62049 (Кибернетика), страница 7

(x,yM) [xTy x,yM₁ x,yM₂… x,yM_k].

Определение 2. Отношение Т на множестве М называется отношением эквивалентности, если x находится в отношении T с y тогда и только тогда, когда x и y принадлежат некоторому общему классу М_i данного разбиения, причем выполняются свойства рефлексивности, симметричности и транзитивности:

1. xTx –истинно;

2. xТyyTx;

3. xTy yTzxTz.

Определение 3. Отношение Т на множестве М называется отношением толерантности, если оно рефлексивно и симметрично.

Множество с заданным на нем отношением ({M, T}) называется (в зависимости от типа отношения) соответственно пространством идентичности, пространством эквивалентности и пространством толерантности.

Определение 4. Системы S₁, S₂, …, S_n идентичны, если на множестве систем (надсистеме) существует отношение идентичности.

Определение 5. Системы S₁, S₂, …, S_n эквивалентны, если на множестве систем (надсистеме) существует отношение эквивалентности. Эквивалентные системы обладают группой общих признаков.

Определение 6. Системы S₁, S₂, …, S_n толерантны, если на множестве систем (надсистеме) существует отношение толерантности. Толерантные системы имеют хотя бы один общий признак.

Количественный критерий сходства можно ввести в каждом классе метризацией пространств на основании признаков сходства.

Исходным пунктом метризации является морфологическое описание системы. Морфологическое сходство в определенной мере влияет на функциональное, но не наоборот. При идентичном функциональном описании системы могут иметь самую различную морфологию. Например, системы, описываемые дифференциальным уравнением вида

могут быть механическими, электрическими и биологическими.

Информационное описание определяет возможную точность оценки, как класса сходства систем, так и их близость внутри класса. Чем больше энтропия системы, тем не совершеннее оценка. Идентичные на первый взгляд системы могут оказаться эквивалентными из-за скрытости части свойств. Морфологическое сходство, однако, не означает функционально, поскольку незначительное количественное морфологическое отклонение может вызвать качественное функциональное различие.

В ряде случаев морфологическое различие обнаружить невозможно, и проявляется оно в существенном и легко наблюдаемом различии функциональных свойств. Например, у высших животных и у человека правая и левая половины мозга морфологически неразличимы. У высших животных они неразличимы и функционально. У человека функциональное различие легко обнаруживается.

К наиболее широкому классу сходства относится эквивалентность. Процесс развития системы связан с уменьшением сходства (углублением различия) с исходной системой за счет взаимного влияния морфологических признаков и функциональных свойств. Для сложной системы характерно сходство на определенном уровне декомпозиции, а выше и ниже этого уровня класс сходства может измениться не только из-за перестройки морфологии, но и из-за небольших количественных изменений.

Описание взаимодействия системы со средой должно учитывать возможность наличия в среде других систем, в том числе и однотипных. Пара (система, среда) или множество взаимодействующих систем образует надсистему, имеющую функциональное, морфологическое и информационное описания. Взаимодействие системы со средой и с другими системами внутри надсистемы классифицируется следующим образом:

• Необходимое взаимодействие (взаимообусловленность).

• Полностью согласованное взаимодействие (для естественных систем – строгое содружество).

• Не полностью согласованное взаимодействие (нестрогое содружество).

• Частично (детерминированно или стохастически) согласованное взаимодействие (коалиция).

• Безразличное (отсутствие взаимодействия).

• Частично-рассогласованное (детерминированно или статистически) взаимодействие (антикоалиция).

• Не полностью рассогласованное взаимодействие (нестрогий конфликт).

• Полностью рассогласованное взаимодействие.

• Антагонистическое взаимодействие (строгий конфликт).

При полностью согласованном взаимодействии интересы систем (в смысле эффективности) совпадают, а при рассогласованном они противоположны, однако это не означает, что системы не могут существовать автономно и независимо. При не полностью согласованном взаимодействии, интересы систем совпадают частично, а при не полностью рассогласованном - частично противоречивы, однако может оказаться, что в первом случае существует область противоречий, а во втором – область общих интересов. Более того, существует рассогласованное взаимодействие, при котором системы не могут обойтись друг без друга (экологическая система “хищник- жертва”). Взаимообусловленность предполагает, что одна система не может существовать без другой, а антагонизм – что одна система не может существовать при наличии другой.

Взаимодействие может быть односторонним и смешанным. Например, увеличение эффективности системы S_i влечет за собой увеличение эффективности системы S_j, а увеличение эффективности системы S_j не влияет на эффективность системы S_i. Смешанные формы взаимодействия особенно характерны для частично согласованного и частично рассогласованного взаимодействия (коалиция и антикоалиция).

Вопросы и упражнения

1. В чем состоит отношение идентичности? Какие системы считают идентичными? Приведите примеры идентичных систем.

2. В чем состоит отношение толерантности? Какие системы считают толерантными? Приведите примеры толерантных систем.

3. В чем состоит отношение эквивалентности? Какие системы считают эквивалентными? Приведите примеры эквивалентных систем.

4. Приведите примеры идентичных систем с различной морфологией.

5. Как связан выбор класса сходства систем с их энтропией?

6. Какой из классов сходства систем является самым широким? Самым узким? Приведите примеры.

7. Каким может быть взаимодействие системы с надсистемой и окружающей средой? Приведите примеры.

Глава 6. Методы описания структур

6.1 Структурные схемы

Формирование структуры является частью решения общей задачи описания системы. Структура выявляет общую конфигурацию системы, а не определяет систему в целом.

Если изобразить систему как совокупность блоков, осуществляющих некоторые функциональные преобразования, и связей между ними, то получим структурную схему, в обобщенном виде описывающую структуру системы. Под блоком обычно понимают, особенно в технических системах, функционально законченное и оформленное в виде отдельного целого устройство. Членение на блоки может осуществляться исходя из требуемой степени детализации описания структуры, наглядности отображения в ней особенностей процессов функционирования, присущих системе. Помимо функциональных, в структурную схему могут включаться логические блоки, позволяющие изменять характер функционирования в зависимости от того, выполняются или нет некоторые заранее заданные условия.

Структурные схемы наглядны и вмещают в себя информацию о большом числе структурных свойств системы. Они легко поддаются уточнению и конкретизации, в ходе которой не надо изменять всю схему, а достаточно заменить отдельные ее элементы структурными схемами, включающими не один, как раньше, а несколько взаимодействующих блоков.

Однако, структурная схема – это еще не модель структуры. Она с трудом поддается формализации и является скорее естественным мостиком, облегчающим переход от содержательного описания системы к математическому, чем действительным инструментом анализа и синтеза структур.

Воапросы и упражнения

1. Постройте структурную схему системы “троллейбус-водитель-пассажир”. Выделите цветом функциональные и логические блоки.

2. Постройте структурную схему системы “компьютер”. Какой тип описания (функциональный, информационный, морфологический) соответствует этой схеме?

3. Укажите достоинства при описании структуры методом структурных схем.

4. Почему структурная схема не является достаточно строгой моделью структуры системы?

6.2. Графы

Отношения между элементами структуры могут быть представлены соответствующим графом, что позволяет формализовать процесс исследования инвариантных во времени свойств систем и использовать хорошо развитый математический аппарат теории графов.

Определение. Графом называют тройку G=(M, R, P), где М- множество вершин, R-множество ребер (или дуг графа), Р- предикат инцидентности вершин и ребер графа. Р(x,y,r)=1 означает, что вершины x,yM инцидентны (связаны, лежат на) ребру графа rR.

Для того чтобы облегчить работу с графом, вершины его обычно нумеруют. Граф с пронумерованными вершинами называется отмеченным.

Каждое ребро графа связывает две вершины, называемые в этом случае смежными. Если граф отмечен, то ребро задается парой (i,j), где i и j – номера смежных вершин. Очевидно, что ребро (i,j) инцидентно вершинам i и j , и обратно.

Если все ребра графа заданы упорядоченными парами (i,j), в которых порядок расположения смежных вершин имеет значение, то граф называется ориентированным. Неориентированный граф не содержит ориентированных ребер. В частично ориентированном графе ориентированы не все ребра.

Геометрически графы изображают в виде диаграмм, на которых вершины отображаются точками, а ребра – отрезками, соединяющими смежные вершины. Ориентированное ребро задают отрезком со стрелкой.

Использование диаграмм настолько распространено, что обычно, говоря о графе, представляют себе именно диаграмму графа. Графы часто задают матрицей смежности (инцидентности). Это квадратная матрица, размерность которой определяется количеством вершин в графе. Если вершины i и j связаны, то значение соответствующего элемента матрицы единица, в противном случае – ноль. Направление дуг графа можно задать, введя дополнительное обозначение (–1) для противоположного направления связи.

Если ребра графа имеют некоторые числовые характеристики связи, то такие графы называются взвешенными. В этом случае матрица инцидентности содержит веса соответствующих связей, знак перед числом определяет направление ребра.

Важной характеристикой структурного графа является число возможных путей, по которым можно пройти от одной вершины к другой. Чем больше таких путей, тем совершеннее структура, но тем она избыточнее. Избыточность обеспечивает надежность структуры. Например, разрушение 90% нервных связей головного мозга не ощущается и не влияет на поведение. Может существовать и бесполезная избыточность, которая в структурном графе изображается в виде петель.

Рис.5

Одна из вершин через серию связей с другими вершинами замыкается на себя, не имея побочного выхода (рис.5). Наличие петель означает нерациональное расходование ресурсов. Обследование большого числа структур различных систем показало, что наличие петель – не такое редкое явление, как может показаться на первый взгляд. Обычно петли могут изыматься из структуры без всякого ущерба для ее функциональных и информационных свойств. Множество подсистем, входящих в петлю, образует изолированную подсистему.

Вопросы и упражнения

1. Что называют графом?

2. Что означает выражение “вершины инцидентны ребру”?

3. Какой граф называют ориентированным? Неориентированным? Частично ориентированным?

4. Как графически изображают графы?

5. Чем графы отличаются от структурных схем? В чем их преимущество перед структурными схемами?

6. Как на графе изображается бесполезная избыточность структуры?

7. Постройте граф для структуры системы “учебная группа”. Какого типа получился граф? Является ли он ориентированным? Взвешенным? Имеются ли в нем петли?

6.3. Классы структур

Выделим три класса структур: иерархические, неиерархические и смешанные. Для иерархических структур характерно наличие управляющих (командных) подсистем. В неиерархических структурах управляющие функции распределены между всеми элементами или группами элементов. Как правило, наличие иерархии является признаком высокого уровня организации, хотя могут существовать и неиерархические высокоорганизованные структуры. В функциональном отношении иерархические структуры более экономны. Избыточность структуры свидетельствует о нецелесообразном расходе ресурсов, который оправдан только в том случае, если целью является дальнейшее развитие системы, ее морфологическая перспектива.

Иерархической называется структура, удовлетворяющая следующим условиям:

1. каждая подсистема является либо управляющей, либо подчиненной, либо (по отношению к разным подсистемам) то и другое одновременно;

2. существует по крайней мере одна только подчиненная подсистема;

3. существует одна и только одна управляющая подсистема;

4. любая подчиненная подсистема непосредственно взаимодействует с одной и только одной управляющей (обратное не верно).

Обычно считается, что управляющая подсистема имеет две или более подчиненных. Иерархическую структуру в которой имеется по крайней мере одна управляющая и одновременно подчиненная подсистема, называют многоуровневой.

Для многоуровневых иерархических структур справедливо следующее:

1. подсистема более высокого уровня имеет дело с более широкими аспектами поведения системы в целом;

2. время преобразования входных компонент метаболизма в выходные увеличивается с увеличением уровня управляющей подсистемы;

3. подсистемы более высоких уровней иерархической структуры имеют дело с более медленными аспектами поведения системы;

4. с повышением уровня подсистем увеличивается удельный вес информационной компоненты метаболизма и ее роль в функциональной деятельности системы.

Неиерархические структуры являются производными от многосвязной структуры, в которой каждая подсистема непосредственно взаимодействует с любой другой.

Неиерархическими называются структуры, которые удовлетворяют следующим условиям:

1. существует по крайней мере одна подсистема, которая не является ни управляющей, ни подчиненной;

2. не существует подсистемы, которая является только управляющей;

3. не существует подсистемы, которая является только подчиненной;

4. любая подчиненная подсистема непосредственно взаимодействует более чем с одной управляющей (обратное необязательно).

Важная особенность неиерархической структуры состоит в том, что в ней нет подсистем, принимающих независимые от других подсистем решения. Кроме того, неиерархическая структура обычно обладает следующими свойствами:

1. любая подсистема может влиять на все аспекты поведения системы;

2. время преобразования входных компонент метаболизма в выходные слабо зависит от положения подсистемы в структуре;

3. функции подсистем легче изменяются в процессе взаимодействия.

Введем понятие лидерства.

Лидирующей называется подсистема, удовлетворяющая следующим требованиям:

1. подсистема не имеет детерминированного взаимодействия ни с одной подсистемой;

2. подсистема является управляющей (при непосредственном или опосредованном взаимодействии) по отношению к части (наибольшему числу подсистем);

3. подсистема либо не является управляемой (подчиненной), либо управляется наименьшим (по сравнению с другими) числом подсистем.

Лидирующих подсистем может быть больше одной, при нескольких лидирующих подсистемах возможна главная лидирующая подсистема. Подсистема высшего уровня иерархической структуры одновременно должна быть главной лидирующей, если же этого нет, то предполагаемая иерархическая структура либо неустойчива, либо не соответствует истинной структуре системы.