lectures (Общая Физика (лекции по физике за II семестр СПбГЭТУ ЛЭТИ))

1. Эл. поле в вакууме:

Электрическое поле – проявление единого электромагнитного поля, проявлением которого является электрический ток (упорядоченное движение заряженных частиц).

Эл. заряды – частицы с наименьшим отрицательным (электроны) или положительным (протоны) зарядом.

I-ый закон Кулона: суммарный эл. заряд в замкнутой системе остается постоянным.

II-й закон Кулона (о взаимодействии точечных зарядов):

Сила взаимодействия двух неподвижных точечных зарядов пропорциональна величине каждого из зарядов и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними.

F12 = k*|q1q2|/r12²

Где F12 – сила взаимодействия между двумя точечными зарядами;

k = 1/(40);   1;

 - относительная электрическая проницаемость;

0 = 8,85*10^-12 Ф/м;

0 =1/(4*9*10⁹).

Если зарядов будет N, то сила взаимодействия между двумя данными зарядами не изменится, то

F = F1i, i = 1  N.

2. Напряженность:

В качестве величины, характеризующей электрическое поле, принята величина E = F / qпр.

Ее называют напряженностью электрического поля в точке, где пробный заряд испытывает действие силы F.

Напряженность эл. поля в данной точке:

Е = (1/40)*(q/r²), q – заряд, обуславливающий поле.

Вектор Е направлен вдоль радиальной прямой, проходящей через заряд и данную точку поля, от заряда, если он положителен, и к заряду, если он отрицателен.

За единицу напряженности принят В/м.

Принцип суперпозиции: напряженность поля системы зарядов равна векторной сумме напряженностей полей, которые создавал бы каждый из зарядов системы в отдельности.

3. Законы Кулона:

I-ый закон Кулона: суммарный эл. заряд в замкнутой системе остается постоянным.

II-й закон Кулона (о взаимодействии точечных зарядов):

Сила взаимодействия двух неподвижных точечных зарядов пропорциональна величине каждого из зарядов и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними.

F12 = k*|q1q2|/r12²

Где F12 – сила взаимодействия между двумя точечными зарядами;

k = 1/(40);  1;

 - относительная электрическая проницаемость;

0 = 8,85*10^-12 Ф/м;

0 =1/(4*9*10⁹).

8. Линии напряженности:

Электрическое поле можно описать с помощью линий напряженности. Их проводят таким образом, чтобы касательная к ним в данной точке совпадала с направлением вектора Е.

Густота линий выбирается так, чтобы кол-во линий, пронизывающих единицу поверхности, было равно численному значению вектора Е. (1)

Линии напряженности точечного заряда представляют собой совокупность радиальных прямых, направленных от положительного заряда и к отрицательному.

Линии одним концом «опираются» на заряд, а другим концом уходят в бесконечность (2).

Так полное число линий, пересекающих сферическую поверхность радиуса r, будет равно произведению густоты линий на площадь поверхности сферы (4r²). В соответствии с (1), густота линий численно равна Е = (1/40)*(q/r²), то кол-во линий численно равно (1/40)*(q/r²)* (4r²) = q/0. Это говорит о том, что число линий на любом расстоянии от заряда будет постоянным, то, в соответствии с (2), получается, что линии ни где, кроме заряда, не начинаются и не заканчиваются.

5. Поле электрического диполя:

Электрическим диполем называется система двух одинаковых по величине разноименных зарядов +q и –q, расстояние l между которыми значительно меньше расстояния до точек, в которых определяется поле системы. Прямая, проходящая через оба заряда, называется осью диполя.

Положим, что r+ = r – a cos , а r- = r + a cos .

Спроецируем вектор Е на два взаимно перпендикулярных направления E_r и E_:

E_r = 1/(4₀)*(2p^.cos)/r³;

E_ = 1/(4₀)*(p^.sin)/r³, где p = q^.l – характеристика диполя, называемая его электрическим моментом. Вектор р направлен по оси диполя от отрицательного заряда к положительному.

E² = E_r² + E_²  E = 1/(4₀)*p/r³* *(1+3^.cos²).

Если предположить, что  = /2, то получим напряженность на прямой, проходящей через центр диполя и перпендикулярной к его оси:

E_ = 1/(4₀)_*p/r³, при этом E_r = 0, то E_ параллелен оси диполя.

