29

примерный перечень экзаменационных вопросов

Аналитическая геометрия

1. Линия на плоскости. Ее уравнение в декартовой системе координат. Текущие координаты произвольной точки линии.

2. Уравнение первой степени относительно x, y. Общее уравнение прямой на плоскости Oxy.

3. Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Условия параллельности и перпендикулярности прямых, заданных уравнениями с угловыми коэффициентами.

4. Уравнение прямой, проходящей через заданную точку с заданным угловым коэффициентом.

5. Уравнение прямой на плоскости, проходящей через две заданные точки.

6. Уравнение прямой на плоскости по точке и направляющему вектору или каноническое уравнение прямой.

7. Уравнение прямой на плоскости по точке и нормальному вектору.

8. Условие параллельности и перпендикулярности прямых на плоскости, у которых заданы направляющие векторы.

9. Условие параллельности и перпендикулярности прямых на плоскости, у которых заданы нормальные векторы.

10. Угол наклона между прямыми на плоскости, заданными уравнениями с угловым коэффициентом.

11. Определения точек пересечения прямых на плоскости по формулам Крамера.

12. Вычисление определителей второго и третьего порядков.

13. Какое уравнение называют уравнением данной поверхности.

14. Общее уравнение плоскости.

15. Уравнение плоскости по нормальному вектору и заданной точке.

16. Уравнение плоскости в отрезках.

17. Условия параллельности и перпендикулярности двух плоскостей.

18. Правая тройка векторов. Векторное произведение двух векторов.

19. Смешанное произведение трех векторов.

20. Уравнение плоскости, проходящей через три данные точки.

21. Прямая в пространстве, заданная пересечением двух плоскостей.

22. Параметрическое уравнение прямой в пространстве.

23. Каноническое уравнение прямой в пространстве.

24. Уравнение прямой в пространстве, проходящей через две заданные точки.

25. Условие параллельности и перпендикулярности двух прямых в пространстве.

26. Угол между плоскостью и прямой в пространстве.

27. Условие параллельности прямой и плоскости в пространстве.

28. Условие перпендикулярности прямой и плоскости в пространстве.

29. Переход от одного способа задания прямой к другому (на примерах).

30. Уравнение второй степени на плоскости. Какую линию называют кривой второго порядка на плоскости?

31. Уравнение эллипса, гиперболы и параболы на плоскости.

32. Какое уравнение называют уравнением второго порядка в пространстве?

33. Что называется уравнением поверхности в пространстве Охуz?

34. Вырожденные поверхности второго порядка.

35. Невырожденные поверхности второго порядка и их канонические уравнения.

36. Метод параллельных сечений.

37. Эллипсоид, его полуоси. Исследование его формы.

38. Однополостный гиперболоид, его полуоси. Исследование его формы.

39. Гиперболический параболоид, его параметры и форма.

40. Какая поверхность называется поверхностью вращения?

41. Двухполостный гиперболоид вращения, его форма.

42. Эллиптический параболоид вращения и его форма.

43. Конус вращения и его вид.

44. Канонические уравнения двухполостного гиперболоида, конуса, эллипсоида и эллиптического параболоида с осью вращения Oz; Ox; Oy.

45. Цилиндры второго порядка. Их уравнение. Типы цилиндров. Их форма.

46. Линейчатые поверхности второго порядка.

47. Напишите формулы преобразования декартовых прямоугольных координат в пространстве при параллельном сдвиге осей.

48. Напишите формулы преобразования декартовых прямоугольных координат в пространстве при повороте вокруг оси Оz на угол .

49. Приведение к каноническому виду уравнения поверхности второго порядка с центром в начале координат.

50. Какое уравнение является характеристическим для квадратичной формы?

51. Какие числа называются характеристическими числами квадратичной формы?

52. Приведение к каноническому виду общего уравнения поверхности второго порядка.

53. Можно ли установить тип поверхности, зная характеристические числа?

54. Найти точку пересечения прямых 3х - 4у + 10 = 0 и х + 5у – 3 = 0, используя формулы Крамера.

55. Докажите, что две прямые на плоскости параллельны, если = (2, 5) и = (-4, -10) - их направляющие векторы.

56. Докажите, что две прямые на плоскости перпендикулярны, если = (-2, 3) и = (3, 4) - их нормальные векторы.

57. Из точки (3, -2, 4) опустить перпендикуляр на плоскость 5х + 3у - 7z + 1= 0.

