124689 (Устойчивость сжатых стержней. Прочность при циклически изменяющихся нагрузках (напряжениях))

БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДРАСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИНФОРМАТИКИ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ

Кафедра инженерной графики

РЕФЕРАТ

На тему:

«Устойчивость сжатых стержней. Прочность при циклически изменяющихся нагрузках (напряжениях)»

МИНСК, 2008

Устойчивость равновесия сжатого стержня

В нагруженных телах при любом деформированном состоянии имеет место равновесие между внешними и внутренними силами. Деформированное состояние характеризуется формой тела, формой равновесия. Под устойчивостью понимают свойство тела сохранять свою первоначальную форму равновесия.

Рассмотрим формы равновесия при сжатии стержней. При сжатии короткого жесткого стержня (рис. 1, а) его рассчитывают на прочность и жесткость по формулам для осевого сжатия (подразд. 5.4). При сжатии стержня, имеющего достаточно большую длину по сравнению с поперечными размерами, возможно следующее. Пока сжимающая сила F мала и ось стержня (рис. 1, б, г) строго прямолинейна, стержень находится в состоянии устойчивого равновесия. При величине сжимающей силы, равной некоторому критическому значению F_cr ось стержня искривляется (рис. 1, в, д). В этом случае начальная (расчетная) прямолинейная форма равновесия становится неустойчивой. Критической силой F_cr называется наименьшее значение сжимающей силы, при котором ось сжатого стержня теряет прямолинейность.

По определению Эйлера, критической силой называется сжимающая сила, требуемая для самого малого наклонения колонны.

а

б

в

г

д

Рис. 1

Понятие устойчивости не нужно смешивать с понятием прочности, каждое из них имеет самостоятельное значение. Например, сжатый стержень при действии силы, большей критической, изогнется, но деформации его будут упругими и он после снятия нагрузки восстановит свою первоначальную форму. Потеря устойчивости в этом случае не связана с потерей прочности; но в иных случаях потеря устойчивости, изменяя формы элемента, может привести к разрушению или невозможности элемента выполнять свои функции.

При расчете на устойчивость сжатых стержней, прежде всего, нужно уметь определять величину критической силы F_cr. Критическую силу рассматривают как предельную нагрузку. Допускаемая нагрузка должна быть, естественно, меньше критической

F_adm = F_cr/n_S, (1)

где n_S – коэффициент запаса устойчивости, величину которого принимают большей коэффициента запаса прочности п, так как учитывают дополнительные неблагоприятные факторы: начальную непрямолинейность оси стержня, возможный эксцентриситет действия сжимающей нагрузки и др. Для стальных стержней принимают n_S = 1,8 … 3; для хрупких материалов – до 5,5.

Потеря устойчивости была причиной многих аварий и катастроф; она возможна при кручении, изгибе и сложных деформациях.

Определение критической силы, задача Эйлера

Задача по определению критической силы F_cr впервые была решена Л.Эйлером в 1744 г. Рассмотрим сжатый стержень при условии, что стержень (рис. 2, а) изогнулся, т.е. сжимающая сила равна критической. Для изучения изгиба используем дифференциальное уравнение изогнутой оси стержня

d²y/dx² = М_и/EI. (2)

а

б

Рис. 2

Изгиб происходит в плоскости минимальной жесткости, т.е. поперечные сечения будут поворачиваться вокруг той оси, относительно которой момент инерции I имеет минимальное значение. Изгибающий момент по абсолютной величине в любом сечении равен

М_и = F_cr·y, (3)

где у – прогиб поперечного сечения. Так как прогиб у и вторая производная от него d²y/dx² при любом направлении оси у всегда имеют противоположные знаки, уравнение (5.92) выразим как

d²y/dx² = (–F_cr·y)/(EI). (4)

Обозначая

k² = F_cr/(EI), (5)

представим уравнение (5.94) в виде y'' + k²y = 0. Это линейное дифференциальное уравнение второго порядка. Его общее решение имеет вид

y = C sin kx + D cos kx. (6)

Для определения постоянных интегрирования С и D используем известные граничные условия, а именно, условия крепления на концах стержня: при х = 0 и при х = ℓ прогиб отсутствует, т.е. у = 0.

