энергии, есть последняя заполненная зона, она называется валентной зоной. Мы видели, что электроны, сидящие в заполненных зонах, вклада в проводимость не дают. Дальше вариант такой: за валентной зоной идёт пустая зона при T = 0, тело с такой структурой это изолятор. При нагревании, если запрещённая зона не слишком велика, происходит тепловое возбуждение, и часть электронов из валентной зоны может перейти в следующую зону, зону проводимости, тогда интеграл будет отличен от нуля, и появится ток, это полупроводники. Полупроводники – это твёрдое тело, для которого ширина запрещённой зоны не слишком велика, так что при комнатных температурах число электронов, которые перейдут в зону проводимости, будет ощутимо. При понижении температуры сопротивление будет расти и при абсолютном нуле температуры полупроводник становится изолятором. Если эта запрещённая зона достаточно велика (больше некоторого условного уровня), то соответствующий металл называется изолятором. При тепловом возбуждении всё равно часть электронов переходит в зону проводимости, но их мало и заметного вклада в проводимость они не дают.

То есть с этой точки зрения изолятор это плохой полупроводник или полупроводник это плохой изолятор, качественного различия нет.

А есть, наконец, твёрдые тела, для которых нет этой запрещённой зоны, т.е. либо зона проводимости пересекается с валентной зоной, либо мы просто имеем частично заполненную зону, а следующая свободна, эти тела называются проводники и это металлы. Проводник и металл в этом контексте синонимы. В проводниках можно считать, что электроны в этой частично заполненной зоне ведут себя как идеальный фермионный газ.

Ну вот, всё. Остальное придётся прочитать в книжке, но повторяю, там идейных проблем нет, там только детали.

1⁾ Вот, я слышал, математик известный придумал, что все эти временные шкалы ерунда, и вообще, мир начался где-то 300 лет назад что ли, а всё остальное – подделки, фальшивки и подтасовка фактов. Бред собачий. Тут даже не о чем говорить. Дело в том, что имеются разные временные шкалы: хроники, углеродный способ датировки и прочее – это вещи не из одного источника, это всё согласовано. Я не знаю, что должно произойти в голове, чтобы вот так зациклиться на такой бредовой идее.

2⁾ Нет до сих пор надёжной модели, представления о возникновении солнечной системы, но, во всяком случае, как бы она там не возникла, все характеристики, которые она имела бы, это по отношению ко всему дальнейшему случайные начальные условия. Земля могла бы быть ближе к Солнцу, могла бы быть дальше, параметры орбит были бы другими. Ну, например, более-менее понятно, почему орбиты всех планет лежат приблизительно в одной плоскости, скажем, из вращающегося диска это могло образоваться, опять же это начальные условия.

1⁾ На самом деле, там не этот аспект взаимодействия правильный, то есть классическая теория и здесь оказалась неверной. На счёт рассеяния (с синевой неба) она сработала, но по причинам, которые мы дальше увидим.

1⁾ Если мы видим воду – это просто, ещё не успевшая испариться, вода.

1⁾ Наглядная картина: вырыли в земле яму глубиной 3м и кинули туда узника. Высота барьера, потенциальная энергия, , и он там прыгает. Его возможности ограничены (прыгуны-рекордсмены прыгают на 2м), его кинетическая энергия, которую он может развить при прыжке, это , где h = 2м. И вот он там в этой яме прыгает, и всё, – прыгает, прыгает, а ему ещё не хватает куска в 1м. Так из этой ямы ему не выбраться никогда.

2⁾ Не то, что есть явления, к которым неизвестно как подступиться, любому человеку можно предложить задачу, которую он не знает, как решить, это ещё не дефект науки, это сложность задачи и дефект того, кто её пытается решить. Здесь другая ситуация: проблема ясная, как её решать тоже понятно, действуем по правилам, – получаем ерунду (не то, что мы не знаем, как её решать). Это дефект теории, а не того, кто её применил.

3⁾ Во времена Ньютона уже была гипотеза о том, что свет это есть волна, Гюйгенс в частности был её последователем, и другая, что свет есть поток частиц, то есть светящееся тело испускает какие-то частицы. В те времена нельзя было их проверить. Можно было говорить, как Гюйгенс, что это есть волны, и объяснить наблюдаемые явления, то, что называется геометрической оптикой. Преломление света и отражение одинаково хорошо и та и другая теория объясняла. Вот, когда было обнаружено явление интерференции (опыт Юнга в начале XIX века), тогда восторжествовала волновая теория. И для объяснения взаимодействия света с веществом пришлось вернуться к корпускулярным представлениям.