6

dE₁

. Поле кругового заряда на оси:

dE



X

L

R

dr

dq = dl

dE = k*(dl)/L²

dE₁ = dE^.cos = dE(x/4) = =k*x^.dl)/(R²+x²)^3/2 _2R

E₁ = dE₁ = k*x^.dl)/(R²+x²)^3/2 ₀dl = = (2Rkx)/(R²+x²)^3/2 = =k*(Q^.x)/ (R²+x²)^3/2.

7

dE₁

. Поле заряда, распределенного по диску, на его оси:

dr

dE

_

dq = dl

R

L

X

плотность распределения заряда

dQ = dS = 2rdr

dE₁ = k*(dQx)/(r²+x²)^3/2 = =kxrdr)/(r²+x²)^3/2

E₁ = k2x*₀^Rrdr/(r²+x²)^3/2 = =-k2x(r²+x²)^-1/2₀^R = =k2x(1/x–1/(R²+x²)) = k2(1– x/( R²+x²)).

Если x<1 = k2 получает условие бесконечной заряженной плоскости.

E = 2/(4₀) = /(2₀).

9. Поток вектора напряженности:

]  поле некого вектора А.

Ф_А = _SАdS – поток вектора А через площадку S (скалярная величина).

 - угол между вектором А и нормалью к S.

Он «+» тогда, когда угол  - острый, и «-», когда  - тупой.

Направление нормали n выбирается наружу выпуклой поверхности, а в случае плоской поверхности оговаривается заранее.

Ф_Е = _SEdS = /E и S вектора/ = =_SEndS.

Если поверхность замкнутая, то поток Ф_Е обозначается, как

Ф_Е =  EdS =  (q₀/(4r²₀))dS.

Поток вектора Е через поверхность равен числу силовых линий через эту поверхность. Если поверхность замкнутая, то Ф_Е = (q₀/(₀4r²))^.dS = =q₀/₀.

В случае, если заряд окружает неровная поверхность, то Ф_Е = q₀/₀ тек же, т.к. число силовых линий, пронизывающих поверхность, останется тем же самым.

Если в поверхности образовать складку, то Ф будет определяться, как поток вектора Е, а в местах складок будет компенсироваться, т.е. Ф_Е = q₀/₀.

10. Теорема Гаусса, уравнение Пуассона.

Рассмотрим систему зарядов:

Ф_Е = оЕ_ndS, где E_n = E₁ + E₂ + E₃ + + … = E_ni, i = 1  N.

Ф_Е = oE_nidS =  E_nidS = (q_i/₀) = = (q_i)/₀, i = 1  N.

Теорема (Остроградского -) Гаусса: Поток вектора Е (Ф_Е) через замкнутую поверхность равен алгебраической сумме зарядов, охватываемых данной поверхностью, поделенной на ₀.

] заряд распределен внутри некого объема с некой объемной плотностью , тогда q = _VdV. Ф_Е = oEdS = /E и S – вектора/ = 1/(₀)*_VdV, где V – объем, в котором находятся заряды, а не весь объем области.

 - определяет св-ва среды, в которой находятся заряды ( = 1 в вакууме и/или в воздухе).

Индукция:

Д - прописное.

Д - вектор индукции, отличающийся от Е на некую константу, зависящую от среды.

Д = ₀E /Д и Е – вектора/;

Ф = о_SДdS = /Д и S – вектора/ = =_VdV – ур-е Максвелла.

11. Бесконечная заряженная плоскость:

О на заряжена с постоянной поверхностной плотностью заряда .

n

E

E E

E E

Выбирается некая поверхность, окруженную зарядом. Определяется вектор Е и Ф_Е и точка на основании цилиндрической поверхности. o E_ndS = (q)/₀.

Данное направление Е выбирается, т.к. плоскость бесконечна и нет других преимущественных направлений. В любой точке поверхности Е постоянно и  для любой точки одинакова.

o E_ndS = _Sб.п. E_ndS + _Sосн. E_ndS = = /_б.п. = 90⁰/ = _Sосн. E_ndS = E _Sосн dS = = E 2S = /по т-ме Гаусса/ = (1/₀)^.^.S.

Е = /(2₀).

12. Поле двух разноименно заряженных плоскостей:

Е_=0

Е_=0

Е_=/₀

Е-

Е-

Е-

Е₊

Е₊

Е₊

+

-

Часть векторов Е одинакова по величине, то E_ = /₀.

