Физика_3 (Шпаргалки)

1. Волновые свойства частиц: Гипотеза де-Бройля. Волновая функция, её свойства.

Изучение оптич.явлений показало, что в природе света свойствен дуализм. В одних явлениях свет ведет себя как электромагнитная волна (интерференция, дифракция), в других проявляются его корпускулярные свойства (фотоэффект).

В 1924г. Луи де Бройль высказал гипотезу о том, что дуализм не является особенностью св-в света, он предположил, что поток е , движущийся с постоянной по величине и направлению скоростью, проявляет свойства волны.

При этом связь между корпускулярной природой микрочастиц и волновой природой такая же как для света: ν, λ – волновые характеристики света.

Для микрочастиц: р; Е

_ λ = h /(mV) – длинна волны де Бройля

ν = E/h – частота волны.

Гипотеза де Бройля была подтверждена экспериментально. Дэвиссон и Джемпер обнаружили волновые свойства у потока е, изучая их отражение от монокристалла никеля. Томпсон и Тартаковский получили дифракционные картины изучая прохождение е ого пучка через тонкую металлическую фольгу. Штерн и сотрудники получили дифференциальные

2. Соотношение неопределенностей Гейзенберга.

Микрочастицы являются такими объектами, которые одновременно присущи и корпускулярные и волновые свойства.

Поэтому к ним нельзя строго применять понятия и законы классической механики, которая изучает макротела. Например, для макротела состояние определяется заданием координат и проекций импульса для одного и того же момента времени. Для этого тела имеет место траектория. Для микротел из-за существующие у них волновых свойств нельзя определить их состояние одновременными точными значением координат проекций импульса. При определенных условиях задать состояние микротелу таким образом можно только приближенно.

Степень приближения определяется принципом неопределенностей Гейзенберга.

Этот принцип устанавливает связь между неопределенностями значений разумных пар канонически сопряженных величин (например х и pхi, y I py ), при их одновременном изменении.

Соотношение неопределенностей имеют вид:

3. Уравнения Шредингера для стационарных состояний частиц. Статистический смысл и св-ва волновой функции.

Подобно тому как в классической механике состояние макрочастиц описывается с помощью уравнения Ньютона, в квантовой механике состояние микрочастиц определяется уравнением ШРЕДИНГЕРА. Шредингер ввел для описания состояния микрочастицы комплексную функцию координат и времени, которая является решением дифференциального уравнения предложенного им: Эта функция стала называться Пси-функция или волновой функцией: У-ре Шредингера имеет вид ( со временем):

Ћ.^2/(2 * m) * Δψ + vψ = i * Ћ ðψ/ðt (1); где

ψ = ψ (x, y, z, t) – волновая функция,

Δ = ð²/ðх² + ð²/ðy² ð²/ðz² - оператор Лапласа,

m – масса макрочастицы.

i – мнимая единица, v – для стационарного (независимого от времени) силового поля является Энергия потенциальной.

Если силовое поле стационарно, то полная волновая функция ψ распадается на 2а множителя, один из которых зависит только от координат, а другой только от времени. При этом полное ур-е Шредингера распадается на 2а Ур-ния:

3б. Условия 1÷4 налагаемые на волновую функцию, называются стандартными условиями.

Волновая функция, исходя из физического смысла должна удовлетворять условию нормировки:

∫dP = ∫ |ψ|² dV = 1

V V

Волновые функции удовлетворяющие условию нормировки, называются нормированными.

Если область в которой движется частица ограничена, то решение Ур-ния Шредингера, удовлетворяющие стандартным условиям должно иметь место только для определенных дискретных значений полной энергии Е.

Значение энергии Е, при котором Пси-функция удовлетворяет стандартным условиям, называется собственным значением энергии.

В указанном выше случае спектр собственных значений энергии Е будет дискретным. Если область движения частицы неограниченна, то спектр собственных значений Е непрерывный и сплошной.

Волновые функции составляющие собственным значением Е, называются собственными волновыми функциями.

4. Частица в бесконечно глубокой потенциальной яме. Квантовые энергии частицы. Собственные значения волновой функции.

Е, V V = 0; 0<=x<=e; или

V = ∞ → L< x < 0

Уравнение Шредингера:

° d²ψ/(dx²) + (2*m*E* ψ)/Ћ² = 0

0 L x k²=(2*m*E) / Ћ²; ψ″+ k²ψ=0;

x²+k²=0; x_1,2=√-k² = ±ik; i = √-1.