1⁾ Какая масса, покоя или релятивистская, стоит в формулах? – вопрос из зала. Масса, которая стоит в этой формуле это свойство частицы. Вот у вас есть килограммовая гиря, на ней написано «1кг», как бы эта гиря тут не летала, надпись «1кг» сохраняется. Это отголоски того, что в своё время любили различать массу покоя и полную релятивистскую массу, которая вроде бы зависит от скорости. Здесь, когда я пишу m, это свойство частицы (в таблице смотрим).

2⁾ Это не означает, что нет смысла убегать. Например, гонится за вами фотон, вы от него бежите со скоростью , он всё равно вас настигает со скоростью c, но есть смысл убегать, потому что меняется не его скорость, а меняется его импульс. Если вы будете быстро убегать, то импульс, с которым он вонзится вам в спину, будет гораздо меньше (и может быть сколь угодно малым), он вас настигнет так же быстро, как если бы вы стояли на месте, но эффект будет не тот.

1⁾ Потому что, если бы, например, по понедельникам он вёл себя как волна, а по вторникам как частица, это была бы проблема, конечно, это бы подорвало основы науки.

2²⁾ Я даже не буду говорить тут «свет», - «объект».

3⁾ При этом фотон должен поглотится электроном с самой большой энергией, и ещё должно оказаться так, что импульс электрона направлен наружу.

4⁾ Дальше идут два вопроса из зала.

1⁾ Когда сталкиваются два бильярдных шара, исход столкновения на основе законов сохранения энергии и импульса описать нельзя (иначе не было бы игры в бильярд), он ещё зависит от так называемого прицельного параметра.

1⁾ Не на свете (для света в видимой области условие сохраняется), а наблюдалось рассеивание рентгеновских лучей на электронах, то есть на обычном атомном веществе (электрон в атоме хотя и связан, но энергия этой связи по сравнению с энергией рентгеновского фотона мала).

1⁾ Можете поупражняться и посчитать, сколько света сваливается на Землю, если считать, что Солнце излучает изотропно.

2²⁾ Легко понять, почему заряд, движущийся с ускорением, должен излучать. Вот у вас неподвижная заряженная частица, к ней приклеено кулоновское поле, силовые линии которого расходятся до бесконечности. Начинаем дёргать заряд, понятно, что вместе с ним дёргаться это поле не может (когда я его тут сдвигаю, в удалённой точке поле не может «знать», что я его тут сдвинул), ближайшее поле сдвинулось, а на большом расстоянии поле стоит. Это означает, что происходит отрыв поля от заряда, а поле, оторвавшееся от заряда, это уже свободное электромагнитное поле, которое может находиться лишь в определённом состоянии: векторы и перпендикулярны, модули их согласованы и всё это плывёт со скоростью света.

1¹⁾ Излучение не может происходить с одинаковой мощностью на всех длинах волн, в этом случае энергия была бы бесконечно велика.

2²⁾ Это привычное название, и другое, более-менее старорежимное, монохроматическая испускательная способность.

3³⁾ Механизм отражения мы рассматривали – это вторичное излучение атомов предмета.

4⁴⁾ Когда-то рассказ я читал, по-моему, у Джека Лондона как там были два соперника (о чём они соперничали, я уже не помню, хотя у них там сюжет всегда одинаковый), и один из них стал абсолютно чёрным, а другой стал абсолютно прозрачным. Ну, игра там какая-то была, что тот, который был абсолютно прозрачный, тоже был вроде бы невидимым, но иногда как-то бликовал на солнечном свете, а абсолютно чёрный якобы был вообще невидим. Кстати, человек-невидимка не мог бы функционировать, если бы он был бесцветным! Если бы он был действительно невидим, это означает, что он никак не взаимодействовал бы с излучением, излучение проходило бы насквозь, не взаимодействуя с ним, он бы тогда ничего и не видел (потому что мы видим за счёт того, что сетчатка глаза там как-то взаимодействует с излучением). Так что мало того, что его никто не видел бы, но и он бы никого не видел, ну, и радости, конечно, от этого не было бы никакой.

1¹⁾ Нейтрино пронизывают Землю без всяких потерь, без всякого взаимодействия, это частицы, которые предельно слабо взаимодействуют с веществом, то есть какой-нибудь слой свинца толщиной от Земли до Солнца лишь в ничтожнейшей степени ослабил бы поток нейтрино. Солнце излучает мощные потоки нейтрино, частицы, сопровождающие ядерные реакции, и они нас просвечивают запросто на теневой стороне Земли и на световой стороне.