1 3. Поле бесконечного заряженного цилиндра:

Б

R



l

E=0

есконечный цилиндр R с линейной плотностью заряда  (заряд на единицу длинны).

r

q – заряд на цилиндре.

q = l^. или q = ^.2R^.l

E = /(2₀r)

E

E _r

~1/r

r

_R

Б

R



l

E=0

r

есконечный заряженный цилиндр с объемной плотностью .

n

E

Ф_Е = E _Sб.п.dS = E2rl

q = V_Ц = R²l = 1/₀ R²l

E = (R²)/(₀2r).

r

l

R

q = r²l

Ф = E2rl = (1/₀) r²l

E = (r)/(2₀)

Если есть ₁ и ₂, то _0*₁₍₂₎

E

1

2

3

r

1 - ₁ > ₂;

2 - ₁ = ₂;

3 - ₁ < ₂.

14. Поле бесконечного заряженного шара (сферы):

Заряд с поверхностной плотностью  распределен по сфере радиуса R:



R

r

Е

|E| - const;

Ф_Е = _SoE_ndS = E odS = E 4r² = = (1/₀) 4R²

q =  4R²

E_наружн = (R²)/(₀r²) = q/(4₀r²)

E _внутр = 0

E

E_r

~1/r

r

R

Заряд с поверхностной плотностью  распределен по шару радиуса R:

Ф = Е 4r² = (/₀) 4/3 R³

q_наружн = V =  4/3 R³

E_наружн = (R²)/(₀r²) = q/(4₀r²)

E _внутр = (r)/(3₀₁)

E

1

E_r

2

r

_R

Шар с (r):

E_наружн = q/(4₀₂r²)

dq = (r’) 4r’ dr’

r’ – толщина внутреннего слоя;

q = ₀^R(r’) 4r’² dr’

E_наружн = (4 ₀^R(r’) 4r’² dr’)/ /(4₀₂r²); _r

E_внутр = (4 ₀(r’) 4r’² dr’)/ /(4₀₁r²);

Шар с полостью:

E_наружн = (4 _R1^R2(r’) 4r’² dr’)/ /(4₀₂r²); _r

E_внутр = (4 _R1(r’) 4r’² dr’)/ /(4₀₁r²).

15. Потенциал ():

] поле, создаваемое неподвижным точечным зарядом q. ] точечный заряд q’, на который действует сила:

F = 1/(4₀)_*(qq’)/r²

Работа, совершаемая над зарядом q’ при перемещении его из одной точки в другую, не зависит от пути

A₁₂ = ₁² F(r)dr = (qq’)/(4₀)_r1^r2dr/r².

Иначе ее можно представить, как убыль потенциальной энергии:

A₁₂ = W_p1 – W_p2.

При сопоставлении формул получаем, что W_p = 1/(4₀)_*(qq’)/r.

Для исследования поля воспользуемся двумя пробными зарядами q_ПР’ и q_ПР’’. Очевидно, что в одной и той же точке заряды будут обладать разной энергией W_p’ и W_p’’, но соотношение W_p/q_ПР будет одинаковым.

 = W_p/q_ПР = 1/(4₀)_*q/r называется потенциалом поля в данной точке и, как напряженность, используется для описания электрического поля.

] поле, создаваемое системой из N точечных зарядов. Работа, совершаемая силами этого поля над зарядом q’, будет равна алгебраической сумме работ, совершаемых каждым из q_N над q’ в отдельности:

A = _{i = 1}^NAi, где Ai = = 1/(4₀)_*(q_iq’/r_i1 - q_iq’/r_i2), где r_i1 - расстояние от заряда q_i до начального положения заряда q’, а r_i2 – расстояние от q_i до конечного положения заряда q’.

Следовательно Wp заряда q’ в поле системы зарядов равна:

Wp = 1/(4₀)_{*i = 1}^N(q_iq’)/r_i , то

 = 1/(4₀)_{*i = 1}^N(qi/r_i), следовательно потенциал поля, создаваемого системой зарядов, равен алгебраической сумме потенциалов, создаваемых каждым из зарядов в отдельности.

Заряд q, находящийся в точке с потенциалом  обладает энергией

Wp = q, то работа сил поля

A₁₂ = Wp₁ –Wp₂ = q(₁ - ₂).

Если заряд из точки с потенциалом  удалять в бесконечность, то A = q, то  численно равен работе, которую совершают силы поля над единичным положительным зарядом при удалении его из данной точки на бесконечность.

16. Связь между напряженностью и потенциалом:

Электрическое поле можно описать с помощью векторной величины Е и скалярной величины .

