ОТВЕТЫ К БИЛЕТАМ ПО ФИЗИКЕ37 (Ответы к билетам)

Экзаменационные билеты по физике.

Элементы квантовой механики.

1. Волновые свойства частиц: гипотеза де-Бройля. Волновая функция, её свойства.

2. Соотношение неопределённостей Гейзенберга.

3. Уравнение Шредингера для стационарных состояний частиц. Статистический смысл и

свойства волновой функции.

4. Частица в бесконечно глубокой потенциальной яме. Квантование энергии частицы.

Собственные значения волновой функции.

Атомная физика.

5. Модель атома Бора. Спектр излучения атома водорода.

6. Квантовомеханическая теория атома водорода. Квантование энергии, момента

импульса, и проекции момента импульса электрона в атоме водорода.

7. Магнитные свойства атома. Спин электрона. Орбитальные и спиновые характеристики

электрона в атоме.

8. Полный набор квантовых чисел электрона в атоме. Принцип Паули. Многоэлектронные

атомы (пример заполнения оболочек атома электронами).

Физика твёрдого тела.

9. Образование энергетических зон в твёрдом теле. Квантовая модель свободных

электронов в твёрдом теле. Уровень Ферми.

10. Основные положения квантовой статистики Ферми-Дирака. Плотность электронных

состояний. Функция распределения Ферми-Дирака.

11. Распределение свободных электронов в металле по импульсам, по энергиям.

12. Вычисление энергии Ферми и средней энергии электронов в металле при T=0 К.

Понятие о вырождении электронного газа. Условие вырождения.

13. Электрическая проводимость твёрдых тел с точки зрения зонной теории. Металлы.

Полупроводники. Диэлектрики. Зависимость проводимости твёрдых тел от

температуры.

14. Полупроводники. Собственная и примесная проводимости. Донорные и акцепторные

уровни в полупроводниках. Зависимость проводимости полупроводников от

температуры.

Ядерная физика.

15. Структура атомных ядер. Дефект массы и энергия связи. Устойчивость ядер. Деление

и синтез ядер.

16. Закон радиоактивного распада. Период полураспада, постоянная распада, среднее

время жизни, активность. Виды радиоактивного распада.

1. Волновые свойства частиц: гипотеза де-Бройля. Волновая функция, её свойства.

Волновые свойства частиц.

Изучение оптических явлений показало, что в природе света свойственен дуализм. В одних явлениях свет ведёт себя, как электромагнитная волна (интерференция, дифракция). В других проявляются его корпускулярные свойства (фотоэффект, эффект Комптона). 1924 году Луи де-Бройль высказал гипотезу, что дуализм не является особенностью свойств света, но имеет универсальное значение. Он предположил, что поток электронов движущихся с постоянной по величине и направлению скоростью проявляет свойство волн. При этом связь между корпускулярной природой микрочастиц и волновой природой такая же, как для света.

;

Для микрочастиц:

(1); (2)

Формула 1 называется длиной волны де Бройля.

Гипотеза де Бройля была подтверждена экспериментами. Дэвиссон и Джермер обнаружили волновые свойства у потока электронов, изучая их отражения от монокристалла никеля. Томсон и Тартановский получили дифракционные картины, изучая прохождение электронного пучка через тонкую металлическую фольгу. Ивтерн и сотрудники получили дифракционные картины на атомных и молекулярных пучках. Бибермен, Сушкин и Фабрикант изучая прохождение через тонкие фольги слабоинтенсивных электронных пучков доказали наличие волновых свойств у отдельных электронов.

Микрочастицы являются такими объектами, которым одновременно присуще и корпускулярные и волновые свойства. Потому к ним нельзя строго применять понятия и законы классической механики, которая изучает макротела.

Например:

Для макротела состояние определяется заданием для одного и того же момента времени координат и проекций импульса. Для этого также есть понятие траектории. Для микротел из-за существования у них……… нельзя определить их состояние, одновременным точным заданием в координатах проекции импульса.