2²⁾ Напомню, эта дыра представляет собой сферическую поверхность (хотя бывают вращающиеся дыры, и поверхность не сферическая) в пространстве, куда всё валится внутрь и ничего обратно не вылетает. Недавно, кстати, слыхал, что обнаружили объект, который тянет на чёрную дыру (уже известно 20 таких объектов) массой порядка 107 солнечных масс, большая дыра. Кстати, как массу этой дыры понимать? Она создаёт гравитационное поле, вот по полю на бесконечности с помощью закона тяготения (Ньютона) определяется масса.

3³⁾ Мы сейчас с вами сидим в такой полости, так что это не какая-то хитрая вещь, мы большую часть жизни проводим в таких полостях. Только нужно было бы выключить лампы и нас отсюда вывести, потому что наша температура выше.

1¹⁾ Отполируем поверхность, она будет меньше поглощать, скажем, полированный стол больше отражает, чем какая-то неполированная деревяшка.

2²⁾ Вот у вас кусок железа излучает при данной температуре, отполируйте его поверхность, его излучение изменится!

1¹⁾ Если вы откроете дверцу только что протопленной печки, то увидите излучение чёрного тела. Космическое пространство всё в масштабах Вселенной заполнено равновесным электромагнитным излучением с температурой 3⁰K, то есть с таким, с каким было бы излучение в полости с температурой стенок 3⁰K, это так называемое реликтовое излучение, оставшееся со времён возникновения Вселенной. Если расширение будет продолжаться, температура будет падать и дальше, в конце концов до абсолютного нуля, если расширение сменится сжатием, температура будет возрастать, и весё вернётся к начальному состоянию с большими температурами.

2²⁾ Классическая физика не смогла получить разумную формулу для спектральной плотности (эта формула легко проверяется: абсолютно чёрное тело – печь, ставят спектрометр, излучение в спектр разворачивается, и для каждой полоски спектра можно найти энергию в этом интервале длин волн). Классическая физика не смогла не только дать правильное значение функции, она не смогла дать даже разумное значение, а именно, получалось, что эта функция растёт с убыванием длины волны, а это просто бессмысленно, это означает, что любое тело в видимой области излучает, а в низких частотах ещё больше, и полная энергия излучения стремится к бесконечности. Значит, в классической физике есть какие-то принципиальные дефекты.

3³⁾ Факт хорошо известный: вы можете сунуть горячий утюг в печку, изначально он будет тёмно-красного цвета, если его греть дальше, цвет будет желтеть (по мере роста температуры это дело начинает выезжать в видимую область), ну и, наконец, станет белым. Что называют белым светом? Солнце светит, как абсолютно чёрное тело, значит, спектральный состав солнечного излучения это по определению белый свет.

4⁴⁾ Обычные лампы накаливания это пример теплового излучения. Температура нити в лампе чуть больше 2000 градусов, можете легко посчитать на какую длину волны приходится максимум, оказывается, в инфракрасной области, то есть лампа работает неэффективно, в видимой области её излучение это несколько процентов от потребляемой мощности, в основном она действует на обогрев.

1⁾ Это означает, что, если нет частицы, движущейся по траектории, то нет скорости, нет ускорения, не к чему применять Второй закон Ньютона, и, вообще, вся эта схема классической механики не работает.

2⁾ Соорудить поток электронов вполне возможно: в телевизионной трубке, в электронной пушке, электроны излучаются из раскалённой нити, ускоряются электрическим полем, луч формируется, и на экране рисует картину.

3⁾ Вместо пучка электронов можно представить поток пуль из пулемёта, щит броневой со щелью, а дальше деревянный забор регистрирует попадания пуль, понятно, что они будут рассеиваться, проходя через эту щель.

1⁾ На рис.1.c точка отмечена крестиком

1⁾ Так сказать, пока частица не обнаружилась где-то, Господь Бог, понимая под этим существо, которое знает всё, что можно знать, он не знает, где она будет обнаружена, он тоже может оперировать только вероятностью. В рамках этой же метафоры Господь Бог-то знает, где молекулы воздуха летают, это мы не знаем, но он знает, потому что, в принципе, можно за ними следить и можно знать, где какая из них. А где будет обнаружена частица, описываемая волновой функцией, это и Господь Бог не знает. Вот такая ситуация. Разные аспекты этого дела ещё проявятся более занимательным образом.

