Вопросы экзамена по физике для вечерников МАИ (Вопросы экзамена по физике для вечерников МАИ (с ответами)), страница 8

Коэффициент отражения R частицы от высокого потенциального барьера бесконечной ширины всегда равен единице, а коэффициент пропускания D = 0.

( и ) D = 1 – R = 0.

. Микрочастица в потенциальной яме.

Рельеф потенциальной ямы аналитически и графически задается следующим образом:

.

А

нализ поведения микрочастицы в потенциальной яме можно провести, представляя яму в виде двух потенциальных барьеров - ступенек бесконечной ширины. Как и ранее, рассмотрим 2 случая в зависимости от соотношения энергии Е частицы и глубины (высоты) U_о ямы:

1. E > U_о. Частица, пролетая над ямой (двумя потенциальными ступеньками), будет представляться  - функциями в виде бегущих волн разной длины волны; полная энергия частицы по-прежнему будет непрерывной и неизменной. На каждой из потенциальных границ-ступенек частица может испытывать отражение, а может с определенной вероятностью и пройти дальше.

2. E < U_о. Привлекаем результаты рассмотрения поведения микрочастицы с энергией меньшей высоты барьера, полученные ранее. Для частицы внутри ямы волновая функция имеет волновой характер, а вне ее - вид затухающих экспонент.

Волновое число k и энергия частицы в яме, как и в ящике, тоже квантуются, принимая следующие значения: ; р = k, . При n = 1 имеем основное состояние с минимальной энергией. Состояния с n = 2, 3,... называются возбужденными. Число энергетических уровней частицы в потенциальной яме оказывается ограниченным условием = U_о. Отсюда максимальное число энергетических уровней в яме равно: n_макс = (а/ )2mU_о.

П

отенциальная яма, в отличие от рассмотренного ранее ящика (пример 3), имеет стенки конечной высоты. Волновая функция на границах ящика должна была обращаться в ноль. Бесконечно высокие стенки уменьшают вероятность проникновения микрочастицы за их границы до нуля. В яме же, в силу конечной высоты ее стенок, волновая функция (а с нею и вероятность местонахождения) частицы, экспоненциально убывает и имеет ненулевые значения и за пределами ямы.

Энергетический спектр микрочастицы в яме, как и в ящике, является дискретным. Но, в отличие от ямы, число энергетических уровней в которой конечно, бесконечно высокие стенки ящика приводят к бесконечному числу энергетических уровней частицы в ящике. В яме же существует такое значение E_n энергии частицы, при котором она будет большей высоты U_о стенок ямы, и частица сможет выйти из ямы, стать свободной, где ее энергия непрерывна.

Общие условия квантования энергии.

В классической физике определенное квантование движения имело место применительно к волнам (и колебаниям) в условиях их локализации (например, в резонаторах). В области локализации устанавливался характерный (резонансный) режим стоячих волн, при котором на ее длине L должно было укладываться целое число n длин полуволн, то есть L = n/2. Частотный спектр резонатора оказывался при этом дискретным. Так, набор собственных частот электромагнитных колебаний резонатора определяется выражением _{рез n} = с/ = nс/2L, где n = 1, 2, 3, .. . Энергия же осциллятора в классической физике связана не с частотой, а с амплитудой, и потому, как и амплитуда, может принимать любые значения, то есть обладает непрерывным спектром.

В квантовой механике, как показывают рассмотренные выше примеры, в условиях локализации микрочастицы ее движение изображается волновой функцией также в виде стоячей волны. Эта волна также обладает дискретным спектром частот (волновых чисел k = 2/). Но здесь эта дискретность влечет за собой дискретность импульсного (р = k) и энергетического (Е  k²) спектра частицы.

Можно сделать общий вывод, что любое связанное, "запертое", локализованное состояние микрочастицы (в какой либо потенциальной яме) обладает квантованными значениями мер движения (энергии и импульса). Характер движения связанной частицы является финитным (ограниченным), в отличие от инфинитного (неограниченного) движения свободной частицы.

Аналитически общие условия квантования энергии микрочастицы и можно задать как условия ее локализации (двухсторонней пространственной ограниченности области ее движения): .

Волновая функция (х) квадратом своего модуля |(х)|² выражает плотность вероятности
местонахождений частицы. Поэтому условие (х)  0 при х    означает, что с ненулевой вероятностью частица обнаруживается в некоторой конечной, ограниченной области (между –  и + ), которая и есть область ее локализации.

Характерные особенности движения частиц в ямах:

1. Спектр энергии дискретен.

2. В наинизшем состоянии (n = 1) энергия частицы отлична от нуля.

3. Квантование тем заметнее, чем меньше масса частицы и размеры ямы.

4. При больших n квантование нивелируется, имеем, согласно принципу соответствия, переход от квантовой к классической механике.

Влияние формы потенциальной ямы на квантование энергии частицы

1. Гармонический осциллятор.

П

од гармоническим (линейным) осциллятором понимают частицу (систему), на которую действует упругая сила F = - kx, и под действием которой частица совершает гармонические колебания. Потенциальная энергия при этом определяется формулой U = kх²/2. Такой потенциальный профиль представляет собой потенциальную яму (ящик) со стенками параболической формы.

В соответствии с рассмотренными ранее общими условиями, энергия линейного гармонического осциллятора должна квантоваться, т. е. принимать дискретные значения.

Напомним сначала результаты классического рассмотрения задачи о гармоническом осцилляторе. Там, на основе уравнения движения - второго закона Ньютона: с упругой силой F = - kx, получается решение в виде: , где - частота собственных колебаний осциллятора. Потенциальная энергия и кинетическая энергия осциллятора изменяются так, что их сумма . Таким образом, в классическом случае амплитуда и энергия колебаний изменяются непрерывно, будучи ограничены пределами, соответственно, x_о и . Качественно можно оценить распределение вероятностей местонахождения гармонически колеблющейся частицы. Положение равновесия х = 0, осциллятор пролетает, имея наибольшую скорость, т. е. наиболее быстро. На краях же (в точках поворота), при х =  х_о, осциллятор (маятник) замедляется до нулевой скорости. При этом притормаживании он задерживается в крайних точках, проводя в них время заметно большее, нежели в положении равновесия при х = 0. Таким образом, это качественное рассмотрение позволяет сделать вывод о том, что плотность вероятности dР/dх местонахождения осциллятора в положении равновесия минимальна, а в крайних точках - максимальна.

К

вантовый подход к анализу движения осциллятора.

Уравнением движения берем уравнение Шредингера для стационарных состояний

с потенциальной энергией в виде: , где k = m_о².

Подставляя в уравнение Шредингера выражение для U, имеем:

.

Как показывается в теории дифференциальных уравнений, решение уравнения для линейного гармонического осциллятора имеет место лишь при определенных значениях энергии Е, которая играет роль параметра в уравнении. Разрешенные значения энергии линейного гармонического осциллятора, называемые его собственными значениями, выражаются следующей формулой:

Е_n = (n + 1/2) _о, где n = 0, 1, 2, ...

Энергетический спектр гармонического осциллятора является эквидистантным с = const.

В отличие от атома водорода, спектр гармонического осциллятора содержит всего одну спектральную линию, соответствующую частоте _о. Поэтому осциллятор может совершать переходы с n – го уровня лишь на соседние (n  1) - ые уровни. Эта его особенность отражается в существовании специального правила отбора для квантового числа n =  1. В соответствии с ним, квантовое число n гармонического осциллятора единовременно может изменяться лишь на единицу.

При n = 0 имеем состояние с так называемой нулевой энергией Е_о = _о/2. Наличие нулевой энергии является характерным отличием квантовой теории, специфическим квантовым эффектом. Его необходимость проистекает уже из соотношений неопределенности Гейзенберга, ибо Е_о = 0 означало бы наличие одновременно точных значений (нулевых) и координаты, и импульса.

В

классической теории наименьшая энергия осциллятора определялась температурой в соответствии с выражением E = kT = 0. Классическая теория допускала абсолютный покой. У квантового осциллятора существует наименьшая (нулевая) энергия, которую нельзя отобрать никаким охлаждением: Е_о = /2. Плотность вероятности местонахождения классической частицы в этом состоянии выражается так называемой дельта - функцией:

Квантовомеханический анализ приводит к следующему выражению для плотности вероятности в самом нижнем (нулевом) состоянии (при n = 0) .

Эта зависимость изображается так называемой Гауссовой кривой (или гауссианой).

Соответственно в следующих, возбужденных состояниях с n = 1, 2, ... плотность вероятности имеет следующий вид:

С возрастанием n волновая функция осциллирует все чаще, соответственно, возрастает число «равновероятных» мест, которые при n   покрывают собой практически всю доступную осциллятору область. Все меняется столь часто, что практически ничего не меняется. Имеем, согласно принципу соответствия, переход к классической механике.

Микрочастица может за счет туннелирования с некоторой вероятностью выходить за пределы  x_о, куда макрочастица заходить не может. Но всегда микрочастица возвращается обратно, ибо она связана, являясь осциллятором (гармонически колеблющейся системой).