Подставляя в уравнение (6) данные первого условия, определим, что D = 0, а стержень изгибается по синусоиде у = C sin kx. Из второго граничного условия найдем С sin kℓ = 0. Полученное соотношение справедливо, если С = 0 или sin kℓ = 0. Если считать С = 0, то при D = 0 прогиб (5.96) во всех поперечных сечениях по длине стержня при любых значениях х отсутствует, что противоречит исходной предпосылке. Выражение sin kℓ = 0 справедливо, когда kℓ = nπ, где n – произвольное целое число (n = 0, 1, 2, …). Подставляя значение k = (πn)/ℓ в выражение (5), получим что

F_cr = k²EI = (π²n²EI)/ℓ². (7)

Чтобы стержень сохранял криволинейную форму, необходимо, чтобы сила была отлична от нуля, т.е. n ≠ 0. С практической точки зрения интерес представляет наименьшее значение критической силы, при действии которой происходит искривление оси стержня, потеря устойчивости. При n = 1 получаем наименьшее значение критической силы, равное

F_cr = (π²EI)/ℓ². (8)

Используя особенности упругой линии, можно распространить полученное решение на другие случаи закрепления стержня. Так, если стержень на одном конце жестко защемлен, а на другом – свободен (рис. 2, б), то упругую линию стержня легко привести путем зеркального отображения относительно заделки к упругой линии шарнирно закрепленного стержня (рис. 2, а). Очевидно, критическая сила стержня с таким закреплением длиной ℓ будет равна критической силе шарнирно закрепленного стержня длиной 2ℓ.

Общее выражение критической силы для сжатого стержня в обобщенном виде с учетом его типа крепления примет вид

F_cr = (π²EI)/(υℓ)² (9)

где υ – коэффициент приведения длины стержня (коэффициент Ясинского), т.е. число, показывающее, во сколько раз нужно изменить длину шарнирно опертого с обоих концов стержня, чтобы критическая сила его была равна критической силе стержня с конкретными условиями закрепления. Чаще всего концы сжимаемых стержней закрепляют одним из четырех способов, показанных на рис. 3. Коэффициенты приведения длины указаны на схемах крепления. Наиболее чувствительным к потере устойчивости является крепление, представленное на рис 3, а и наименее чувствительным – на рис. 3, г. Отметим, что применение формулы (5.99) правомерно только при условии, что деформация сжатого стержня в момент потери начальной формы равновесия является упругой.

Рис. 3

Прочность при циклически изменяющихся нагрузках (напряжениях). Понятие об усталости материалов

Работа механизмов характеризуется определенностью движений и нагружений звеньев, повторяемостью через определенные промежутки времени (периоды) этих движений. Значительная часть элементов механизмов (валы, зубья зубчатых колес и т.д.) испытывает в процессе эксплуатации периодические изменяющиеся по величине и знаку механические нагрузки. Замечено, что при таком нагружении разрушение деталей происходит при напряжениях, значительно меньших предельных напряжений (предела текучести) при статическом нагружении. Характер разрушения материалов при переменных повторяющихся нагрузках существенно отличается от вида разрушения при статическом нагружении. Разрушение начинается с образования на поверхности элементов микротрещин, которые развиваются вглубь материала, уменьшая площадь поперечного сечения детали. Разрушение происходит внезапно при достаточном ослаблении сечения и на поверхности разрушения видны две характерные зоны: зона постепенного развития трещины и зона внезапного разрушения. Процесс постепенного накопления повреждений под действием повторяющихся знакопеременных нагрузок, приводящий к внешне непроявляющемуся изменению свойств (электропроводимость, микротвердость и др.) материала, к зарождению и развитию трещин, и, наконец, к разрушению элемента, называют усталостью. Усталостное разрушение – длительный процесс, связанный с многократным нагружением. Свойство материала (изделия) сопротивляться усталости называют выносливостью, или усталостной прочностью.