2⁾ Это довольно тонкая вещь. Язык это наше произведение, он развился в процессе общения, всё ли существующее в мире можно сформулировать на языке? Могут быть вещи, которым у нас, вообще, и слов нет, мы о них не можем задуматься, но это другая проблема. Но то, в квантовой механике обнаружилось, в общем, это очень сильно повлияло в общефилософском плане на наше представление о том, какие высказывания разумны, а какие высказывания бессмысленны.

1⁾ Почему мы считаем, что уравнения Максвелла справедливы? Потому что работает теория: радиоприёмники говорят, телевизоры картинку показывают, и, вообще, всё, что называется электричеством, железно из этих уравнений следует.

1⁾ В чём состоит функционирование физика? Он должен уметь слова обычного языка переводить в какие-то математические формулы, вот и всё. Допустим, человек обычным языком описывает проблему, а специалист должен будет потом, зная законы природы, сказать, что будет. Так вот, специалист должен будет перевести эту, может быть, и несвязанную речь на язык математики. На этом функция физика кончается, потому что, как только он перевёл, он может пойти к знакомому математику и дать ему математическую проблему и сказать, вот решай. Математик его не будет спрашивать, что такое буква Ψ, буква t, математику важно знать, что это некоторая функция от переменных x, y, z, ему не надо знать, что эти переменные представляют. Математик это всё продолбит и даст решение, не понимая, что всё это означает. Дальше, опять физик может это проинтерпретировать. Значит, физик работает только на стадии перевода. Но такого разделения труда между физиками и математиками нет, и физикам всегда приходится работать по совместительству математиками, более того, математика в XVIII, XIX веке развивалась в основном физиками, потому что проблемы брались из физики. Вклад чистых математиков в эту науку оказался удивительным, и при случае, если не забуду, я об этом поговорю.

2⁾ Чем замечательны экспоненты – их дифференцировать приятно.

3⁾ Есть рецепт дивергенции от произведения скалярной функции на вектор: , так как .

1⁾ Луи де Бройль, кстати, недавно умер, хотя это придумал в 20-х годах. Он из королевской семьи, это один из последних Бурбонов.

1⁾ В классической физике тоже понималось, что, когда мы наблюдаем объект, то мы с ним взаимодействуем: надо объект осветить и смотреть, по крайней мере, отражённый свет. Но в классической физике считалось, что это взаимодействие можно сделать настолько малым, что оно не меняет состояния объекта, но это оказалось большим заблуждением: в области атомных масштабов наблюдение нельзя сделать таким, чтобы оно не меняло состояния объекта. Наблюдение само по себе это вовсе не невинное дело: когда мы взаимодействуем с объектом в атомных масштабах, его состояние меняется.

2⁾ Мы обсуждали в своё время разрешающую способность оптических инструментов, к сожалению, на экзамене я убедился, что многие эту вещь проигнорировали. Совершенно дифракционное явление: в микроскоп мы можем разрешить две близкие точки, то есть воспринять их как две различные точки, если расстояние между ними не меньше длины волны. Длина волны света, который используется в микроскопе, определяет разрешающую способность.

1¹⁾ Любая реальная волна, согласно теореме Фурье, может быть представлена как суперпозиция монохроматических волн с различными амплитудами и частотами ω в некотором интервале Δω. Суперпозицию волн, мало отличающихся друг от друга по частотам , называют волновым пакетом или группой волн. //И.Е. Иродов. Волновые процессы. М.1999. стр. 223.

2⁾ Простейший наглядный пример – звуковая волна. Кто-нибудь издаст сейчас кратковременный вопль, и побежит звуковая волна длиной , где τ – длительность вопля. Кстати, если длительность вопля полсекунды, то длина этого пакета будет 150м. И побежит такое возмущение длиной 150м, оно, конечно, не монохроматическое, там уже появится целый спектр частот, и чем кратковременнее вопль, тем больший набор частот требуется для этого.

1) Поясним эту формулу на примере суперпозиции двух волн с одинаковой амплитудой и несколько отличными друг от друга длинами волн (и частотами). На рис.3.2, а показано их относительное расположение в некоторый момент времени, а на рис.3.2, б – результат их суперпозиции. Нас будет интересовать скорость, с которой перемещается место с максимальной амплитудой – это и будет скорость волнового пакета – групповая скорость.

//И.Е. Иродов. Волновые процессы. М.1999. стр.224.

1⁾ Наглядный пример. Приходилось, наверное, наблюдать забеги на длинные дистанции. Вот группа бегунов стартует, эта компактная куча начинает бежать. Отдельный бегун – это отдельная синусоидальная составляющая. Потом, поскольку бегуны все разные, бегут с разными скоростями, это начинает размазываться: сначала бегут компактной группой, потом эта группа разбивается, потом, вообще, оказывается, один на круг отстаёт, и всё начинает путаться. Вот расплывание пакета.