Решение может быть записано в виде:

1) ψ = a* exp.^(ikx) + b* exp.^(-ikx)

2) ψ = c * cos kx + d * sin kx

3) ψ = A * sin (kx + δ)

Исследуем решение в виде: ψ = A * sin (kx + δ)

Эта функция удовлетворяет стандартным условиям. На наложение на не граничные условия, или краевые условия:

1) ψ(0) = 0 и 2) ψ(L) = 0 т.к.не может находиться за стенками ямы (по условию неопределенности) на стенках ямы т.е |ψ(0)|² = |ψ(е)|² = 0.

Из 1) 0 = A * sin δ; sin δ = 0; δ = ±π*n, n = 0,1,2..

Из 2) 0 = A * sin е; sin kе = 0; kL = ±π*n, n = 0,1..

Из физических соображений n ≠ 0, т.к. sin kx = 0 при любых х, что противоречит условию нахождения частицы в яме. Т.о.можем записать условие квантования величины k:

k_nL= ±πn, n = 0,1,2… k_n = ± πn/ L.

5. Модель атома Бора. Спектр излучения атома водорода.

Классическая модель атома водорода называется ядерной или планетарной. Модель:

1) В центре атома находится ядро, линейные размеры которого, малы по сравнению с размерами атома.

2) В ядре сосредоточен весь положительный заряд и практически вся масса атома.

3) Во круг ядра в поле кулоновских сил по круговым орбитам движутся электроны, ∑ “-“ заряд которого = “+” заряду ядра.

4) Заряд ядра выражен через элементарный “+” заряд электрона ( е = 1,6 * 10.^-19 Кл) и число электронов в атоме = порядковому номеру Z элемента в периодической таблице Менделеева.

Газы дают линейчатые спектры испускания. Используя формулу для энергии электрона в водородноподобном атоме E = (-z² RЋ)/n² и правило частот Бора hν = E_m - En получим, что водородоподобная система излучает частоты:

ν = R (1/m²-1/n²) – спектральная частота частота испускания атома водорода, где m –квантовое число верхнего состояния и n - квантовое число нижнего состояния и R – постоянная Ридберга = 3,29*10.^15 с.^-1

6. Квантомеханическая теория атома водорода. Квантование энергии, м момента импульса, и проекции момента импульса электрона в атоме водорода.

Ядерная модель атома не может объяснить ряд экспериментальных факторов (например, стабильность элементов). В 1913г.датский физик Нильс Бор создал 1ую теорию атома, которая соединила ядерную модель атома с квантовым характером испускания и поглощения света атомами. В положении теории БОРА:

1) постулат: Постулат стационарных состояний. В атоме существует набор стационарных состояний, находясь в которых атом не испускает и не поглощает энергию. Этим состояниям соответствует движение электронов по круговым орбитам в кулоновском поле ядра. Энергии стационарных состояний образуют дискретный ряд значений. Дискретные значения энергии называются энергетическими уровнями: Е₁,Е₂...

2 постулат: Правило частот Бора: При переходе атома из одного стационарного состояния в другое испускается или поглощается один ион (или квант энергии), энергия которая = разности состояний между которыми осуществляется переход E_m→En, где m, n - № энергетич.уровня.

Этот переход =: hν = E_m - En (0)

7. Магнитные свойства атома. Спин электрона. Орбитальные и спиновые характеристики электрона в атоме.

Теория Бора обладает противоречивостью: в ней соединяются классические и квантовые представления о свойствах частиц, последовательное и полное описание атомных явлений дает квантовая механика. Рассмотрим водородоподобный атом с № z электрон в атоме, который движется в поле ядра. Электро-микроскопическая частица, движение которой нельзя определить с помощью зависимости радиуса вектора от времени. Квантовая механика даёт возможность описать движение электрона с помощью волновой функции, которая определяет вероятность обнаружения частицы в какой-то точке пространства: (см.Рис внизу)

Z e Если частица движется в прост

ранстве, то её движение волнов

r ая функция зависит от времени

y и координат. ψ = ψ(t,r(в)), эту

функцию из ур-ния Шредингера

x а именно: Δψ+(2m_е/Ћ)(E-U)ψ = 0

(согласно стационарному уравнению Шредин.)

