150008 (Владимира Иннокентьевича Бабецкого (3 семестр)), страница 3

Энергия до столкновения это энергия фотона и , , энергия покоя неподвижного электрона. Энергия после столкновения: энергия фотона , энергия электрона . Импульс в проекции на ось x до: , после: , на ось y до: 0, после: . Законы сохранения энергии и импульса нам дают три уравнения:

Вот, три этих уравнения описывают столкновение. Считаем известной начальную ситуацию, то есть, заданы величины и всё, неизвестные величины: , углы . У нас неизвестных пять штук, уравнений три, это означает, что мы не можем исход этого столкновения однозначно описать.¹⁾ Нас будет интересовать частота в виде функции от угла рассеивания .

От угла мы можем избавиться, возведя последние два уравнения в квадрат и сложив их: . Из наших уравнений, возведённых в квадрат

выразим , учитывая, что .

Это мы нашли импульс рассеянного фотона, выраженный через импульс налетающего фотона и угол рассеивания фотона.

И здесь сразу можно усмотреть, почему неправильная была предъявлена теория «Почему небо синее?», вам на экзамене её приходилось отвечать, почему она, тем не менее, могла быть? По корпускулярной теории частота рассеянного света должна быть меньше частоты падающего, а по волновой они одинаковы. Видно, что, если , то, конечно, . Мораль такая: при не слишком больших импульсах фотона, а на языке волновой теории при не слишком больших частотах, действительно, классическая теория даёт правильные результаты, но при больших частотах должны наблюдаться отклонения. Так как импульс линеен по частоте, имеем:

Действительно, были проделаны эксперименты,¹⁾ и эта формула подтвердилась. Эффект Комптона подтвердил корпускулярные свойства света.

3. Давление света

В рамках корпускулярных представлений задача о давлении света элементарно решается, хотя из волновой теории следует, что свет должен оказывать давление при падении на поглощающий или отражающий экран.

К огда световая волна падает на поверхность металла, то напряжённость электрического поля

вызывает ток с плотностью . На элемент объёма действует сила , где - это магнитная составляющая падающей волны. Действительно, эта сила направлена в сторону падения волны и давит на поверхность, можно рассчитать величину этого давления. Но эта же задача в рамках корпускулярных представлений решается просто элементарно.

Имеется мишень, поток частиц, которые застревают в этой мишени. Эти частицы несут с собой импульс, а сила это изменение импульса частиц, пересекающих данную площадку за единицу времени, это изменение импульса легко сосчитать.

Пусть у нас имеется поток света с интенсивностью , это энергия, падающая на единицу площади за единицу времени (вектор Пойнтинга). На площадку падают фотоны, их число за время можно найти, разделив падающую энергию за это же время на энергию одного фотона.

Изменение импульса за единицу времени это есть сила:

То есть давление света при полном поглощении это интенсивность света, делённая на скорость света, при полном отражении (при нормальном падении) давление удвоится.

Сила давления мала или велика? Для обычной интенсивности света (лампочка 40 Вт), можете легко определить силу света на заданном расстоянии, это величина порядка 1Па. Это не значит, что вообще давление света мало. Плотность энергии в лазерном луче достигает сотен атмосфер, лазерный луч пробивает железную стену, не проплавляет, а пробивает. В принципе, можно поставить на тележку радиопередатчик с направленной антенной, чтобы он излучал только в одну сторону, – появится реактивная сила. В своё время (в 60-х годах) модно было рассуждать о межзвёздных перелётах. Фотонные ракеты, кстати, единственный более-менее реальный способ межзвёздных перелётов. На обычном топливе достичь околосветовых скоростей невозможно. Идея была такая: на ракете имеется запас вещества и антивещества, потом электроны с позитронами аннигилируют, и всё это превращается в энергию излучения. Это единственный на сегодняшний день реальный способ, хотя тоже фантастический. Кинетическая энергия равна: , здесь корень определяет замедление времени. Если вы, например, хотите, чтобы у вас время текло в 100 раз медленнее, чем на Земле, чтобы можно было слетать за приемлемое для себя время куда-нибудь, то , и . Значит, для того, чтобы полезный груз массой 100т разогнать до таких скоростей, должно проаннигилировать 100т вещества. Для сравнения: Солнце излучает 4 миллиона тонн в секунду.¹⁾

§3. Тепловое излучение

1. Абсолютно чёрное тело

2. Закон Кирхгофа

3. Закон Вина

4. Закон Стефана-Больцмана

Все тела при температуре выше абсолютного нуля излучают электромагнитные волны. Этот кусок мела, я, вы, полы, тут всё излучает электромагнитные волны. Это излучение называется тепловым излучением. Механизм излучения простой: в конечном итоге все тела состоят из заряженных частиц, которые при температуре выше абсолютного нуля находятся в состоянии хаотического движения, а дёргающийся заряд излучает электромагнитные волны.²⁾

1. Абсолютно чёрное тело

Тепловое излучение – следствие хаотического движения заряженных частиц, а оно происходит во всём диапазоне. Это означает, что длины волн при тепловом излучении меняются так: . Понятно, что полная энергия как-то распределяется по длинам волн.¹⁾ Значит, если это энергия, излучаемая в интервале , то мы можем написать . Очевидно, что на малых интервалах энергия линейна по интервалу, и она должна зависеть от длины волны. Тогда пишут: , где функция называется спектральной плотностью излучения.²⁾ Эта функция характеризует каждое тело. Любое тело имеет свои предпочтения: на одной длине волны излучает больше, на другой меньше, это зависит от его конкретного устройства.