2⁾ Теперь понятно, почему существует классическая механика, почему она оказалась правильной. Например, масса пули m=10^-2, допустим центр масс пули был локализован в интервале Δx₀=10^-5м. На сколько увеличится неопределённость в координате пули за какое-то время? Δx~10^-27t. За сутки полёта пули (t=10^-5) мы получим Δx~10^-22. 10^-10 – размер атома водорода. Потому-то пули и летают как компактные объекты, потому что у них масса достаточная, потому и справедлива классическая механика. Если мы в формулу подставим массу электрона m_e~10^-30, то мы видим, что для электрона волновой пакет мгновенно расплывается, и его координата сразу теряется через относительно короткое время.

1⁾ Можно жидкость, например, нагреть в обычных условиях до температуры выше 100^о, и она не будит кипеть, если греть очень чистую жидкость без всяких примесей, греть осторожно. Кстати, если потом эту кастрюлю с такой жидкостью немножко тряхнуть, она взрывается, она мгновенно испаряется. Точно так же можно аккуратно охлаждать водяной пар в чистом воздухе до состояния с температурами ниже той, при которой он должен был бы сконденсироваться и превратиться в воду и даже в лёд.

1⁾ Понятно, что вовсе не всякая функция представляется в таком виде, скажем, не всякая функция f(x, y) представляется в виде g(x)h(y), поэтому, если мы найдём такие решения, то это будут какие-то специальные решения.

1⁾ Немедленно вопрос может возникнуть, почему планеты вращаются вокруг Солнца? Мы детально не обсуждали, как выглядит настоящая полевая теория для гравитационного поля, но, когда Земля вращается вокруг Солнца, то поле должно меняться синхронно, а поскольку синхронно меняться не может, то должны излучаться гравитационные волны. Почему тогда Земля не падает на Солнце? Ответ простой – мощность мала. Волны излучается, энергия уносится, но гравитационное взаимодействие примерно на 40 порядков слабее электромагнитного, это самое слабое взаимодействие. Энергия уносимая волнами просто очень мала, и, скажем, Земля за 4 млрд. лет, сколько она существует, сделала 4 млрд. оборотов, но приблизилась к Солнцу ничтожно мало.

1⁾ Если кинетическая энергия электрона меньше, чем работа по преодолению тормозящего поля, то налетающий электрон внутри останавливается и выбрасывается обратно. Это по здравым представлениям, ну, и по классической физике. Посмотрим, что даёт наша теория.

2⁾ Непрерывность гарантирует, что вероятность не прыгает резко при малом смещении, то есть вероятность меняется непрерывно.

1⁾ Вот, кстати, на счёт предела в рекордах. Вы, наверное, анализ изучали, там сказано, что всякая монотонная ограниченная последовательность имеет предел. Когда я был на вашем месте, как только услыхал такую теорему, меня пронзило – это означает, что любые рекорды имеют предел. Рост рекордов в прыжках, в беге это заведомо ограниченная последовательность, стало быть, есть предел, то есть когда-то все эти спортивные соревнования упрутся в смысле рекордов. Конечно, прыгать можно всегда, потому что это личные соревнования, но рекорды расти перестанут. Такая вот эта теорема.

2⁾ Если бы человек выскочил из ямы, так сказать, прыгнул выше головы, то нарушился бы закон сохранения энергии (у него нет энергии, чтобы подскочить на 3м). Но если он оказывается за стеной, его энергия в начальном состоянии и в конечном одна и та же, просто произошло действие, несколько запрещённое с точки зрения классической физики, но нарушения закона сохранения энергии нет.

3⁾ Если бы не было туннельного эффекта, то с электричеством было бы не так просто. Это означает, что вы должны были бы, например, провода, ведущие к вашему чайнику, впаять в него, а другие два конца привести на электростанцию и впаять туда, чтобы было сплошное металлическое тело. Просто при механическом контакте ток не потёк бы, если б не было туннельного эффекта.

1⁾ Земля, движущаяся вокруг солнца, находится в связанном состоянии, камни, которые мы на земле можем наблюдать, - в связанном состоянии (они не могут уйти на бесконечность). В этом смысле все окружающие нас объекты в пределах солнечной системы это частицы в связанном состоянии. Единственные объекты, которые отражают несвязанные состояния, это два американских аппарата, которые были запущены лет пятнадцать назад

2⁾ Когда переменная принимает определённые значения (счётное множество дискретных значений), говорят, что эта переменная квантуется.