58. Найти координаты основания перпендикуляра, опущенного из точки С(0,5) на прямую, проходящую через точки A(0, 1) и B(3, 3).

59. При каком значении a прямая будет лежать на плоскости 3x – y – z – 3 = 0?

60. Найти координаты вектора, представляющего собой векторное произведение вектора  = (1, 6, 0) и вектора (1, -1, -1).

61. Найти общее уравнение плоскости, проходящей через ось Оу и точку М (3, 0, 2).

62. Найти общее уравнение плоскости, проходящей через ось Оy и точку М(3, 0, 2).

63. Написать общее уравнение плоскости, проходящей через начало координат.

64. Написать общее уравнение плоскости, проходящей через ось Оу.

65. Найти направляющий вектор прямой: .

66. Найдите уравнение плоскости, проходящей через три данные точки: М₁(0, 0, 0), М₂(2, -1, 2), М₃(0, -1, 1).

67. С помощью определителя третьего порядка найти смешанное произведение трех векторов = (1, 2, 3), = (-1, 2, 4), = (1, 1, 0).

68. Меридиан 4x² - z² = 4 вращается вокруг оси Оz. Какая поверхность второго порядка при этом получается?

69. Меридиан 2y = x² вращается вокруг оси Оy. Какая поверхность второго порядка при этом получается?

70. Меридиан = -1 вращается вокруг оси Оz. Какая поверхность второго порядка при этом получается?

71. Меридиан x² + z² = 16 вращается вокруг оси Оz. Какая поверхность второго порядка при этом получается?

72. Докажите, что прямая лежит на гиперболоиде .

73. Найдите точки пересечения прямой: и сферы х² + у² + z² = 100.

74. С помощью какого преобразования координат приводится к каноническому виду уравнение поверхности второго порядка ? Как называется эта поверхность?

75. Какие плоскости симметрии имеет гиперболоид ?

76. По характеристическим числам соответствующей квадратичной формы выяснить, какую невырожденную поверхность второго порядка определяет следующее уравнение: 4x² – y² – z² – 4xz =2?

77. По характеристическим числам соответствующей квадратичной формы выяснить, какую невырожденную поверхность второго порядка определяет следующее уравнение: 5x² + 2y² + z² + 2xz = 5?

78. Приведите к каноническому виду уравнение поверхности второго порядка 5x² + 2y² + 7z² – 4yx = 42. Определить вид этой поверхности.

79. Приведите к каноническому виду уравнение поверхности второго порядка 8x² + 2y² + 5z² + 4yz = 48. Определить вид этой поверхности.

80. Приведите к каноническому виду уравнение поверхности второго порядка x² + y² + 2z² – 8xy – 6xz + 24 = 0. Определить вид этой поверхности.

Экзаменационный билет по предмету

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Билет № 1

1. Какое число называется смешанным произведением трех векторов , , 

2. С помощью определителя третьего порядка найти смешанное произведение трех векторов = (1, 1, 3), = (-1, 0, 4), = (2, 1, 0).

3. Перечислите вырожденные поверхности второго порядка.

4. Как называется линия второго порядка, по которой плоскость
   х = 1 пересекает гиперболоид + у² - z² = 1? Напишите уравнение этого сечения.

5. Приведите к каноническому виду уравнение поверхности второго порядка:
   х² + 3у² - z² + 6zу - 4 = 0.

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

Экзаменационный билет по предмету

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Билет № 2

1. Как вычисляется определитель третьего порядка ?
   Вычислить определитель третьего порядка .

2. Найти координаты точки пересечения прямых у = 5х - 4 и .

3. Какая поверхность называется поверхностью второго порядка?

4. Меридиан = 1 вращается вокруг оси Оz. Какая поверхность второго порядка при этом получается?

5. Приведите к каноническому виду уравнение поверхности второго порядка:
   4х² + 2у²- 4ху-2yz- 4=0. Определить вид этой поверхности.

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

Экзаменационный билет по предмету

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Билет № 3

1. Напишите условие параллельности прямых , .

2. Написать общее уравнение плоскости, проходящей через ось Оу.

3. Напишите каноническое уравнение эллиптического параболоида вращения.

4. Напишите каноническое уравнение параболического цилиндра с образующей, параллельной оси Ох.

5. Приведите к каноническому виду уравнение поверхности второго порядка:
   х² + 2у² + 3z² - 4хz - 3 = 0.

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------