110222 (709209), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Билет № 1

1. Описать модель Леонтьева межотраслевого баланса.

2. Найти общее решение однородной системы: .

3. Как записывается свойство ассоциативности сложения векторов?

4. Когда в евклидовом пространстве существует ортонормированный базис, в котором матрица линейного оператора имеет диагональный вид?

5. В ортонормированном базисе оператор А имеет матрицу А = . Найдите матрицу сопряженного ему оператора в этом же базисе.

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

Экзаменационный билет по предмету

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Билет № 2

1. Какие прямоугольные матрицы можно привести к ступенчатому виду? Метод приведения матрицы к ступенчатому виду. Пример.

2. Найти матрицу А^-1, обратную к матрице А и с ее помощью решить систему А = , где А = , = , .

3. Образует ли линейное пространство множество многочленов степени n относительно обычных операций сложения многочленов и умножения многочлена на число?

4. Какая матрица называется ортогональной матрицей?

5. Запишите матрицу перехода от базиса b к новому с, если b₁=3с₁-с₂+2с₃ , b₂=-6с₁+5с₂ -2с₃, b₃=4с₁+с₂-с₃.

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

Экзаменационный билет по предмету

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Билет № 3

1. Дать определение системы из «m» линейных уравнений с «n» неизвестными. Векторно-матричная форма записи системы линейных уравнений.

2. Исследовать и решить в случае совместности систему уравнений: .

3. Дайте определение понятия арифметического пространства Rⁿ.

4. Какой матрицей является матрица, транспонированная к ортогональной?

5. Докажите, что для любых двух векторов а и с векторное уравнение а+х = с относительно х имеет решение, и притом единственное.

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

Экзаменационный билет по предмету

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Билет № 4

1. Какой метод используется при решении системы линейных уравнений (на примере)?

2. Исследовать и решить в случае совместности систему уравнений: .

3. Запишите свойства линейно зависимой системы векторов.

4. Дайте определение Гессиана.

5. Составьте Гессиан для функции f ( x₁,....,x_n )= x₁² +x ₁ x ₂+ .... + x ₁x _n .

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

Экзаменационный билет по предмету

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Билет № 5

1. Неоднородные системы уравнений. Основные свойства решений.

2. Найти матрицу А^-1, обратную к матрице А и с ее помощью решить систему А = , где А = , = , .

3. Сформулируйте теорему о связи координат вектора-прообраза с координатами вектора-образа оператора А, действующего в пространстве L .

4. Какая матрица является матрицей оператора сопряженного линейному оператору А с матрицей А в ортонормированном базисе?

5. Выясните, является ли квадратичная форма с матрицей А = положительно определенной.

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

Экзаменационный билет по предмету

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Билет № 6

1. Правило построения обратной матрицы на примере матрицы 2-го порядка с использованием алгебраических дополнений.

2. Совместна ли система уравнений: ?

3. Выясните, образует ли линейное пространство множество всех векторов данной плоскости, не параллельных данной прямой, если в качестве операций взяты операции сложения векторов и умножения вектора на число.

4. Скольким собственным значениям может соответствовать один и тот же собственный вектор?

5. Составьте Гессиан для функции f ( x₁,....,x_n )= x₁² + 2x₂²+ .... + nx_n² .

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

Экзаменационный билет по предмету

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Билет № 7

1. Что называют определителем матрицы. Порядок определителя. Понятие определителя применительно к матрице второго порядка. Пример.

2. Найти ранг матрицы .

3. Как записывается свойство коммутативности сложения векторов?

4. Какую квадратичную форму можно привести к каноническому виду?

5. Найдите ранг квадратичной формы трех переменных х² + у ² +2хz.

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

Экзаменационный билет по предмету

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Билет № 8

1. Подчиняется ли умножение матриц свойству ассоциативности и перестановки сомножителей? Привести пример некоммунитативных матриц. Пример перестановочных матриц.

2. Найти общее решение однородной системы: .

3. Что называется линейным пространством?

4. Чему равен определитель ортогональной матрицы?

5. В ортонормированном базисе оператор А имеет матрицу А = . Найдите матрицу сопряженного ему оператора в этом же базисе.