3⁾ Строго говоря, если быть очень аккуратным, при измерении энергии могут быть получены лишь определённые значения. Это важный нюанс. Квантовая теория не считает, что объект обладает какой-то характеристикой сам по себе, пока мы не пытаемся её измерить. Вот когда мы измеряем ту или иную характеристику, она появляется. Этому есть экспериментальное подтверждение. Если объект имеет сам по себе какие-то характеристики, то можно привести примеры, когда в определённых ситуациях будут получаться определённые следствия, а если он не обладает сам по себе, тогда следствия в тех же ситуациях будут другими. Это положение теории, очень интригующее, неоднократно проверялось – если мы будем считать, что система обладает сама по себе какой-то характеристикой, то из этого можно получить следствия, противоречащие наблюдаемому в действительности. Значит, при измерении энергии могут быть получены лишь определённые значения.

1⁾ Вот сейчас кто-нибудь снаружи дверь закроет на ключ, и мы все в связанном состоянии. И будем рассматривать нас тут сейчас с точки зрения квантовой теории.

1⁾ Напомню постулат Бора. Электрон, который вращается вокруг ядра должен излучать электромагнитные волны, терять энергию и упасть на ядро. Каким образом эта проблема была решена Бором для атома водорода (вы в школе Боровскую модель атома водорода изучали)? Простым. Он постулировал, что есть такие орбиты, на которых электрон не излучает, то есть он там крутится и не излучает. Как это стыковалось с наукой? А никак. В электродинамике известно, что если он крутится – должен излучать, а Бор говорит – не излучает. Понятно, что это не решение проблемы. Как теория эту проблему решила, мы уже сейчас знаем: в стационарных состояниях пространственная конфигурация не меняется, она застывшая (это было видно из решения уравнения Шрёдингера), динамические характеристики есть, импульс, момент импульса, но кинематики нет; распределение вероятности электронов в той или иной точке статично, ему соответствует статичное распределение заряда, а статичное распределение заряда ничего не излучает. Вот таким образом утверждение Бора получается не в виде постулата, а как следствие теории, и электродинамика не страдает – нет никакого вращения.

2⁾ Для сравнения, с точки зрения математики, что такое классическая Ньютоновская механика? Теория дифференциальных уравнений второго порядка (Второй закон Ньютона это дифференциальное уравнение второго порядка). Было такое представление, что Господь Бог в своём всеведении додумался до теории дифференциальных уравнений второго порядка и устроил мир предметный, описываемый этими уравнениями. Когда Кеплер установил свой Первый закон, что планеты движутся по эллипсам, у него было точное ощущение, что он проник в замысел создателя; теория конических сечений была самая развитая и любимая наука ещё с античности, и когда Кеплер обнаружил, что планеты движутся по эллипсам (по коническим сечениям), оказалось, что создатель тоже знал теорию конических сечений и устроил там на небе всю эту замечательную вещь именно таким образом. Мы сейчас увидим, если продолжать эту метафору, что создатель продвинулся ещё и дальше в своём математическом образовании.

3⁾ Звёздочка обозначает комплексное сопряжение.

1⁾ Мы можем иметь два вектора и , это столбцы, α и β это числа. Мы можем вектор умножить на α, получим новый вектор, умножить на β, получим новый вектор, взять их сумму (сумма двух матриц-столбцов опять будет матрица-столбец), на то что получится подействовать оператором , мы получим какой-то вектор. А можем сделать иначе: возьмём оператором подействуем на вектор , получим вектор, умножим его на число α, потом оператором подействуем на вектор , получим новый вектор, умножим его на число β и сложим. Если мы получим в результате то же, что и в предыдущем случае, то оператор называется линейным.

1⁾ Чтобы было понятно о чём речь. Я взял с потолка матрицу , она представляет оператор , после этого я эту матрицу изуродовал: взял её транспонировал и заменил каждый элемент комплексно сопряжённым к этому элементу. И оказалось, что так изуродованная матрица совпадает с исходной матрицей. Тогда мы получим тот же самый оператор (замечательный оператор, потому что в результате таких манипуляций не всякая матрица перейдёт в себя), который называется эрмитовым или самосопряжённым.

2⁾ Когда оператор действует на какой-то вектор, он его переводит в другой вектор, но, если нам удалось подсунуть оператору такой вектор , что при действии на него оператор даёт тот же самый вектор, умноженный на число, то вот этот, конечно, чем-то замечательный вектор, называется собственным вектором.

