110222 (Экзаменационные вопросы и билеты по линейной алгебре за весенний семестр 2001 года)
Описание файла
Документ из архива "Экзаменационные вопросы и билеты по линейной алгебре за весенний семестр 2001 года", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "остальные рефераты" из , которые можно найти в файловом архиве . Не смотря на прямую связь этого архива с , его также можно найти и в других разделах. Архив можно найти в разделе "рефераты, доклады и презентации", в предмете "остальные рефераты" в общих файлах.
Онлайн просмотр документа "110222"
Текст из документа "110222"
24
примерный перечень экзаменационных вопросов
линейная алгебра
-
Прямоугольная матрица, ее порядок, главная и побочная диагонали. Единичная, нулевая, треугольная, симметричная, транспонированная матрицы. Примеры.
-
Сложение матриц, умножение матрицы на число, умножение матриц. Свойства ассоциативности и коммутативности матриц. Примеры.
-
Приведение матриц к ступенчатому виду методом Гаусса. Элементарные преобразования над строками матрицы. Пример. Ранг матрицы.
-
Система из “m” линейных уравнений с “n” неизвестными. Векторно-матричная форма записи. Расширенная матрица системы. Пример.
-
Однородные и неоднородные системы уравнений. В каком случае они имеют единственное решение? Пример.
-
Решение однородной и неоднородной систем методом Гаусса. Пример.
-
Однородные системы и их свойства. Эквивалентные системы.
-
Свободные и несвободные переменные однородной системы. Частное и общее решение. Пример.
-
Совместные системы уравнений. Теорема Кронекера-Капелли. Пример.
-
Вектор решения линейной системы уравнений. Общее и частное решение неоднородной системы уравнений. Основные свойства решений.
-
Модель Леонтьева межотраслевого баланса. Ее математическая модель.
-
Определитель матрицы. Его порядок. Понятие определителя применительно к матрицам второго и третьего порядков. Алгебраическое дополнение элемента. Разложение определителя по строке или столбцу.
-
Сформулировать свойства определителя.
-
Какую матрицу называют обратной? Условие ее существования.
-
Вычисление определителя с использованием метода Гаусса.
-
Построение обратной матрицы с использованием алгебраических дополнений и методом Гаусса.
-
Исследовать сколько решений может иметь система уравнений: .
-
Исследовать и решить в случае совместности систему уравнений: .
-
Вычислить определитель матрицы det A, где А = методом Гаусса.
-
Что называется линейным пространством? Элемент линейного пространства. Какое множество функций на отрезке [a, b] образует пространство C[a, b]?
-
Свойства коммутативности и ассоциативности сложения векторов.
-
Арифметическое пространство Rn. Что называют компонентами вектора?
-
Определите понятие подпространства Н в пространстве V. Приведите примеры линейных подпространств в линейном пространстве V, в пространстве Rn.
-
Определите понятие линейной комбинации векторов u и v линейного пространства. Какая система векторов называется линейно независимой?
-
Запишите свойства линейно зависимой системы векторов и линейно независимой системы векторов.
-
Приведите примеры линейно независимых векторов и функций в линейном пространстве.
-
Базис линейного пространства, разложение вектора по базису, координаты вектора u в базисе е1, е2 … еn. Примеры стандартных базисов в прстранстве Rn.
-
Размерность линейного пространства. Линейная оболочка системы векторов. Размерность линейного подпространства W линейного пространства V.
-
Линейные операции над свободными векторами в координатной форме в произвольном линейном пространстве.
-
Как определяется матрица перехода от старого базиса b к новому c?
-
Какими свойствами обладает матрица перехода от старого базиса b к новому c?
-
Сформулируйте теорему о разложении любого вектора линейного пространства по базису.
-
Запишите формулы преобразования координат вектора x линейного пространства L при переходе от старого базиса b к новому c.
-
Как определяется скалярное произведение двух векторов? Какое пространство называется евклидовым? Неравенство Коши-Буняковского.
-
Ортогональные векторы линейного пространства.
-
Понятие нормы вектора. Каким аксиомам подчиняется норма вектора?
-
Ортогональная система векторов. Является ли она линейно зависимой?
-
Понятие ортогонального и ортонормированного базисов линейного пространства.
-
Какую матрицу называют матрицей Грама и как вычисляются ее элементы?
-
Что называется процессом ортогонализации?
-
Сформулируйте необходимое и достаточное условие линейной зависимости векторов.
-
Составьте матрицу Грама для системы векторов е1=(1, -1, 2), е2=(1, 1, 1), е3=(1, 0, 1) трехмерного пространства.
-
Докажите, что для любых двух векторов а и с векторное уравнение a + x = c относительно x имеет решение, и при этом единственное.
-
Запишите матрицу перехода от базиса b к новому с, если b1=-2с1-3с2-2с3, b2=7с1+8с2+9с3, b3=3с1+4с2+5с3.
-
Выясните, образует ли линейное пространство множество всех векторов данной плоскости, не параллельных данной прямой, если в качестве операций взяты операции сложения векторов и умножения вектора на число.
-
Выясните, образует ли множество функций вида а cos t +b sin t, t (-,), a,b R, линейное пространство относительно обычных операций сложения функций и умножения функции на число.
-
Образует ли линейное пространство множество многочленов степени n относительно обычных операций сложения многочленов и умножения многочлена на число?
-
Образует ли линейное пространство множество функций, непрерывных на отрезке [a,b], относительно операций сложения функций и умножения функции на число?
-
Докажите, что множество матриц-столбцов высоты n образует линейное пространство относительно матричных операций сложения и умножения на число.