Совокупность последовательных значений напряжений (нагрузок) за один период называют циклом напряжений (нагрузок). Замечено, что сопротивление усталости зависит от значений наибольшего и наименьшего напряжений цикла, их отношения и практически не зависит от закона изменения (синусоидальный, треугольный, трапецеидальный и др.) напряжений внутри цикла. Будем считать, что напряжения меняются во времени по закону, близкому к синусоиде (рис. 4). Цикл напряжений характеризуется следующими величинами: максимальным σ_max и минимальным σ_min напряжениями, т.е. наибольшим и наименьшим по алгебраическому значению (с учетом знаков) напряжениями; средним напряжением σ_m, равным алгебраической полусумме σ_max и σ_min (σ_m = (σ_max + σ_min)/2); амплитудой цикла напряжений σ_a, равной полуразности σ_max и σ_min (σ_a = (σ_max – σ_min)/2); коэффициентом асимметрии цикла R, равным отношению минимального напряжения к максимальному, т.е. R = σ_min/ σ_max. На рис. 4, а показан асимметричный цикл напряжений, когда |σ_max| ≠ |σ_min|. Наиболее часто на практике встречаются симметричный и отнулевой циклы напряжений. Для симметричного цикла имеем σ_max = σ; σ_min = –σ; σ_a = σ; σ_m = 0; R = –1; а для отнулевого (пульсационного): σ_max = σ; σ_min = 0; σ_a = σ_m = σ/2; R = 0, где σ – максимальное по величине напряжение цикла. Постоянное статическое напряжение (рис. 4, г) можно рассматривать как частный случай переменного с параметрами σ_max = σ_min = σ_m = σ; σ_a = 0; R = + 1. Наиболее опасны симметричные циклы нагружения.

Все переменные циклы напряжений, кроме симметричного, называют асимметричными. Циклы с одинаковыми коэффициентами асимметрии R называют подобными. При действии переменных касательных напряжений все приведенные выше характеристики и соотношения остаются в силе с заменой σ на τ.

в

а

б

г

Рис. 4

Характеристики усталостной прочности материалов. Предел выносливости

Основным параметром, характеризующим усталостную прочность материалов, т.е. прочность при повторяемых знакопеременных нагрузках, является предел выносливости σ_R – то максимальное по абсолютному значению напряжение цикла, при котором еще не происходит усталостное разрушение материала до базового числа N_σ циклов нагружения. За базовое, т.е. наибольшее число циклов из задаваемых при испытаниях принимают для черных металлов 10⁷ циклов нагружения, а для цветных – 10⁸. Индекс в обозначении предела выносливости соответствует коэффициенту асимметрии цикла напряжений при испытаниях. Так, для симметричного цикла предел выносливости обозначается σ_–1, а для отнулевого – σ₀. Предел выносливости материала определяется путем испытания образцов на усталость на испытательных машинах. Наиболее распространенным является испытание образцов при симметричном цикле напряжений. Схема установки для испытания образцов на изгиб показана на рис. 5. Образец 1 вместе с зажимом 2 вращается с постоянной угловой скоростью. На конце образца расположен подшипник 3, нагруженный силой F постоянного направления. Образец подвергается деформации изгиба с симметричным циклом. Максимальные напряжения возникают на поверхности образца в наиболее опасном сечении I – I и определяются как σ = М_и/W, где М_и = F·ℓ – изгибающий момент в сечении; W = 0,1d³ – момент сопротивления относительно нейтральной оси поперечного сечения образца, круга диаметром d. В представленном положении в точке А действуют растягивающие напряжения, так как образец изгибается выпуклостью вверх. После поворота образца на 180° в точке А будут действовать такие же по величине напряжения сжатия, т.е. –σ. При переходе через нейтральную ось напряжение в точке А будет равно нулю.

Рис. 5

Рис. 6

Путем испытаний до усталостного разрушения одинаковых образцов при разных значениях напряжений цикла строят график, характеризующий зависимость между максимальными напряжениями σ и числом циклов до разрушения (циклической долговечностью N). Эта зависимость (рис. 6) называется кривой усталости или кривой Веллера, в честь немецкого ученого, впервые ее построившую. Для построения кривой усталости в координатах σ_max – N требуется не менее 10 одинаковых образцов, к которым предъявляются жесткие требования по точности размеров, шероховатости поверхности. Первый из образцов нагружают силой F так, чтобы максимальное напряжение цикла σ₁ было несколько меньше предела прочности материала (σ₁ < σ_u) и испытывают до разрушения, отмечая (рис. 6) точку А с координатами σ₁ и числом циклов до разрушения N₁.