Для заряженной величины, находящейся в электрическом поле:

F = qE, Wp = q.

Можно написать, что

E = - /x - /y - /z, т.е. при проекции на оси:

E_x = -/x, E_y = -/y, E_Z = -/z, аналогично проекция вектора Е на произвольное направление l: Е_l = = -/l, т.е. скорости убывания потенциала при перемещении вдоль направления l.

 = 1/(4₀)_*q/r = /в трехмерном пространстве/ = 1/(4₀)_*q/(x²+y²+z²).

Частные производные этих функций равны:

/x = -q/(4₀)_*x/r³;

/y = -q/(4₀)_*y/r³;

/z = -q/(4₀)_*z/r³.

При подстановке получаем:

E = 1/(4₀)_*q/r².

Работа, по перемещению q из точки 1 в точку 2, может быть вычислена, как A₁₂ = ₁²qEdl или A₁₂ = q(1 - 2), приравняв их, получим 1 - 2 = ₁²Edl. При обходе по замкнутому контуру 1 = 2, то получим: o Edl = 0.

17. Эквипотенциальные поверхности:

Воображаемая поверхность, все точки которой имеют одинаковый потенциал, называется эквипотенциальной. Ее уравнение имеет вид (x, y, z) = const.

При перемещении по эквипотенциальной поверхности на отрезок dl, d = 0. Следовательно, касательная к поверхности, составляющая вектор Е, равна 0, т.е. вектор Е направлен по нормали к эквипотенциальной поверхности. Т.е. линии напряженности в каждой точке перпендикулярны к эквипотенциальным поверхностям.

Эквипотенциальную поверхность можно провести через любую точку поля и их можно построить бесконечное множество. Их проводят таким образом, чтобы разность потенциалов для двух соседних поверхностей была одинаковой ( = const). Тогда по густоте эквипотенциальных поверхностей можно судить о величине напряженности поля.

В соответствии с характером зависимости Е от r, эквипотенциальные поверхности при приближении к заряду становятся гуще. Для однородного поля эквипотенциальные поверхности представляют собой систему равноотстоящих друг от друга плоскостей, перпендикулярных к направлению поля.

18. Проводники в электрическом поле:

Проводники состоят из связанных зарядов равномерно распределенных по объему проводника. Электроны проводника находятся в тепловом хаотическом движении.

]  поле с проводником:

₍₎ 1

- + Е

- +

- + Е

- +() 2

- + Е

- +

-- + Е

- +

+ Е

- +

Напряженность внутри проводника равна 0, т.к. внутри проводника складывается некая суперпозиция напряженностей.

Если 1 - 2 = 0, то поверхность проводника эквипотенциальна, а линии напряженности всегда перпендикулярны эквипотенциальной поверхности.

Возьмем произвольную точку плоскости проводника.





Возьмем касательную к элементу поверхности .

d/d = -E, (где d/d = 0) вектор Е перпендикулярен плоскости в данной точке.

q

Е = 0

E ~ 

( - поверхностная плотность)

Заряд распределен по поверхности, Е = 0, распределение неравномерно, максимальную плотность заряд имеет в местах максимальной кривизны.

Обозначим «степень кривизны» за С, то С = 1/R.

E ~  ~ C ~ 1/R.

19. Электроемкость, конденсаторы:

Электроемкость – коэффициент пропорциональности между зарядом проводника и потенциалом, который заряд приобретает. Зависит от формы проводника и окружающих его тел.

С = q/.

Электроемкости уединенных проводников (на него ни что не влияет):

С фера: q

 = 1/(4₀)_*q/R

C = q/ = 4₀R

R 

Если поместить около сферы другой проводник, то С = q/.

-q

_R

q

E₊

X E-

+q

l

_R

 - разность потенциалов, возникшая между проводниками.

Если l>>R, то заряд по поверхности каждой сферы распределяется равномерно.

 = 1 - 2

1 - 2 = _R^l-R Edx

E = E₊ + E- = k_*q/x² + k_*q/(l-x)²

Конденсаторы:

С = 4₀R

Плоский:

q+ q- C = q/(1 - 2) =

= (q₀S)/(qd) =

= ₀S/d

1 - 2 = E_*d =

= d/ = (qd)/(₀S)

1 2

Сферический:

R1

R2

+q

-q

1 - 2 = _R1^R2E₊dr = = q/(4₀) _{* R1}^R2 (1/r²)dr = = q/(4₀)_*(1/R₁ – 1/R₂).