3⁾ Осознать надо о чём речь. В любой физической теории задать состояние это значит дать на столько полное описание объекта в рамках данной теории, чтоб дальше можно было ответить на все физически разумные вопросы относительно этого объёкта и предсказать, как это состояние будет эволюционировать. Например, как дать исчерпывающее описание летящей пули? Надо задать её положение и импульс, исходя из этого, можно узнать момент импульса, энергию, можно узнать, как это состояние будет дальше меняться, потому что есть Второй закон Ньютона для этого. «Нет, - говорит квантовая теория, - ты мне задай некий вектор в абстрактном пространстве». Как задать? Дальше нам придётся разобраться, как это делать.

1⁾ Это существенно. Физика ограничивается обсуждением лишь тех величин, которые подлежат измерению, поэтому все её утверждения можно проверить, а утверждения, которые принципиально нельзя проверить (в частности, это утверждения о величинах, которые нельзя измерить), все такие утверждения с точки зрения физики являются бессмысленными, не ошибочными, а бессмысленными. Действительно, это пустая болтовня, если высказывание нельзя проверить в принципе, то чего сотрясать воздух. В окружающем нас языке море высказываний, которые нас окружают на обычном житейском уровне, на самом деле 90% высказываний не проверяемы. Тогда, что же те, кто их произносит, валяют дурака? Нет, они преследуют другую цель, понятно какую – с помощью всех этих высказываний добиться от объекта, на который они направлены, определённого поведения. Физика это островок, где все высказывания осмысленны, проверяемы и прочее, а 90% речевых потоков одного персонажа на другой, они преследуют цель сделать из того, чего я хочу. И тут о высказываниях бессмысленно судить с точки зрения истинности – неистинности, это другая песня совершенно. Они должны судиться по другому критерию: достигают они цели или нет, короче говоря, успешно я навешал лапшу на уши ему или нет. Если, допустим, я вешал, вешал, а он не поддаётся, то да, я валял дурака, а если я добился нужного поведения, то я занимался разумной осмысленной деятельностью. Эти вещи полезно понимать, для того, например, чтобы не ввязываться в бессмысленные споры. Пытаясь оценивать все эти вещи с точки зрения истинности – ложности, справедливости – несправедливости, скорее сами поддаёмся.

1⁾ Проблема какая? У нас летит пуля, а нам надо в абстрактном пространстве придумать вектор, который соответствует вот этой конкретной пуле. Как вообще задать вектор в обычном пространстве? Вот вектор – стрелка, я представляю, как сообщить по телефону, что вот у меня тут вектор передо мной. Вектор задаётся в нормальном пространстве тройкой чисел, где взять три числа? Если у нас есть базисные векторы, то любой вектор задаётся тремя числами. Как задать базис, как сообщить по телефону базис? На базис можно лишь указать пальцем, вот в реальном пространстве мы должны выбрать три вектора, тогда любой другой задаётся, можно и по телефону передать базис. Можно сказать: «Возьми камушек, подвесь на нитке, тогда вектор, идущий из камушка вдоль нитки, это будет вектор , потом возьми компас, и единичный вектор в направлении синего конца стрелки это будет вектор , а потом построй вектор перпендикулярно по правилу правого винта это будет вектор ». После этого сообщаете три числа, и он там у себя слепил вектор, который вы видите перед собой. В абстрактном пространстве нет отвесов, нет компасов, нет ничего. Как там задать базис? Есть способ. В качестве базиса мы можем выбрать собственные векторы какого-либо оператора.

1⁾ действует, и получается «ку-ку».

2⁾ Когда символ q сидит под скобками – это просто метка, а q перед вектором – это число, то есть векторы помечены собственными значениями.

3⁾ Действуем оператором на некоторый вектор, мы получим какой-то вектор, на этот вектор действуем оператором , мы получим новый вектор. Оказывается, можно подобрать такой оператор, который подействует на исходный вектор и даст то же, что дают два оператора и .

4⁾ В житейском плане: оператор – одеть пиджак, оператор – одеть пальто, понятно, что эти операторы не коммутируют, а оператор – одеть шапку, оператор – одеть ботинки, они коммутируют, понятно, результат один и тот же, в какой последовательности ни выполняй.

1⁾ Единичный оператор – это такой оператор, который любой вектор переводит в себя: .

2⁾ Так следует из этой теории, а что касается физики, то действительно нет никаких указаний на то, что координаты квантуются. Хотя идеи о том, что пространство и время могут квантоваться, были и, может быть, ещё остаются, но пока никаких указаний на это нет. Вполне могло бы быть, что пространство ячеистое, но ещё раз повторяю пока в казённой теории координаты не квантуются, и, в общем-то, нет особой потребности в модификации этой теории.