При определёнии условиях задать состояние таких частиц можно только приближённо. Степень приближения определяется принципом неопределенности Гейзенберга. Это принцип, который устанавливает связь между неопределённостями значений различных пар канонически сопряжённых величин (например, и , и , и другие) при их одновременном измерении.

Соотношения неопределённостей имеют вид:

Произведение неопределённости значений двух канонически сопряженных величин не может быть по порядку величины меньше постоянной Планка. Это и есть принцип неопределённости Гейзенберга.

; ;

3. Уравнение Шредингера для стационарных состояний частиц. Статистический смысл и свойства волновой функции.

Подобно тому, как в классической механике состояние макрочастиц описывается с помощью уравнений Ньютона, в квантовой механике состояние микрочастиц определяется уравнением Шредингера. Шредингер ввёл для описания состояния частицы комплексную функцию координат и времени, которая является решением дифференциального уравнения предложенного им. Эта функция стала называться пси-функцией, или волновой функцией.

Уравнение Шредингера (со временем) имеет вид:

;

где - масса микрочастицы; - мнимая единица; - для стационарного (не зависящего от времени) силового поля является потенциальной энергией;

- волновая функция;

- оператор Лапласа-Лапласиан;

где – дифференциальный оператор;

Если силовое поле стационарно, то полная волновая функция распадается на два множителя, один из которых зависит только от координат, а другой – только от времени. При этом полное уравнение Шредингера полностью распадается на два уравнения:

Уравнение для записывается в виде:

(4а)

или в виде: (4б)

4а и 4б – уравнения Шредингера для стационарных состояний, или амплитудное уравнение Шредингера. В уравнениях(4):

;

где - масса микрочастицы; - потенциальная энергия микрочастицы в силовом поле (стационарном); - полная энергия микрочастицы.

Физический смысл волновой функции был определён Борнам, а именно: квадрат модуля волновой функции пропорционален вероятности обнаружения микрочастицы в единичном элементе объёма вблизи точки {x,y,z}, то есть . Найти вероятность в элементе объёма в окрестности точки {x,y,z}.

- плотность вероятности

Для стационарных задач:

Таким образом, вероятность для стационарных задач:

Исходя из физического смысла пси-функции определяются её свойства: пси-функция должна быть:

1. Однозначной

2. Непрерывной

3. Конечной, а также

4. Должна иметь непрерывные и конечные первые производные.

Условия (1)-(4) налагаемые на волновую функцию называется стандартными условиями.

Волновая функция, исходя из её физического смысла должна удовлетворять условию нормировки:

Волновые функции, удовлетворяющие условию нормировки называются нормированными.

Если область, в которой движется частица ограничена, то решение уравнения Шредингера удовлетворяющее стандартному условию будут иметь место только для определённых дискретных значений поной энергии . Это значения энергии (то есть значения энергии ), при которых -функция удовлетворяет стандартным условиям называется собственным значением энергии. В указанном выше случае спектр собственных значений будет дискретным.

Если область движения частицы не ограничена, то спектр собственных значений энергии - непрерывный или сплошной.

Волновые функции соответствующие собственным значениям энергии называются собственные волновые функции.

4. Частица в бесконечно глубокой потенциальной яме. Квантование энергии частицы. Собственные значения волновой функции.

Частица в бесконечно глубокой одномерной прямоугольной потенциальной яме.

Уравнение Шредингера:

,

Решение может быть записано в одном из видов:

1.

2.

3.

Исследуя решение в виде:

Эта функция удовлетворяет условиям. Наложим на неё граничные условия.

(1) Так как частица не может находится за стенками ямы (и по

(2) условию непрерывности) на стенках ямы, т.е.

Из (1):

Возьмём и , тогда

Из (2):

Из физических соображений , так как при при любом , что противоречит условию…….. нахождения частицы в яме. Таким образом, можем записать условие квантования величины , а именно:

;

Но

Следовательно: