RADON (Лекции ещё одни)

Мера Радона

Определение. Семейство T подмножеств множества X образует его топологию, если оно содержит пустое множество, само X, сумму любого числа А_к и пересечение А_к конечного числа своих подмножеств. Топологическим пространством называется пара (Х, Т), т.е. X с заданной в нем топологией Т. Будем обозначать это пространство через Т.

Задать топологию в X – это значит указать те подмножества, которые считаются в X открытыми. Множества Т \ A, дополнительные к открытым, называются замкнутыми множествами топологического пространства Т. Поскольку X и пустое множество дополняют друг друга, то они одновременно открыты и замкнуты.

Пусть во множестве X заданы две топологии: Т₁ и Т₂. Топология Т₁ сильнее топологии Т₂ , если система множеств Т₁ содержит систему множеств Т₂, т.е. Т₁ Т₁.

Е
сли заданы две системы окрестностей A₁ и A₂, то топология, определенная системой A₁, сильнее топологии, определенной системой A₂, тогда и только тогда, когда они различны и каждая окрестность A₂ содержит некоторую окрестность A₁.

Множество, открытое в слабой топологии, тем более открыто в сильной. В совокупность всех возможных топологий в X можно ввести частичную упорядоченность Т₁ Т₂ Т₃ ... Т. В этой последовательности есть максимальный элемент Т₁ – топология, в которой все множества открыты (например, в произвольном множестве X можно ввести топологию положив открытыми все его подмножества), и есть минимальный – топология Т, в которой открыты только X и пустое множество (например, в произвольном множестве X можно ввести топологию, считая открытыми только X и пустое множество: это пространство «слипшихся» точек, в котором замыкание каждого непустого множества есть все X).

Если учесть, что окрестностью точки x Т называется всякое открытое множество A Т, содержащее x, то из самого определения топологического пространства следует, что для того чтобы множество в Т было открытым, необходимо и достаточно, чтобы оно содержало некоторую окрестность каждой своей точки. Тогда, переходя к дополнениям в определении топологии, получаем, что сумма конечного числа замкнутых множеств замкнута и что пересечение любого числа замкнутых множеств замкнуто. Замыканием множества A называется пересечение всех замкнутых множеств, содержащих A. Замыкание множества A состоит из изолированных точек этого множества, из предельных точек, не принадлежащих A. Напомним, что точка x X называется предельной точкой множества A X, если любая ее окрестность содержит бесконечно много точек из A, причем сама точка x может не принадлежать A. Точки из , не являющиеся внутренними для A, образуют границу множества A.

Можно определить топологическое пространство как множество, на котором задана операция замыкания. Тогда если в X заданы две топологии Т₁ и Т₂, то Т₁ сильнее Т₂ тогда и только тогда, когда замыкание всякого множества в топологии Т₁ содержится в его замыкании в топологии Т₂ .

Определение. Семейство называется системой образующих топологии Т, если Т есть слабейшая из топологий, содержащих ( Т ).

Пересечение произвольного множества топологий Т’ = Т_к в X есть топология в X, которая является наиболее слабой среди топологий Т_к .

Если - произвольная система подмножеств множества X, то существует минимальная топология Т в X, содержащая (в этом случае является системой образующих топологий Т).

Обычно удобно задавать не совокупность всех открытых в X подмножеств, а некоторую определяющую систему подмножеств, по которой можно построить любое из заданных открытых множеств посредством операций, входящих в определение топологии. Например, на прямой открыты лишь те множества, которые могут быть представлены в виде суммы некоторого числа интервалов. Это приводит к определению базы или базиса топологического пространства.

Определение. Семейством открытых подмножеств из X называется базой, или базисом топологического пространства Т, если Т и всякое открытое множество из Т может быть представлено как сумма некоторого числа множеств из .

Теорема. Чтобы система открытых множеств { X_к } была базой топологического пространства Т, необходимо и достаточно, чтобы для каждого открытого множества A и каждой точки x A нашлось бы такое множество X_к из этой системы, что x X_к A, т.е. чтобы любую точку из произвольного открытого множества A можно было окружить окрестностью X_к A и X_к .

Определение. Если Y X и Т – некоторая топология в X, то топология Т_у = { A: A = B Y, B Т } называется топологией пространства Y, индуцируемой топологией пространства X, или относительной топологией в Y.

Подмножество в Y называется относительно открытым, если оно открыто в топологии Т_у ; относительно замкнутым, если его дополнение в Y относительно открыто.