Имеется другая важная характеристика – монохроматическая поглощательная способность, определяется так: , это лучше переписать так: . Вот на этот стол падает энергия извне, часть этой энергии поглощается, а часть отражается, эта поглощательная способность определяет склонность тела к поглощению на данном интервале длин волн, .

Для идеального зеркала, которое отражает всё падающее излучение на всех длинах волн, . Наоборот, для тела, которое ничего не отражает ни при какой длине волны, но соответственно всё поглощает, . Значит, определяет абсолютно чёрное тело, такие тела есть.

3

Мы остановились на том, что абсолютно чёрное тело это тело, для которого на всех длинах волн, то есть оно поглощает всё падающее на него извне излучение и его не отражает. Мы видим определённые тела вследствие того, что мы видим отражённый от них свет, то есть мы видим отражённые электромагнитные волны,³⁾ а если тело ничего не отражает, то, конечно, оно будет чёрным. Скажем, здесь сейчас кто-нибудь из вас стал бы абсолютно чёрным, как бы это воспринималось? А вот такой контур абсолютно чёрный без всяких деталей.⁴⁾

Для света нет материальных объектов абсолютно прозрачных, а вот для нейтрино, например, практически всё абсолютно прозрачно.¹⁾

Е сть природный объект, чёрная дыра, который является чёрным в этом смысле: всё, что на дыру падает извне, и вещество, и излучение, падает туда совершенно необратимо и безысходно.²⁾ Но не надо таких экзотических объектов, чтобы реализовать абсолютно чёрное тело. Полость с маленькой дыркой даёт возможность реализовать абсолютно чёрное тело, а именно, вот эта поверхность дырки в полости ведёт себя как абсолютно чёрное тело по понятной причине: сюда заходит какое-то излучение, дальше оно испытывает там многократное отражение и выйдет обратно ничтожная часть того, что туда зашло, потому что при каждом взаимодействии со стенкой излучение поглощается. Окно в доме чёрное (без стекла, застеклённые окна отражают), если оно маленькое и помещение там большое. Так что абсолютно чёрное тело реализуемо.

2. Закон Кирхгофа

Можно установить один замечательный и неочевидный закон, связывающий излучательную и поглощательную способности тела. Полость, стенки которой поддерживаются при температуре T, значит, эта полость заполнена электромагнитным излучением (понятно, что стенки излучают) и находится в равновесии со стенками. Важное обстоятельство: спектральный состав равновесного излучения в полости не зависит от того, как устроены стенки этой полости.³⁾

Более наглядно тут можно такой привести пример. Скажем, имеем полость зеркальную, стенки которой отражают всё падающее на них излучение, не меняя спектрального состава. Запустим туда световой луч, например, красного цвета и захлопнем дверцу. Он там начнёт метаться, и, конечно, вся эта полость будет заполнена красным светом. А теперь представьте следующее: этот ящик заполнен красным светом, и мы туда кинем маленькую пылинку, что будет происходить? Эта пылинка начнёт нагреваться и переизлучать, она поглощает монохроматический свет с определённой длиной волны, а излучает «кашу» (она излучает во всём спектре). В конце концов, процесс размазывания энергии по частотам завершится, и мы получим равновесное излучение, которое в дальнейшем не меняется, и его спектральный состав не зависит от того, какая там была пылинка.

Е сть универсальная функция, мы её обозначим

, которая называется спектральной плотностью равновесного излучения, равновесное излучение в любой полости будет описываться вот этой функцией. Что означают слова «спектральная плотность»? То, что энергия, которая приходится на интервал , будет равняться , то есть спектральная плотность определяет, какая энергия приходится на заданный интервал длин волн.

А теперь мы хотим получить закон Кирхгофа. Рассмотрим в полости площадку величиной , эта площадка излучает внутрь полости, , с другой стороны на эту площадку падает излучение из полости, определяемое спектральной плотностью, , и часть этого излучения площадка поглощает. Когда устанавливается равновесие, излучаемая площадкой энергия в заданном интервале должна равняться поглощаемой энергии в данном интервале (иначе эта площадка либо охлаждалась бы, либо нагревалась, а мы рассматриваем равновесие), . Подставляя выражение для падающей энергии в равенство , получаем: , как я сказал раньше, поглощаемая и излучаемая энергии равны, следовательно, или

Что это означает? это спектральная плотность излучения конкретного материала стенок, это функция, характеризующая, опять же, материал стенок. Для разных тел эти функции различны, но их отношение, оказывается, не зависит от тела и представляется некоторой универсальной функцией. Это означает, что, чем тело больше поглощает при температуре T на длине волны λ, тем оно больше излучает при данных температуре и длине волны. Если задуматься, этот закон очень удивительный. Излучение идёт, вроде бы, из всего тела (это излучение атомов среды), а поглощение, оно, вроде бы, связано с поверхностью,¹⁾ и то, что отношение этих величин не зависит от природы тела, от характера поверхности, конечно, удивительно.²⁾ Закон не учитывает никаких деталей, он просто основан на законе сохранения энергии, его справедливость безусловна. Мало есть законов такой мощности и общности.