где E = - z² *R * h / n² - полная энергия;

По опред.: ψ(t,r(в)) = exp.^(-ε*E_t/Ћ)*ψ(r(в)), таких функций много, и им присваиваются номера(n, l, m): φ_nl_m = φ_n * l(r(в)); где

7б. продолжение:

0 n = ∞

Серия Пашена

n = 3

Серия Бальмера

Е₃

Е₂ n = 2

Серия Лаймана

Е₁ 1 2 n = 1

L(маленькое)

Каждому значению энергии кроме Е1 соответсвует несколько различных состояний, кот.отличаются числами l и m, такие состояния наз.вырожденными, число различных состояний с одинаковой энергией наз.кратностью вырождения данного энергетического уровня. Состояние с наименьшей энергией (n = 1) это основное состояние. Переход из основного состояния на уровень с большим значением энергии соответствует процесс возбуждения. На рис. показан стрелкой 1 переход,кот.соответст.1ая энергия возбуждения, переход с 1го энерг.уровня до n = ∞, характеризуется энергией ионизации, стрелка 2. Каждому состоянию соответствует энергия связи электрона, это есть энергия необходимая д/ионизации данного состояния. Энергия связи она равна по модулю энергии состояния.

ψ = ψ (x, y, z, t) = ψ (x, y, z) * φ(t)

φ(t) = exp.^(-i * w * t) = exp.^(-(i * E * t) / Ћ)

Уравнения для ψ (x, y, z) записываются в виде:

-Ћ²Δψ/(2 * m) + v * ψ = E * ψ (1a) или

Δψ + (2 * m * ( E – v) * ψ)/ Ћ² = 0 (1б)

1а и 1б –это есть ур-ние Шредингера для стационарных состояний или амплитудное уравнение Шредингера в ур-нии 1 (написать наблу Δ) Е – v – кинетич.энергия макрочастицы.

Физический смысл волновой функции был определен физиком Борном, а именно квадрат модуля волновой функции пропорционален вероятности обнаружения микрочастицы в единичном элементе объема в близи точки(x,y,z).

dP = |ψ|² dV = ψ * ψ° * dV, где dP – вероятность найти частицу в элементе объема dV в окрестностях точки(x,y,z).

dP / (dV) = |ψ|² = ψ * ψ² - плотность вероятности.

Для стационарных задач:

ψ (x, y, z, t) = ψ (x, y, z) * exp.^(-i * w * t) } =>

ψ° (x, y, z, t) = ψ° (x, y, z) * exp.^(+i * w * t) }

=> dP = |ψ|² dV = ψ * ψ° * dV

То есть вероятность для стационарных задач:

dP = |ψ|² dV = ψ * ψ° * dV - исходя из физического смысла Пси–функции определяются её свойства: Пси-функция должна быть: а) однозначной; б) непрерывной; в) конечной; г) а также д. иметь непрерывные и конечные 1е производные

ΔxΔpx >= π/2

ΔyΔpy >= π/2

ΔzΔpz >= π/2

ΔEΔt >= π/2

Произведение неопределенностей значений 2х канонически сопряженных величин может быть по порядку меньше постоянной.

Постоянная Планка – это и есть принцип неопределенностей Гейнзенберга.

h = 6.63 * 10.^-34 Дж * с

Ћ = h /(2*π) = 1.05 * 10.^-34 Дж * с

ΔхΔрх ≈ h(Ћ)

Картины на атомных и молекулярных пучках.

Советские физики Биберман, Сумкин и Фабрикант, изучая прохождение через тонкие фольги слабоинтенсивных е пучков, доказали наличие волновых свойств у отдельных е.

Микрочастицы являются такими объектами, которые одновременно присущи и корпускулярные и волновые свойства.

Поэтому к ним нельзя строго применять понятия и законы классической механики, которая изучает макротела. Например, для макротела состояние определяется заданием координат и проекций импульса для одного и того же момента времени. Для этого тела имеет место траектория. Для микротел из-за существующие у них волновых свойств нельзя определить их состояние одновременными точными значением координат проекций импульса. При определенных условиях задать состояние микротелу таким образом можно только приближенно.

k² = 2*m * E / Ћ², => 2*m*En /Ћ² = kn² = (πn/e)²

Tn = 1/ 2 * m *(π * Ћ * h / L)² - получим, что Е частицы в рассматриваемой потенциальной яме принимает дискретные или квантовые значения.

Целое число n – называют главным квантовым числом.

Собственные волновые функции для частиц в яме запишутся в виде: ψ = A * sin πnx/L.

Значение коэффициента А получим из условия нормировки волновой функции:

∫( , V) |ψ|² dV = 1; А²∫(е,0) sin²πnx/L dx = 1

A²J = 1 (J – интеграл).