Топологию во множество X можно ввести многими способами. Один из них, наиболее плодотворный, основан на введении понятий метрики.

Определение. Пусть X – некоторое множество и - вещественная функция на произведении X * X, обладающая следующими свойствами:

1) (х, y) 0, x, y X ;

2) (х, y) = 0 в том и только том случае, если x = y ;

3) (х, y) = (у, x) ;

4) (х, y) (х, z) + (z, y) (неравенство треугольника).

Функция называется метрикой или метрической функцией пространства X.

Метрическая топология в X – это слабейшая из топологий, содержащих сферы (шары) вида: S ( x, a ) = { y / (х, y) a }, где точка ч называется центром, а а – радиусом сферы. Метрическое пространство X оказывается топологическим пространством, если на базу окрестностей каждой точки x X принять совокупность всех открытых шаров с центром в x. В этом случае говорят, что топология в X определена метрикой (х, y). Множество X с определенной в нем метрической топологией называется метрическим пространством.

Топологические пространства – это весьма общие пространства. В них могут встречаться ситуации, не имеющие места, например, в метрических пространствах. Например, в топологическом пространстве конечное множество точек может не быть замкнутым. В связи с этим представляет интерес выделить из топологических пространств такие, которые близки по свойствам к метрическим. Для этого надо не топологическое пространство наложить дополнительные ограничения. В качестве таких ограничений вводят, например, аксиомы отделимости:

Т₁) множество, состоящее из единственной точки, замкнуто;

Т₂) у любых двух несовпадающих точек x и у существуют непересекающиеся окрестности О_х и О_у ;

Т₃) для любого замкнутого множества A и произвольной точки x А существуют непересекающиеся окрестности;

Т₄) у любых двух непересекающихся замкнутых множеств A и В существуют непересекающиеся окрестности.

Топологическое пространство, обладающее свойствами Т₁) и Т₂), называется хаусдорфовым. В анализе редко встречаются пространства более общие, чем хаусдорфовы.

Топологическое пространство, обладающее свойствами Т₁) и Т₃), называется регулярным, а пространство, обладающее свойствами Т₁) и Т₄) называется нормальным. Почти все встречающиеся в анализе пространства являются нормальными. Всякое нормальное пространство регулярно, а регулярное хаусдорфово, но не наоборот.

Наиболее плодотворным для анализ оказались пространства, несколько более узкие, чем регулярные, но более широкие, чем нормальные, введенные А.Н.Тихоновым и получившие название вполне регулярных.

Определение вполне регулярного пространства основано на следующей аксиоме функциональной отделимости: два непересекающихся замкнутых множества A и В функционально отделимы в пространстве X, если существует определенная на всем X непрерывная функция 0 f(x) 1, равная нулю во всех точках множества A и равная единице во всех точках множества В.

Вполне регулярным называется функционально отделимое Т₁-пространство.

Особая роль вполне регулярных пространств проявляется в следующем. Урысоном было показано, что существуют регулярные пространства, на которых не существует каких-либо непрерывных функций, за исключением постоянных; в то же время незначительное усиление регулярных пространств до класса вполне регулярных позволило установить, что на любых вполне регулярных пространствах имеется достаточно много непрерывных функций. Еще одно замечательное свойство вполне регулярных пространств состоит в том, что они, наряду с хаусдорфовыми и регулярными, являются наследственными в том смысле, что любые из подмножества являются пространствами того же типа. Для нормальных пространств свойство наследственности удовлетворяется только в отношении замкнутых подмножеств (т.е. замкнутые подмножества нормального пространства нормальны).

Всякое метрическое пространство нормально (тем самым автоматически оно является и вполне регулярным, и регулярным, и хаусдорфовым). Урысон доказал, что непересекающиеся замкнутые множества в нормальном пространстве функционально отделимы.

Огромную роль в современной математике играет понятие компактности. Для его определения нам потребуется вспомогательное понятие покрытия. Покрытием множества A в топологическом пространстве Т называется семейство { A_К } открытых (или замкнутых) множеств, сумма которых содержит A, т.е. А_К = A.

Если некоторая часть { A_Кi } покрытия { A_К } сама образует покрытие пространства Т, то { A_Кi } называется подпокрытием покрытия { A_К }.

Определение. Пространство Т называется компактным, если из всякого его покрытия можно выделить конечное подпокрытие.

Множество X Т называется компактным, если оно, рассматриваемое как подпространство в Т, компактно.

Определение. Топологическое компактное хаусдорфово пространство называется компактом.