4730-1 (Фракталы в нефтегазовой геологии и геофизике)

Фракталы в нефтегазовой геологии и геофизике

Н.П. Запивалов, Г.И.Смирнов

Институт геологии нефти и газа СО РАН,

Сибирское отделение Международного института нелинейных исследований РАН, Новосибирск

Данное сообщение посвящено разработкам новых методов фрактального анализа нефтегазонасыщенных объектов как открытых динамических систем с быстро меняющимся состоянием, то резко напряженным, то близким к стабильному, что особенно характерно в период наложенных техногенных процессов (геологоразведка, разработка месторождений нефти и газа). Фрактальное моделирование как инструмент для изучения скрытого порядка в динамике неупорядоченных систем, каковыми являются нефтегазовые месторождения, стало технологической потребностью. Фрактальные модели упрощают анализ турбулентного движения жидкости или газа, а также процесса протекания, что важно для индустриальных технологий технологии разработки месторождений нефти и газа [1 - 5].

В частности, напряженные крупномасштабные фрактальные структуры возникают при закачке в пласт воды, газа и других агентов, поддерживающих пластовое давление. Наличие фрактальных структур может быть связано с загрязнением прискважинных зон пласта. Очистка этих зон сводится к разрушению этих фракталов и требует значительных затрат времени и средств.

Анализ современных технических средств сейсморазведки полезных ископаемых позволяет констатировать, что реализация уникальных возможностей сейсмоакустических источников волновых полей сдерживаются вследствие применения чрезмерно упрощенных моделей рассеяния сейсмических и акустических волн, отсутствия должного математического обеспечения процессов обработки результатов измерений. Подобная ситуация характерна для геологии нефти и газа, нефтегазодобывающей промышленности. Вероятно поэтому остается низким коэффициент успешности в поисково-разведочных работах, все еще мал процент извлечения нефти из пластов. В силу этого нужны новые подходы к изучению геодинамики и напряженного состояния нефтенасыщенных объектов.

В настоящей работе рассматриваются возможности существенного повышения информативности средств сейсмоакустической локации, применяемых для геологоразведки и мониторинга геофизической обстановки залежей нефти и газа, на основе фрактального моделирования рассеяния сейсмических и акустических полей. Показано, в частности, что использование этих методов позволяет осуществлять детальную диагностику геодинамики нефтегазоносных коллекторов при наложенных техногенных процессах. Исследована взаимосвязь между фрактальной структурой неупорядоченной нефтегазонасыщенной упругой среды и фрактонных особенностей сейсмических и акустических волн, распространяющихся и рассеиваемых в ней.

Так фрактальные кластеры, образуемые песчаниками, имеют значения хаусдорфовой размерности D , располагающиеся в интервале D = 2,57 ¸ 2,87, (см., например, [1]). В отсутствие существенных перепадов давления перенос нефти или газа в терригенном коллекторе обусловлен диффузией на фрактале, отвечающем этой среде. Размерность фрактала зависит от сорта песчаника. Фрактальные свойства коллектора проявляются в широком диапазоне размеров песчаных частиц - от 0,1 до 100 мкм.

Хаусдорфова размерность D этого континуального двухфазного кластера определяется соотношением

D = d - b / n , (1)

где d - размерность пространства; b , n - критические термодинамические показатели системы, отвечающие так называемому двухпоказательному скейлингу. В предельном случае мелкозернистых пластов, когда их толщина h существенно превышает характерный размер песчаных частиц L , имеем d = 3 , b = 0,4 , n = 0,88 . При этом D = 2,55 , что совпадает с данными для кластерных систем, составленных из пустот пористого вещества. Если размеры частиц сравнимы с толщиной песчаной пленки, то можно считать, что d = 2 , причем b = 5/36, n = 4,3 и, следовательно, D » 1,9 . Такой промежуточный случай отвечает вариациям фрактальной размерности кластера в интервале 1,9 < D < 2,55 .

Перенос нефти в такой фрактальной структуре характеризуется плотностью вероятности f ( r, t ) найти частицу, помещенную в момент времени t = 0 в точку 0 , в точке r в момент времени t ¹ 0 . Поскольку функция f ( r, t ) является неаналитической и имеет особенности на всех масштабах, то нефтегазоносность коллектора можно описывать в указанных условиях уравнением диффузии на фрактале, которое в сферических координатах имеет вид

, (2)

где F ( r, t - плавная огибающая функции f ( r, t ) , K - обобщенный коэффициент диффузии, x - показатель аномальной диффузии.

Из решения этого уравнения следует выражение для среднего квадрата расстояния 2> , на которое передвигается частица за время t :

< r² > = [ K ( 2 + x )² t ] ^{2 / ( 2 + x )} G ( z + 2 ( 2 + x ) ^-1 ) G ( z ) . (3)

Через G ( z ) в (2) , (3) обозначена гамма-функция Эйлера; z = D ( 2 + x )^-1 .

При исследовании волновых процессов в материалах с фрактальной структурой наибольший интерес представляют спектры собственных колебаний фракталов, определяемые на основе аналогии между уравнениями упругих колебаний фракталов и уравнением случайных блужданий на фрактале [ 6,7 ] . Локализованные колебательные состояния на фракталах, сменяющие обычные фононные состояния при частотах, превышающих некоторую частоту перехода (кроссовера), именуются фрактонами. Частотное распределение фрактонов в силу масштабной инвариантности имеет степенной вид, причем показатель степени определяется так называемой фрактонной (спектральной) размерностью

d_f = 2D / ( 2 + x ) , (4)

выражаемой через показатель аномальной диффузии x > 0 . Фрактонная размерность характеризует размерность пространства в низкочастотной асимптотике плотности колебательных состояний.

Чрезвычайно важной в нефтегазогеологических исследованиях представляется возможность оценить фрактальную размерность неоднородностей земной коры по частотным зависимостям коэффициентов рассеяния сейсмических волн.

Так для Западной Сибири давно актуальна проблема изучения и оценки нефтегазоносности палеозойских образований, представляющих нижний формационно-тектонический комплекс плиты. Дело осложняется тем, что в силу особого строения и состояния этого слоя земной коры невозможно получить протяженные отражающие сейсмические горизонты, пригодные для достоверных структурных построений. В мезозойском чехле таких опорных горизонтов много [ 8 ] . Следствием этого явилась неоднозначная оценка перспективности палеозойских отложений, неуверенное картирование и разработка объектов.

Нами предпринята попытка обработки сейсмической информации по профилю, пересекающему ряд месторождений юга Западной Сибири. На временном разрезе выбраны участки, представляющие сложную картину акустических отражений в палеозое. Здесь наблюдается хаотичное распределение отражающих площадок, имеющих фрактальную структуру [ 8 ].

Фрактальная размерность - величина, имеющая много определений и способов вычисления. Важным ее свойством является то, что она входит в соотношения вида

a ( e ) = C e ^D ,(5)

где a - некоторая величина, зависящая от величины e , которая обычно характеризует линейный размер;C - постоянный коэффициент пропорциональности, а показатель степени D - является фрактальной размерностью. Если прологарифмировать, то в логарифмическом масштабе по e мы получим линейную зависимость с коэффициентом пропорциональности C :

ln a ( e ) = ln C + D ln e . (6)

Это свойство и использовалось в расчетах. По сейсмическому профилю, фрагмент которого показан в работе [ 8 ], в пределах выделенных палеозойских блоков были подсчитаны количества отражающих площадок разных размеров. Логарифмы полученных чисел представлены в виде графиков. Четыре и более точки, соответствующие разным размерам площадок, лежат на одной прямой, наклон которой в каждом случае и дает величину D .

При анализе полученных значений выяснилось, что от участка к участку, если имеется тектонический разлом, значение D резко меняется. Кроме того, между двумя блоками с близкими значениями D имеется третий, находящийся посередине, но с другой D . Здесь можно предполагать наличие структурного осложнения, объединяющего первые два блока. Таким образом, фрактальную величину D можно использовать как один из критериев сходства и различия участков (блоков). Необходимо отметить, что теория протекания была разработана на газожидкостных моделях (вода, заполняющая решетку из ячеек, из которых откачан воздух; воздух вытесняющий глицерин; вода, вытесняющая несмачиваемую жидкость, например нефть, и др.), а также на компьютерных моделях. Причем все перечисленные процессы обнаружили удивительное сходство своих фрактальных свойств. Вместе с тем эту теорию можно перенести и на процессы в твердых телах, если брать геологические масштабы времени, так как твердые тела в определенных условиях пластичны и "текут" подобно жидким. Что же касается пространственных масштабов, то здесь для фрактальных исследований доступен и микро- , и макроуровень, что явствует из самой сути используемого аппарата фрактальной математики.

Фрактальный кластер радиуса r содержит ~ r ^D узлов кластера. При блуждании на фрактале, как следует из (3), смещение от начального узла составит

r µ t ^{1 / ( 2 + x )}, (7)

где x 0 . В ситуации отсутствия фрактальности x = 0 , и имеет место обычное для диффузии соотношение r µ t ^1/2 .

Вероятности нахождения частицы в любом узле на расстоянии r от начального станут одинаковыми через достаточно большое время t при любом r . Поэтому вероятность оказаться через время t в начальном узле i можно представить в виде

w_ii µ r ^{- D µ} r ^{- D/(2+x )} .(8)

В случае колебаний фрактала плотность распределения его колебательных состояний r ( w ) по частотам w определяется на основе аналогии между уравнением упругих колебаний фракталов и уравнением случайных блужданий на фракталах:

. (9)

Фрактонная размерность d_f = d для плотности обычных фононных состояний на d - мерной регулярной решетке.

Область фрактального поведения реальных фрактальных структур ограничивается некоторым максимальным масштабом l . При этом на масштабах, превышающих l , и , следовательно, на низких частотах, не превышающих некоторую частоту кроссовера w_c (l) , реализуется ситуация обычного фононного спектра. На более высоких частотах происходит переход (кроссовер) к фрактонному спектру, что может характеризовать степень нефтегазонасыщенности исследуемых сред.

Напряженность упругой пористой среды связана с ее насыщенностью нефтью или газом. Поэтому вариации во времени фрактонной части спектра будут отражать геодинамику нефтегазонасыщенных систем, обусловленную техногенными процессами. Вместе с тем появляются возможности по пространственным изменениям фрактонных характеристик судить о насыщенности упругой среды нефтью и (или) газом, причем по переходу фрактонов в фононный спектр в ряде реальных ситуаций можно регистрировать границу нефтегазового месторождения.

Поскольку число частиц, составляющих реальный материал, должно соответствовать числу мод колебаний, то плотность состояний фононного ( r _p ) и фрактонного ( r _f ) спектров в единице объема выражается следующим образом:

, (10)

, (11)

здесь - число фрактальных фрагментов в единице объема, формирующих фононную часть спектра; - число частиц размера l ₀ во фрактальном фрагменте размера l ;

(12)

- фрактонная дебаевская частота, определяемая через частоту кроссовера w_c .

Фрактонная дебаевская частота, как и обычная дебаевская частота для фононного спектра, в качестве предела интегрирования обеспечивает нормировку числа колебаний на число частиц. Интегрируя плотности r _p ( w ) и r _f ( w ) на интервалах ( 0 , w_c ) и ( w_c , w_d ) соответственно, получаем, что полное число фононных состояний N _p = N , тогда как для фрактонов полное число колебательных мод N _f = N ( n - 1 ) . Полное число частиц равно числу всех колебательных состояний:

N = N_p + N_f = Nn .(13)

Из (10), (11) следует, что на частоте кроссовера плотность фононных состояний превышает плотность фрактонных состояний:

r _p = Nd > r _f = N_f d_{f ,} (14)