J = L (после вычислений интеграла) таким образом: AL/2 = 1 => A =2/L

Окончательно, нормированные собственные функции( волновые) имеют вид:

ψ(x) = 2/L sin πn/ L * x, n = 1,2,3…

Рассмотрим физический смысл k:

k = √(2*m*E)/ Ћ = p / Ћ = 2πp/h = 2π/λ = mV/Ћ

E = E_k = mV²/2 = (mV)²/2m = p²/ 2m => p = √2mE

k – волновое число.

λ = h/p – волна де Бройля.

П ереходы с различных верхних уровней на один и тот же нижний образуют серию линий, на рис.показаны серии водородов и исходных их ионов. У водорода серия Лаймана в ультрафиолетовой области спектра. Серия Бальмера часть линий относится к видимому диапазону, а остальные к ультрафиолетовому. Серия Пашена и другие находятся в инфракрасном диапазоне.Пространственное квантование орбит: Как говорилось выше стационарное состояние электрона в атоме водорода описывается волновой функцией. φ_nl_m – проекция момента импульса на ось z, записывается L_z = Ћm , направление вектора момента импульса L в пространстве в экспериментах можно задать с помощью магнитного поля, силовые линии кот.и указывают это направление. Модуль вектора момента импульса и его проекция на ось z принимают дискретные значения, или «квантуются». => вектор L м.б.ориентирован в пространстве

Z Относительно силовых линий

магнитного поля определенным

Ћ образом. Это явление называется

Пространственным квантованием.

0

Ћ

n = 1,2,3… - главное квантовое число;

l = 0,1,2…n-1 – орбитальное квантовое число;

m=-l,-l+1,-1,0,1,2,l-1,l – магнитное квант. число;

Главное квантовое число n – определяет возможное значение энергии электрона в атоме:

E = R * Ћ/n²; l – даёт возможность вычислить модуль вектора |L(в)|, момент импульса электрона: |L(в)| = Ћ√l(l-1), проекция вектора L(в) момента импульса электрона на заданное направление z в пространстве: L_z = Ћm;

Собственный момент импульса –СПИН:

|L_s| = Ћ√s(s+1); где S = 1/2 – биновое квантовое число. Проекция Lsz(в) на направление z – кот. задаётся опред.формулой: Lsz(в) = Ћ * m_s ; где

m_s = ± 1 /2 характеристика внутреннего состояния электрона. Состояние электрона в атоме характеризуется 4 квантовыми числами: n,l,m, m_s.

Электрон обладает так же собственным магнитным моментом μ_s(в) = l * L_s(в)/m, который связан с его спином. Существует полный момент импульса электрона: Lj(в) = L_l(в) + Ls(в); |Lj(в)| = Ћ√j(j+1); j = l+s;|l-s|

С наличием Спина связана внутренняя структура энергетических уровней и спектральных линий атомов и ионов, в соответствии с формулой для энергии E = R * Ћ/m², на следующем рисунке показана схема энергетических уровней:

3 постулат: Правило квантования орбит: В стационарном состоянии электрон движущийся по круговой орбите имеет квантованное значение моментов импульса. Это можно записать:

F = z * e² /( 4π ε₀ * r²) , где я – порядковый номер элемента.

z * e² /( 4π ε₀ * r²) = m * a _n (1) ; a_n = v²/r

z * e² /( 4π ε₀ * r²) = m * v² / r

m * v * r = n * Ћ (2) – правило квантования

Из (1) и (2) получаем: v = t * e² / ( 4π ε₀ * Ћ * n);

r = ( 4π ε₀ * Ћ² * a²) / z * m * e² (3) –формула для радиуса. Как видно из (3) радиус орбиты электрона зависит от числа n, поэтому n-число рассматривают в качестве № орбиты. Радиус 1ой орбиты для водорода равен из (3)=0,529 * 10.^10м

- боровский радиус.

Из 2го з-на Ньютона (1) => что абсолютнотное значение E_потенц электрона = его удвоенной кинетической энергии: z * e² /( 4π ε₀ * r) = m * v²

E = - ½ * z * e² /( 4π ε₀ * r) (4) – полная механическая энергия. Таким образом энергия электрона в водородоподобном атоме = по величине и противоположна по знаку его кинетической энергии. Используя (4), для скорости электрона v значение следующие выражение для энергии электрона в водородоподобном атоме E = - z² *R * h / n² (5), где R = 3,29*10.^15 с.^-1– постоянная Ридберга.