Разработка и идентификация упрощенной математической модели процессов в расстойном шкафу

Принятые упрощения и допущения

В формулах конвекционной теплопередачи присутствуют коэффициенты теплоотдачи a. Как было показано ранее, коэффициенты теплоотдачи зависят от многих факторов: от температур поверхности и омывающей ее среды, скорости движения последней, ее теплопроводности, вязкости, плотности и теплоемкости, от конфогурации и состояния поверхности и омывающей ее среды. В связи с невозможностью математического описания данных коэффициентов, для их нахождения пользуются экспериментальными данными, широко используя теорию подобия, позволяющую в известной степени обобщить полученные опытные результаты. Но используемые для нахождения коэффициентов теплоотдачи критериальные уравнения содержат критерии подобия (Nu, Pe, Re, Pr, Gr), которые зависят от многих параметров поверхностей и омывающей их среды, некоторые из которых зависят от температуры среды и от разности между ней и температур омываемых ею поверхностей. Данные зависимости не описаны математически. Конденсация влаги на поверхности тестовых заготовок в процессе их расстойки еще больше затрудняет точное нахождение коэффициента теплоотдачи их поверхности.

Конденсация влаги на поверхности тестовых заготовок, а также на внутренней поверхности стенок камеры расстойного шкафа приводит к уменьшению абсолютной и относительной влажности в камере расстойного шкафа. Для поддержания заданной относительной влажности воздуха применяется испарение воды, контролируемое проектируемой системой управления. Но вместе с паром в камеру расстойного шкафа попадает дополнительная энергия. Конденсацию влаги на внутренней поверхности стенок камеры расстойного шкафа можно свести к минимуму путем их лучшей теплоизоляции. Так как найти точное количество конденсируемой на поверхности тестовых заготовок влаги не представляется возможным, то точное количество испаряемой воды и зависящее от него количество вносимой с паром энергии не поддается математическому описанию. Следует учесть, что конденсация влаги на поверхности тестовых заготовок происходит только в период. пока температура поверхности тестовых заготовок не достигнет температуры точки росы для данных параметров среды, то есть в первой половине операции расстойки. Далее конденсация прекращается, и необходимость в испарении воды для увлажнения воздуха в расстойном шкафу отпадает.

Также не является математически описуемым и коэффициент теплоемкости влажного воздуха (с_возд), зависящий от его температуры и влажности.

В связи с этим нами были приняты следующие упрощения и допущения:

• Коэффициенты теплоотдачи расчитываются по экспериментальным критериальным уравнениям. Учитывая, что температура воздуха в расстойном шкафу в установившемся режиме работы поддерживается системой управления в установленных пределах относительно заданной температуры (Т_зад), то параметры воздуха для нахождения критериев подобия берутся при неизменной температуре, равной заданой температуре (Т_зад) в камере расстойного шкафа.

• Коэффициент теплоемкости влажного воздуха расчитывается для заданных значений его температуры и относительной влажности.

• Энергия, вносимая с паром, не учитывается. Это возможно блягодаря допущению о полном отсутствии конденсации в установившемся режиме работы расстойного шкафа.

• Камера расстойного шкафа считается абсолютно гермитичной.

• Давление воздуха в камере расстойного шкафа постоянное (p=const).

• Рассматривается нагрев и охлаждение термически тонких тел ( a << l ¤ d ).

• Система поддержания влажности не рассматривается.

Упрощенная математическая модель поодержания температуры в расстойном шкафу

Уравнение теплового баланса расстойного шкафа:

Q_возд = Q_тэн - Q_теста - Q_тел - Q_ст ,

где Q_возд - теплота затрачиваемая на прогрев воздуха;

Q_тэн - тепловой поток с поверхности ТЭНов;

Q_теста - количество теплоты, идущее на прогрев теста;

Q_тел - количество теплоты, идущее на прогрев тележек;

Q_ст - потеря тепла через стенки.

Теплота, затрачиваемая на прогрев воздуха, может быть описана как:

Q_возд = c_возд ´ m_возд ´ (dT_возд / dt),

откуда:

,

где dT_возд/dt - скорость изменения температуры воздуха.

c_возд - теплоемкость воздуха:

c_возд = (с_в + c_п ´ d_в/1000),

где с_в - теплоемкость сухого воздуха, при температуре 40°С :

с_в = 1005 Дж/(кг´гр);

с_п - теплоемкость перегретого пара:

с_п = 2000 Дж/(кг´гр);

d_п - влагосодержание воздуха, при температуре 40°С и птносительной влажности 75% оно равно:

d_п = 36,9 г/кг;

Таким образом:

c_возд= (1005+2000´36,9/1000) =1079 Дж/(кг´гр);

m_возд - масса воздуха в расстойном шкафу;

m_возд = r_возд ´ V_возд ,

где r_возд - плотность влажного воздуха в камере расстойного шкафа, при температуре 40°С и относительной влажности 75%:

r_возд = 1,11 кг/м³;

V_возд - объем воздуха в камере расстойного шкафа:

V_возд = 2 м³; (Лен)

Таким образом:

m_возд = 1,11 ´ 2 = 2,22 кг; (Лен)

Тепловой поток с поверхности ТЭНов описывается с помощью уравнения конвективной теплопередачи:

Q_тэн = К_тэн ´ (Т_тэн - Т_возд),

где Т_тэн - температура ТЭНов;

Т_возд - температура циркулирующего воздуха.