C = (4₀R₁R₂)/(R₂-R₁).

20. Электрическое поле в диэлектриках:

При помещении в поле диэлектрика в поле происходит изменение. Сам диэлектрик реагирует на поле иначе, чем проводник.

Заряды, входящие в состав молекул диэлектрика, называются связанными. Они не могут покидать пределы молекулы, в которую они входят.

Заряды не входящие как в состав молекул диэлектрика, так и в сам диэлектрик называются сторонними.

Поле в диэлектрике является суперпозицией полей сторонних и связанных зарядов и называется микроскопическим (или истинным).

Е_МИКРО = Е_СТОР + Е_СВЯЗ

Микроскопическое поле в пределах диэлектрика непостоянно, поэтому

Е₀ = <Е_МИКРО> = <Е_СТОР> + <Е_СВЯЗ>

<Е_СВЯЗ> = E’

Макроскопическое поле:

E = E₀ + E’

При отсутствии диэлектрика макроскопическое поле равно

Е = Е₀ = <Е_СТОР>.

Если сторонние заряды неподвижны, то поле Е_МИКРО обладает теми же свойствами, как электростатическое поле в вакууме.

П ри определении суммарного действия всех электронов имеет значение и центр масс отрицательных зарядов.



q- l q+

 

1. r+

_{ }

r- = (_{i = 1}^Nr_iq_i-)/( _{i = 1}^Nq_i-)

_

r+ = (_{j = 1}^Nr_jq_j+)/( _{j = 1}^Nq_j+)

Полярные и неполярные молекулы во внешнем поле приводят развороту диполя в направлении поля. Неполярные молекулы приобретают электрический момент. Они поляризуются, от чего возникает дипольный момент, направленный вдоль внешнего поля. Молекула ведет себя как упругий диполь.

21. Диполь в однородном и неоднородном электрических полях:

В однородном поле:





E

l +q

_Fk

_

M 

_{F k} ^(X)-q

M = Fk_*l_*sin = q_*E_*l_*sin = = P_*E_*sin, где P – дипольный момент.

  

M = [P x E]



M – направлен «от нас»

dA = Md = P_*E_*sin d

dA = dW _{ }

W = -P E cos = -(P E)*

* - cкалярное произведение.

В неоднородном поле:

 

X

+q F+ Е

l

-q _X



F-

F = (F+) – (F-) = q_*E = = q_*E/X_*l_*cos = P_*E/X_*cos = = /кроме вращающего момента на диполь действует сила, зависящая от угла , если угол острый, то диполь «втягивается» внутрь поля/ = = (PEcos)/X = -W/X.

22. Поляризация диэлектриков:



Р – параметр, описывающий состояние диэлектрика в электрическом поле.

 

P = (_{i = 1}^NPi)/V

(-+)(-+) (-+)(-+)

(-+)(-+) (-+)(-+)

(-+)(-+) (-+)(-+)

(-+)(-+) (-+)(-+)

(-+)(-+) (-+)(-+) 

(-+)(-+) (-+)(-+) Е

(-+)(-+) (-+)(-+)

(-+)(-+) (-+)(-+)

( -+)(-+) (-+)(-+)

На поверхности возникают связанные заряды с плотностью _СВЯЗ.

 

P = H₀E

H – коэффициент диэлектрической восприимчивости;

Е – результирующий вектор.

E

S l

 n

P

n

d

- +

P_*V – суммарный дипольный момент молекул внутри цилиндра.

V = S_*l_*cos

P_*V = P_*S_*l_*cos = q_*l

q = _СВЯЗ*S

P_*S_*cos_*l = _СВЯЗ*S_*l

P_*cos = _СВЯЗ

_СВЯЗ = H₀E, где Е – результирующее поле в диэлектрике.

  

Е = Е₀ + Е’

Внешнее поле должно ослабляться:

    

Д = ₀Е + Р = ₀E + H₀E =

 

= (1 + H)₀E = ₀E.

23. Поле внутри плоской диэлектрической пластины:

+₀ -₀

Е₀

- +

- +

- +

₀ – свободные перемещающиеся заряды, создающие Е₀ (вектор);

Число силовых линий уменьшается во столько раз, какое значение имеет .

Е₀ = ₀/₀

Е = Е₀ – Е’ = ₀/₀ - _СВЯЗ/₀ = = 1/₀(₀ - _СВЯЗ);