-
Докажите, что dim V2 = 2, dim V3 = 3.
-
Не проводя вычислений, выясните, является ли система векторов а1=(-4, 2, 3), а2= (-3, 5, 1), а3 = (1,-7, 3), а4= (12,-5,4) линейно независимой?
-
Выясните, образуют ли векторы а1=(1, 0, 0, 0), а2= (1, 1, 0, 0), а3 = (1,1, 1, 0), а4= (1,1,1, 1) базис в линейном арифметическом пространстве R4?
-
Может ли матрица А = быть матрицей перехода от одного базиса трехмерного пространства к другому?
-
Какой вид имеет матрица перехода от старого базиса к новому, если матрица перехода от нового базиса к старому является треугольной? Симметрической?
-
Для каких векторов евклидова пространства неравенство Коши-Буняковского превращается в равенство?
-
Дайте понятие линейного оператора, действующего в линейном пространстве L. Приведите примеры.
-
Какая матрица называется матрицей линейного оператора?
-
Какую матрицу имеет нулевой оператор, действующий в пространстве L? Какой вид у матрицы тождественного оператора, действующего в пространстве L?
-
Сформулируйте теорему о связи координат вектора-прообраза с координатами вектора-образа оператора А, действующего в пространстве L?
-
В каком случае совпадают матрицы двух различных линейных операторов?
-
Какое соответствие существует между квадратными матрицами порядка n и линейными операторами, действующими в n-мерном линейном пространстве?
-
Напишите зависимость, связывающую матрицы Аb и Ае в различных базисах b и e линейного пространства.
-
Определение характеристического уравнения матрицы А.
-
Дайте определение понятия собственное число линейного оператора А. Какой вектор называется собственным вектором оператора? Как его найти?
-
Что означает понятие «собственное подпространство», отвечающее данному собственному значению?
-
Составьте характеристическое уравнение для оператора А, если его матрица А= . Найдите собственные значения и собственные векторы линейного оператора А.
-
Скольким собственным значениям может соответствовать один и тот же собственный вектор?
-
Известно, что собственные значения 1, 2,..,n линейного оператора попарно различны. Что можно сказать о линейной зависимости соответствующей им системы собственных векторов?
-
Известно, что базис е состоит из собственных векторов оператора А. Что можно сказать о матрице оператора в этом базисе?
-
Когда матрица оператора А подобна некоторой диагональной?
-
Пусть 1, 2,.., n - собственные значения оператора А. Найдите собственные значения линейного оператора, матрицей которого является матрица А2, А-1.
-
Дайте определение оператора, сопряженного к данному линейному оператору А. Сколько сопряженных операторов может быть у оператора А в евклидовом пространстве?
-
Какая матрица является матрицей оператора сопряженного линейному оператору А с матрицей А в ортонормированном базисе?
-
Дайте определение самосопряженного оператора. Приведите пример самосопряженного оператора.
-
Какова матрица самосопряженного оператора в ортонормированном базисе?
-
Что можно сказать об операторе А, если известно, что его матрица в некотором ортонормированном базисе является симметрической?
-
Каковы корни характеристического уравнения самосопряженного оператора?
-
Сколько собственных значений имеет симметрическая матрица порядка n?
-
Каким свойством обладают собственные векторы самосопряженного оператора?
-
Когда в евклидовом пространстве существует ортонормированный базис, в котором матрица линейного оператора имеет диагональный вид?
-
Докажите, что (А+ В)* = А* + В* и (АВ)* = В* А*.
-
В ортонормированном базисе оператор А имеет матрицу А = . Найдите матрицу сопряженного ему оператора в этом же базисе.
-
Какая матрица называется ортогональной матрицей и чему равен ее определитель?
-
Свойства ортогональных матриц.
-
Что такое квадратичная форма? Дайте понятие матрицы квадратичной формы.
-
Запишите квадратичную форму в координатах в некотором базисе.
-
Что такое канонический вид квадратичной формы? Найти ее для x2 + xy + y2.
-
Какая квадратичная форма называется положительно определенной? Неотрицательно определенной?
-
Сформулируйте критерий Сильвестра.
-
Запишите закон инерции для квадратичной формы.
-
Что представляет собой метод итераций?
-
Дайте определение Гессиана.
-
Составьте Гессиан для функции f ( x1,....,xn )= x12 +x 1 x 2+ .... + x 1x n .
-
Приведите квадратичную форму х12 - 4х1х2 к каноническому виду методом выделения квадратов.
-
Какую квадратичную форму можно привести к каноническому виду?
-
Как изменяется характеристическое уравнение матрицы при ортогональном преобразовании квадратичной формы?
-
Выясните, является ли квадратичная форма с матрицей А = положительно определенной?
-
Когда диагональные элементы симметрической матрицы ― положительные числа?
-
Найдите ранг квадратичной формы трех переменных 2ху + 2уz +2хz.
-
Какой ранг может иметь положительно определенная форма от n переменных?
-
Запишите матрицу перехода от базиса е к базису е, если е1= е1+ е2+7е3, е2=(7/6) е1- е2, е3=- е1+ е2+ е3.
-
Является ли линейным преобразование Ах = (6х1 - 5х2,-2х2, х3 - х1)?
-
Чему равно скалярное произведение векторов в арифметическом пространстве Rn?
-
Что можно сказать о собственных векторах, если они соответствуют различным собственным значениям?
-
Определите, каким является базис а=(1/ , 1/ ,1/ ), b=(1/ , -1/ , 0), с =(1/ , 1/ ,-2/ ).
-
Нормируйте вектор х = 3i + 4j + 5k + 7m.
Экзаменационный билет по предмету