К_тэн - коэффициент, расчитываемый по формуле:

К_тэн = a_тэн ´ S_тэн ,

где S_тэн - площадь поверхности ТЭНов:

S_тэн = l_тэн ´ p ´ d_тэн ,

где l_тэн - длина ТЭНов;

d_тэн - диаметр ТЭНов,

Откуда:

S_тэн = 2 ´ p ´ 0,006 = 0,0377 м²;

a_тэн - коэффициент теплоотдачи ТЭНов. Данный коэффициент расчитывается по критериальному уравнению:

Nu = 0,238 ´ Re_f^0,6 ,

где Re_f - число Рейнольдса, вычисляемое:

Re_f = u ´ d_тэн / n,

где u - скорость потока воздуха:

u = 5 м/c

d_тэн - диаметр ТЭНов - их определяющий размер:

d_тэн = 0,006 м;

n - коэффициент кинематической вязкости, для воздуха при температуре 40°С :

n = 16,96 ´ 10^-6 м²/с.

Таким образом:

Re_f = 5 ´ 0,006 / 16,96´10^-6 = 1769,

Следовательно:

Nu = 0,238 ´ 1769^0,6 = 21,15 ,

Откуда:

a_тэн = Nu ´ l / d_тэн ,

где l - коэффециент теплопроводности воздуха, при температуре 40°С:

l = 2,76´10^-2 Вт/(м´гр),

Значит:

a_тэн = 21,15 ´ 2,76´10^-2 / 0,006 = 97 Вт/(м² ´ гр).

Таким образом:

К_тэн = 97 ´ 0,0377 = 3,6568 Вт/гр

и

Q_тэн = 3,6568 ´ (Т_тэн - Т_возд).

При этом, излишки энергии ТЭНов идут на изменение их температуры:

,

где dT/dt - скорость изменения температуры ТЭНов;

Р_тэн - мощность ТЭНов.

P_тэн = 2000 Вт

Обоснование выбора такой мощности ТЭНов приведено в разделе “Расчет параметров СУ”

Q_тэн - тепловой поток с поверхности ТЭНов;

c_тэн - теплоемкость материала ТЭНов, для ТЭНов изготовленных из кантала А-1:

c_тэн = 470 Дж/(кг´гр);

m_тэн - масса ТЭНов:

m_тэн = r_тэн ´ l_тэн ´ p ´ d_тэн² / 4 ,

где l_тэн = 2 м - длина ТЭНов;

d_тэн = 0,006 м - диаметр ТЭНов,

r_тэн = 7100 кг/м³;

Откуда:

m_тэн = 7100 ´ 2 ´ p ´ (0,006)² / 4 = 0,4 кг,

В связи с тем, что в процессе расстойки необходимо поддерживать заданную температуру, ТЭНы включены только пока температура воздуха в камере расстойного шкафа меньше заданной. Как только температура воздуха превышает заданный предел на величину допустимого отклонения, система управления подает сигнал на отключение ТЭНов. При этом Р_тэн = 0. При падении температуры за нижний предел система управления подает сигнал на включение ТЭНов. При этом Р_тэн = Р_{тэн зад} , где Р_{тэн зад} - номинальная мощность ТЭНов.

Тепловой поток, получаемый тестовыми заготовками и используемый для их прогрева, может быть описан формулой конвективного теплообмена:

Q_теста = К_теста ´ (Т_возд - Т_теста),

где К_теста = a_теста ´ S_теста ,

где S_теста - площадь поверхности тестовых заготовок:

S_теста = 2´10´0,45´0,66 = 6 м²;

a_теста - коэффициент теплоотдачи поверхности тестовых заготовок, расчитывается по экспериментальной критериальной формуле:

Nu = 0,216 ´ Re^0,8,

где Re_f - число Рейнольдса, вычисляемое по формуле:

Re = u ´ l_тест / n,

где u - скорость потока воздуха:

u = 0,4 м/c

l_тест - определяющий размер тестовых заготовок:

l_тест = 0,25 м;

n - коэффициент кинематической вязкости, для воздуха при температуре 40°С :

n = 16,96 ´ 10^-6 м²/с.

Таким образом:

Re = 0,4 ´ 0,25 / 16,96´10^-6 = 5900,

Следовательно:

Nu = 0,216 ´ 5900^0,8 = 224,46 ,

Откуда:

a_теста = Nu ´ l / l_тест ,

где l - коэффециент теплопроводности воздуха, при температуре 40°С:

l = 2,76´10^-2 Вт/(м´гр),

Значит:

a_теста = 224,46 ´ 2,76´10^-2 / 0,25 = 24,8 Вт/(м² ´ гр).

Таким образом:

К_теста = 24,8 ´ 6 = 148,8 Вт/гр

и

Q_теста = 148,8 ´ (Т_возд - Т_теста),

где Т_теста - температура тестовых заготовок, скрость изменения которой, с учетом того, что при расстойке в тестовых заготовках выделяется энергия Q_{теста выд}, составляет:

,

где c_теста - теплоемкость тестовых заготовок:

c_теста = 3000 Дж/(кг´гр)

m_теста - масса тестовых заготовок:

m_теста = n_{тест заг} ´ m_{тест заг} ,

где n_{тест заг} =120 шт. - число тестовых заготовок;

m_{тест заг} = 0,46 кг - масса тестовой заготовки;

Откуда:

m_теста = 120 ´ 0,46 = 55,2 кг,

Аналогично, тепловой поток, получаемый тележками и используемый для их прогрева, также может быть описан формулой конвективного теплообмена:

Q_тел = К_тел ´ (Т_возд - Т_тел),

где К_теел = a_тел ´ S_тел ,

где S_тел - площадь поверхности тележек:

S_тел = 2´2´10´0,45´0,66 + 2´4´4´0,02´1,8 = 7 м²;

a_тел - коэффициент теплоотдачи поверхности тележек, расчитывается по экспериментальной критериальной формуле:

Nu = 0,064 ´ Re^0,8,

где Re - число Рейнольдса, вычисляемое по формуле:

Re = u ´ l_тел / n,

где u - скорость потока воздуха:

u = 0,4 м/c

l_тел - определяющий размер тележек:

l_тел = 0,66 м;

n - коэффициент кинематической вязкости, для воздуха при температуре 40°С :

n = 16,96 ´ 10^-6 м²/с.

Таким образом:

Re = 0,4 ´ 0,66 / 16,96´10^-6 = 15566,

Следовательно:

Nu = 0,064 ´ 15566^0,8 = 144,52 ,

Откуда:

a_теста = Nu ´ l / l_тел ,

где l - коэффециент теплопроводности воздуха, при температуре 40°С:

l = 2,76´10^-2 Вт/(м´гр),

Значит:

a_тел = 144,52 ´ 2,76´10^-2 / 0,66 = 6 Вт/(м² ´ гр).

Таким образом:

К_тел = 6 ´ 7 = 42 Вт/гр

и

Q_тел = 42 ´ (Т_возд - Т_тел),

где Т_тел - температура тележек, скрость изменения которой:

,

где c_тел - теплоемкость тележек:

c_тел = 500 Дж/(кг´гр);

m_тел - масса тележек:

m_тел = 50 кг.

Потери теплоты через стенки расстойного шкафа рассчитываются по уравнению теплопередачи:

Q_ст = К_ст ´ (Т_возд - Т_ос),

где Т_ос - температура окружающей среды.

К_ст = k_cт ´ S_ст ,

где S_ст - площадь стенок камеры расстойного шкафа:

S_ст = (1,85´(1,4+0,7)+1,4´0,7)´2 = 9,73 м²;

k_ст - коэффициент теплопередачи через стенки:

,

где d_ст - толщина стенок расстойного шкафа:

d_ст = 0,001 м;

d_утепл - толщина утеплителя:

d_утепл = 0,03 м;

l_ст - коэффициент теплопроводности стальных стенок расстойного шкафа:

l_ст = 45 Вт/(м´гр);

l_утепл - коэффициент теплопроводности утеплителя:

l_утепл = 0,1 Вт/(м´гр);

a₁ - общий коэффициент теплоотдачи к внутренней поверхности стенок расстойного шкафа;

a₂ - общий коэффициент теплоотдачи от наружной поверхности стенок расстойного шкафа.

Общие коэффициенты теплоотдачи методически оцениваются одинаково - как сумма коэффициентов теплоотдачи конвекцией (a_кон) и излучением (a_изл),

a_общ = a_кон + a_изл ,

где первая составляющая:

a_кон = Nu ´ l / l_ст ,

где l - коэффециент теплопроводности воздуха;

l_ст - определяющий размер стенок камеры расстойного шкафа - их высота:

l_ст = 1,85 м.

вторая составляющая: