Е и Н (1) (Курсовая)

1. Е и Н – волны прямоугольного волновода.

1. Волновые уравнения направляемых волн прямоугольного волновода.

Будем рассматривать регулярные направляющие системы. Это такие системы, свойства которых не меняются по длине системы. В дальнейшем будем считать осью направляющей системы ось z прямоугольной или цилиндрической системы координат. Таким образом, свойства регулярных направляющих систем не зависят от координаты z. Будем предполагать, что направляемые волны распространяются в положительном направлении оси z. Поэтому для векторов поля можно записать следующие выражения:

Получим волновые уравнения. Для перехода к волновым уравнениям воспользуемся первыми двумя уравнениями электродинамики с комплексными векторами поля и комплексными проницаемостями:

(1) - закон полного тока.

(2) - обобщённый закон электромагнитной индукции Фарадея,

где и - абсолютные диэлектрическая и магнитная проницаемости в комплексном виде. При этом предполагается, что в направляющей системе сторонние источники отсутствуют. В этом случае система уравнений электродинамики сводится к двум уравнениям (1) и (2):

из (2) следует: . Подставляем это выражение в (1):

Умножаем обе части этого выражения на :

{ , }

- это волновое уравнение для - направляемой волны.

Получим теперь волновое уравнение для - направляемой волны:

Из (1) следует: . Подставляем это выражение в (2):

Умножаем обе части этого выражения на :

{ }

- это волновое уравнение для - направляемой волны.

В выше приведенных формулах - оператор Лапласса.

или

где - двумерный оператор Лапласса, который выражается через производные по поперечным координатам относительно оси направляющей системы.

Волновые уравнения для и - направляемых волн можно записать в виде:

В этих уравнениях .

Тогда: ; - волновые уравнения для направляемых волн.

В выше приведенных формулах:

- квадрат поперечного волнового числа;

- коэф. распространения в среде, заполняющей направляющую систему.

- коэф. распространения направляемой волны.

1. Связь между продольными и поперечными составляющими волн

прямоугольного волновода.

Для получения связи между продольными и поперечными составляющими направляемой волны воспользуемся первым и вторым уравнениями электродинамики при условии, что сторонний ток отсутствует.

(1)

(2)

В координатной форме записи уравнения (1) и (2) примут следующий вид:

1а. 2а.

1б. 2б.

1в. 2в.

Полученные уравнения можно рассмотреть как систему линейных алгебраических уравнений относительно составляющих: , , , .

Данную систему уравнений можно представить в векторной форме:

В этих уравнениях и - поперечные векторы.

;

1. Краевые задачи для быстрых Е и Н – волн прямоугольного волновода.

Определение полей Е и Н – волны в направляющей системе является краевыми задачами электродинамики. Краевую задачу можно сформулировать следующим образом: требуется определить продольную составляющую электрического поля для волны типа или продольную составляющую магнитного поля для волны типа , которые бы удовлетворяли в поперечном сечении направляющей системы волновым уравнениям, а на контуре поперечного сечения – граничным условиям электродинамики.

На поверхности идеального проводника касательные составляющие удовлетворяют следующим граничным условиям:

; ,

где - поверхностная плотность тока,

- вектор внутренней нормали к направляющей поверхности.

Построим в произвольной точке на внутренней поверхности направляющей системы прямоугольную систему координат так, чтобы ось была параллельна оси направляющей системы, ось была перпендикулярна направляющей поверхности. Тогда ось будет касательной к направляющей поверхности в данной точке. Проекция первого уравнения Максвелла на ось будет иметь следующий вид:

(1)

является касательной составляющей и равна 0.

является нормальной составляющей и в силу граничных условий равна 0.

Поэтому уравнение (1) примет вид:

Ось совпадает с направлением внутренней нормали , тогда граничные условия для продольной составляющей магнитного поля можно записать следующим образом:

на , где - нормаль к внутренней поверхности направляющей системы.

Краевая задача для Е – волн формулируется следующим образом:

на

на

Аналитическая формулировка краевой задачи для Н – волн имеет вид:

на

на

- поперечное сечение направляющей системы,

- контур поперечного сечения.

1. Решение краевых задач для Е и Н – волн.

1. Сначала решим краевую задачу для Е – волны.

(1) при

(2) при

где - размер широкой стенки волновода,

- размер узкой стенки волновода.

Уравнение (1) решаем методом разделения переменных:

(3) ,

где - функция только координаты ,

- функция только координаты .

Подставляем (3) в (2) и почленно делим на , получаем:

(4)

Равенство (4) возможно, если только: (5) и (6).

Уравнения (5) и (6) можно записать в виде:

Решения этих уравнения имеют следующий вид:

Величины являются постоянными интегрирования рассмотренных дифференциальных уравнений.

На вертикальных стенках волновода при , и .

Следовательно .

Так как , где

Аналогично получаем: , где

, .

, где .

Запишем выражения для составляющих поперечных векторов:

При этом .

1. Решим краевую задачу для Н – волны.

Краевая задача для Н – волны решается аналогично задачи для Е – волны при выполнении следующих граничных условий:

(7) при ,

(8) при .

Общее решение волнового уравнения для имеет вид, аналогичный решению предыдущей задачи:

(9) , где .

Удовлетворяя граничным условиям (7) и (8) получим: .

, , .

Подставляя значения в выражение (9), получаем:

, где ,

Итак, запишем выражения для поперечных составляющих векторов:

При этом .