1⁾ Мы сейчас пролезли в это абстрактное пространство, где живут векторы и операторы. Мы изобразили вектор для определённого физического состояния: изготовили частицу с импульсом и энергией E, и мы для неё нарисовали вектор в абстрактном пространстве.

2⁾ А теперь мы думаем, что получится, когда оператором действуем на вектор . Дело в том, что – это собственные векторы оператора , и при его действии получится тот же самый вектор, но выскочит собственное значение: .

3⁾ Здесь не так просто: мы не знаем, как действует оператор на вектор . Но можно показать из того, что , верно следующее равенство.

1⁾ Конечно, вопрос сразу может возникнуть, как понимать функцию от оператора? В конце концов, всякая функция выражается степенными рядами, например , а оператор при действии на вектор даст: , короче, алгебраические действия над операторами известны.

1⁾ Проверка: , , подставляя это в уравнение, мы получим, что .

1⁾ Кстати, ответ на этот вопрос вы уже можете знать только на основании того, что мы уже здесь обсуждали (вот, если вы удерживаете в голове всю цепочку, то ответ можно дать). У нас было коммутационное соотношение , из этого математического факта следовало, что координата не квантуется, ну и импульс, надо ожидать, не будет квантоваться, потому что буквы и равноправны.

1) Что даст скалярное произведение собственного вектора оператора координаты с собственным вектором оператора импульса?

Тогда другой вопрос: скалярное произведение двух собственных векторов оператора импульса. Ответ, он ясен заранее, если это разные векторы, то их скалярное произведение должно равняться нулю (собственные векторы ортогональны), посмотрим, как это сработает. Сначала , вектор сопряжённый (кстати, нельзя сказать, чему равен этот вектор, это просто разложение по координате). Тогда мы имеем: , а теперь факт математический: , и , где . Мораль какая? Если не совпадает с , то скалярное произведение , они ортогональны. При этом мы убили ещё одного зайца – мы нашли нормировочную константу C. Итак, .

1⁾ Это интересное чисто математическое следствие, но у нас нет времени, и я просто приведу результат.

1⁾ Наглядно предметы, показывающие магнитный момент – стрелка компаса. Почему стрелка компаса показывает на север? Потому что магнитный момент ориентируется вдоль силовой линии. Если мы имеем магнит с такими силовыми линиями, то магнитный момент (стрелка компаса) ориентируется вдоль силовой линии, и на неё будет действовать сила , втягивающая её в область с большей индукцией.

2⁾ Ось z задаёт направление поля, а , потому что поле неоднородно. Эта сила будет тем больше, чем больше проекция магнитного момента на направление поля.

1¹⁾ Если представить себе, что энергетическая яма это дом, который мы заселяем фермионами, то каждый фермион занимает одну квартиру и никого туда уже не пускает, бозоны же наоборот – заходит бозон в квартиру, а там уже живут другие бозоны, они ему: “О, друг! Заходи к нам…”.

1¹⁾ Для частицы в ящике мы требовали, чтобы волновая функция обращалась в ноль вне ящика, т.е. стенки ящика были непроницаемы. Это действительно соответствовало сути дела, но удобнее, однако, оперировать функциями такого вида, но тогда меняются граничные условия. Вместо того, чтобы функция занулялась на стенках ящика, накладывается условие периодичности: волновая функция на противоположных гранях принимает одно и то же значение. Может показаться, что это условие слишком надумано, потому что, когда волновая функция зануляется на стенках, это физике соответствует, а условие периодичности никакой физике не соответствует, но оно удобно математически. Такую смену граничных условий физика терпит. Объём растёт как куб линейных размеров, а поверхность растёт как квадрат линейных размеров, поэтому, чем больше объём, тем меньше вклад поверхности в свойства начинки этого объёма. Например, мы рассматривали частицу в кубическом ящике, а если она не в кубическом ящике, а в чайнике с носиком и пр. Математически невозможно задать граничное условие зануления на такой сложной поверхности, счастье в том, повторяю, что результат не зависит ни от вида поверхности, ни от точного вида граничных условий, именно потому, что вклад граничных условий для начинки достаточно больших объёмов не существен. Поэтому мы можем делать граничные условия так, как нам удобно, а удобно делать так.

1⁾ Доказывать это я не буду, приведу только одномерный вариант этого дела.

Если , т.е. если функция f периодическая с периодом a, то .