RADON (Лекции ещё одни), страница 2

Компактны все замкнутые ограниченные подмножества конечномерного эвклидова пространства, сами же эти пространства не компактны.

В дальнейшем мы определим меры Радона как на компактном, так и на так называемом локально компактном пространстве. В связи с этим приведем определение локально компактного пространства.

Определение. Топологическое пространство Т называется локально компактным, если каждая его точка имеет окрестность, замыкание которой в Rⁿ локально компактно. Замкнутые подмножества локально компактного пространства также локально компактны. Закрытые подмножества локально компактного хаудсорфова пространства локально компактны.

Локально компактными пространствами являются замкнутые подмножества конечномерного эвклидова пространства; если же они ограничены, то компактны. (В R шар (0, y) 1 не компактен. Гильбертов кирпич – компакт в R ).

Существуют топологические пространства, которые нельзя определить исходя из какой-либо метрики. Говорят, что топологическое пространство метризуемо, если существует метрика, порождающая его топологию. Большинство встречающихся в анализе пространств все же метризуемы. В конечномерном пространстве любые метрики эквивалентны, т.е. все метрики вводят одну и ту же топологию.

Рассмотрим теперь непрерывные отображения топологических пространств.

Отображение f топологического пространства X в топологическое пространство Y назовем непрерывным в точке x X, если для любой окрестности В(у) точки y = f ( x ) найдется такая окрестность A(х) точки x, что f(A(x)) B(y). Отображение f : X Y непрерывно, если оно непрерывно в каждой точке x X.

Теорема. Чтобы отображение f топологического пространства X в топологическое пространство Y было непрерывным, необходимо и достаточно, чтобы топология Т_x была не слабее топологии f ^–1(Т_y), или, что то же самое, чтобы прообраз f ^–1(B) всякого открытого множества B Y был открыт в Х.

Теорема. Если X, Y и Z – топологические пространства и f и - непрерывные отображения X в Y и Y в Z соответственно, то отображение z = (f(x)) пространства X в Z непрерывно.

Определение. Гомеоморфизмом называется взаимно однозначное и взаимнонепрерывное отображение f : X Y, а топологические пространства X и Y называются гомеоморфными.

С топологической точки зрения гомеоморфные пространства эквивалентны: топологии в них служат образами и прообразами друг друга. При гомеоморфизме сохраняются свойства множества быть замкнутым, открытым или замыканием некоторого множества. Свойства, сохраняющиеся при гомеоморфизме, называют топологическими. Следует, однако, иметь в виду, что метрические свойства двух гомеоморфных между собой пространств могут быть различными, например, одно может быть полным, а другое – нет.

Рассмотрим один из естественных способов задания топологии на произведении пространств X и Y. Скажем, что множество E X * Y открыто в топологии произведения Т_х* Т_y пространств X и Y, если вместе с любой своей точкой (a, b) оно содержит хотя бы одно произведение открытых множеств A*B, где A Т_х , B Т_y , a A, b B. Определенная таким образом топология Т_х* Т_y называется произведением топологий, заданных на X и Y.

Топологию произведения можно задать также с помощью метрик. Например, если X и Y – метрические пространства с метриками ₁ и ₂ , то на произведении X * Y можно множеством способов задать метрики, в частности, положив: = max ( ₁ ( x₁ , x₂), ₂ ( y₁ , y₂) ), или = ₁ + ₂ , или = . Однако все эти метрики будут эквивалентны, т.е. будут определять одну и ту же топологию.

Пример пространства Т₁ , не являющегося хаусдорфовым, можно простроить, взяв множество X всех действительных чисел и любой нечисловой объект Y. В качестве открытых рассматриваются все открытые в X интервалы и представимые с помощью них открытые множества, а также все множества, получающиеся выбрасыванием из X Y конечного числа точек. Это будет Т₁-пространство, не удовлетворяющее аксиоме Т₂), поскольку окрестности O(y) и O(x), где x – любая точка из X, пересекаются: в самом деле, O(y) содержит все действительные числа, кроме конечного их числа, а O(x) – открытое подмножество в X, содержащее интервал.

Примером хаудсорфова пространства, не являющегося регулярным, может служить отрезок [0, 1], в котором окрестности всех точек, кроме точки 0, определяются обычным образом, а за окрестности нуля принимаются различные полуинтервалы вида [0, x), из которых выброшены точки типа 1/K (K = 1, 2, 3, ... ). Полученное пространство хаусдорфово. Последовательность { 1/K } – замкнутое множество в [0, 1], но неотделимое от 0 непересекающимися окрестностями (поскольку любая окрестность [0, x] нуля пересекается с любой окрестностью множества точек { 1/K } ).