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

Экзаменационный билет по предмету

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Билет № 9

1. Дать определение ранга матрицы. Пример.

2. Убедиться, что система имеет единственное решение, и найти это решение методом Гаусса:
   , , .

3. Какая система векторов называется линейно независимой?

4. Какой матрицей будет матрица, обратная к ортогональной?

5. Докажите, что (А+ В)^* = А^* + В^*.

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

Экзаменационный билет по предмету

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Билет № 10

1. Какие преобразования можно выполнить над строками матрицы? Пример.

2. Найти общее решение однородной системы уравнений .

3. Какой базис линейного пространства называется ортогональным?

4. Сколько сопряженных операторов может быть у оператора А в евклидовом пространстве?

5. Чему равно скалярное произведение векторов в арифметическом пространстве Rⁿ?

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

Экзаменационный билет по предмету

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Билет № 11

1. При решении однородной системы какие переменные называют свободными, а какие несвободными? Чему равно число свободных переменных?

2. Исследовать и решить в случае совместности систему уравнений: .

3. Докажите, что множество матриц-столбцов высоты n образует линейное пространство относительно матричных операций сложения и умножения на число.

4. Сколько собственных значений имеет симметрическая матрица порядка n?

5. Запишите матрицу перехода от базиса b к новому с, если b₁=-2с₁-3с₂-2с₃, b₂=7с₁+8с₂+9с₃, b₃=3с₁+4с₂+5с₃.

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

Экзаменационный билет по предмету

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Билет № 12

1. Элементарные преобразования над строками матрицы. Пример.

2. Убедиться, что система , имеет единственное решение, и найти это решение методом Гаусса:
   .

3. Для каких векторов евклидова пространства неравенство Коши – Буняковского превращается в равенство?

4. Чему равна матрица, обратная к ортогональной?

5. Найдите ранг квадратичной формы трех переменных 2ху + 2уz +2хz.

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

Экзаменационный билет по предмету

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Билет № 13

1. Решение однородной системы методом Гаусса. Пример.

2. Найти матрицу А^-1, обратную к матрице А и с ее помощью решить систему А = , где А = , = , .

3. Определите понятие подпространства Н в пространстве V.

4. Дайте понятие матрицы квадратичной формы.

5. Какой нормированный вектор соответствует вектору х = -5i + 3j + 7k?

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

Экзаменационный билет по предмету

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Билет № 14

1. Какую систему уравнений называют неоднородной? В каком случае она имеет единственное решение?

2. Найти матрицу А^-1, обратную к матрице .

3. Что называется разложением вектора по базису?

4. Когда диагональные элементы симметрической матрицы ― положительные числа?

5. Докажите, что (АВ)^* = В^* А^*.

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

Экзаменационный билет по предмету

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Билет № 15

1. Какую систему уравнений называют однородной? В каком случае она имеет единственное решение?

2. Сколько решений может иметь система уравнений: ?

3. Что называют координатами вектора u в базисе е₁, е₂ ... е_n.

4. Запишите закон инерции для квадратичной формы.

5. В ортонормированном базисе оператор А имеет матрицу А = . Найдите матрицу сопряженного ему оператора в этом же базисе.

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

Экзаменационный билет по предмету

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Билет № 16

1. Сформулировать теорему Кронекера-Капелли. Проиллюстрировать ее примером.

2. Вычислить определитель матрицы det A, где А = методом Гаусса.

3. Определите понятие линейной комбинации векторов u и v линейного пространства.

4. Каким свойством обладают собственные векторы самосопряженного оператора?

5. Выясните, образует ли множество функций вида а cos t +b sin t, t (-,), a,b R, линейное пространство относительно обычных операций сложения функций и умножения функции на число.

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

Экзаменационный билет по предмету

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Билет № 17

1. Решение неоднородной системы методом Гаусса (на примере).

2. Совместна ли следующая система: ? Найти ее решение.

3. Дайте определение размерности линейного подпространства W линейного пространства V.

4. Какой многочлен называется характеристическим многочленом матрицы?

5. Является ли линейным преобразование Ах = (6х₁ - 5х₂,-2х₂, х₃ - х₁)?

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

Характеристики

Список файлов реферата