62019 (Прогнозирование с учетом фактора старения информации), страница 4

Если предположить, что параметр экспоненциального распределения имеет тенденцию изменяться во времени, которая может быть описана уравнениями тренда (например, уравнением экспоненты), то в этом случае интенсивность старения ин­формации будет определяться двумя составляющими: константой а, не зависящей от длительности жизненного цикла полезной информации, и слагаемым, экспоненциального растущим со временем

(2.11)

Эта функция, постоянные которой а, b и определяются статистическим путем на основе известных алгоритмов (методом трех сумм, методом трех точек и др.) имеет горизонтальную асимптоту, равную а. Ее график стремится к асимптоте при , но никогда ее не пересекает. Параметр b равен разности между ординатой кривой (при ) и асимптотой. Тогда, подставляя выражение (2.11) в зависимость (2.6) после очевидных преобразований, можно получить

. (2.12)

Это дифференциальный закон распределения Гомперца-Макегама. Его частным случаем при (т.е. в случае представления уравнения тренда интенсивности простой экспонентой) является распределение Гомперца. Последнее для прогнозирования длительности жизненного цикла полезной информации может представлять особый интерес, так как является стохасти­ческим аналогом весьма известной кривой Гомперца, которая применяется при аппроксимации статистических данных процессов развития благодаря своей асимметричности. Нетрудно заметить, что распределение Гомперца-Макегама, как и кривые Бартона-Кеблера, отражают процесс старения двух различных по интенсивности старения потоков информации, а кривая Гомперца описывает процесс быстрой потери ценности информации, поэтому эта модель предпочтительна для решения динамических задач краткосрочного прогнозирования (см. табл. 3, приложение С).

4.3. Вероятностные модели механизма старения информации

Общий способ построения широкого класса вероятностных моделей старения информации при рандомизации параметра и использовании аппарата характеристических функций рассмотрим на следующем примере, имеющем прикладное значение. Так, например, если маргинальное (частное) распределение параметра Т₀ в свою очередь имеет плотность

(2.13)

(случайный характер параметра Т₀ может быть обусловлен нарушением стационарности процесса, неоднородностью ретроспективного ряда значений Т₀, ограниченным объемом информации и др.), то характеристическая функция безусловного распределения случайной величины Т₀ будет иметь вид

, (2.14)

где - характеристическая функция экспоненциаль­ного распределения.

С помощью формулы обращения, плотность распределения случайной величины Г определяется следующим образом

, (2,15)

где - модифицированная функция Бесселя третьего порядка.

На продолжительность существования полезной для про­гноза информации оказывает влияние колебание (изменение) цен на товары и услуги, динамика бюджета потребителя, изменение объема спроса на товар и других в общем случае ограниченного числа факторов.

В связи с этим представляется целесообразным при формировании математической модели старения информации использовать теоретико-вероятностную схему формирования законов распределения микроэкономических показателей как сумм не­большого случайного числа случайных величин.

К первым работам о суммах случайного числа случайных слагаемых относятся работы А.Н. Колмогорова и Ю.В. Прохорова, Вальда, Вольфовица и др. В основном в этих работах представлены результаты, касающиеся моментов для рассматриваемых сумм (теоремы вальдовского типа) и вопросы теории предельных распределений. В ряде работ (В.М. Круглов, Д. Саас и др.) для сумм случайного числа случайных слагаемых доказан ряд теорем, в которых предполагается существование предельных распределений случайного числа случайных слагаемых и при соответствующих дополнительных условиях утверждается существование предельного (в некоторых случаях нормального) распределения для сумм случайного числа случайных слагаемых. Такого рода теоремы в теории предельных распределений для сумм случайного числа случайных величин называются теоремами переноса. Полученные результаты (теоремы вальдовского типа и теоремы переноса) хотя важны для разнообразных применений, но в основном для рассматриваемого вопроса имеют ограниченный интерес.

Решение практических задач анализа и прогнозирования времени существования полезной информации в микроэкономике требует применения методов построения непредельных распределений сумм случайного числа случайных величин, нахождения их квантильных функций и оценки с их помощью предпрогнозного фона.

Основываясь на свойствах характеристической функции

(2.16)

и используя ее основные свойства, приведем некоторые результаты, касающиеся законов распределения для сумм

n первых случайных величин из бесконечной последовательности

где само число слагаемых n есть случайная величина. В дальнейшем r будем обозначать случайную величину, способную принимать неотрицательные значения в зависимости от схематизации стохастического эксперимента

Вероятность события заключающуюся в том, что , обозначим

Кроме того будем предполагать, что случайные величины независимы, одинаково распределены и независимы от случайной величины п. Будем также предполагать существование математических ожиданий

и (2.17)

Функция распределения суммы случайного числа n случайных величин Х_i, на основании мультипликативного свойства характеристической функции определяется характе­ристической функцией

, (2.18)

где характеристическая функция случайной величины Х.

С помощью формулы обращения запишем формулу для плотности распределения

(2.19)

Конечность выражения

гарантирует замену порядка суммирования и интегрирования, следовательно

(2.20)

В силу мультипликативности свойства функции (2.16) и теоремы единственности

(2.21)

где - плотность распределения сумм n случайных величин X_i/

Таким образом, плотность непредельного распределения случайного числа случайных величин представляет собой смесь распределений с плотностью f_n(x) вероятность появления ко­торых в случайной выборке (удельный вес наблюдений в общей генеральной совокупности) равна Р_n. Следует заметить, что та­кого рода комбинации распределений удобны в методологиче­ском плане и могут найти применение в прикладной стати­стике при анализе генеральных совокупностей, объединяю­щих в себе несколько подсовокупностей, каждая из которых, в определенном смысле, однородна и описывается основным мо­дельным распределением, например, нормальным, экспо­ненциальным и т.д. В рассматриваемой проблеме подсовокупности могут описывать статистику промежутков между кванта­ми информации.

В качестве примера рассмотрим распределение суммы пуассоновского числа стандартных нормальных величин.

Характеристическая функция стандартного нормального распределения

(2.22)

Отсюда характеристическая функция распределения суммы пуассоновского числа стандартных нормальных величин имеет вид

(2.23)

(2.24)

В результате интегрирования получим

(2.25)

Полученная плотность распределения претерпевает значительную деформацию по сравнению с предельным нормальным распределением. Сумма случайного числа случайных величин, как видно из формулы (2.25), распределена по закону, отлично­го от нормального, и это отличие тем существенней, чем больше удельный вес имеют вероятности получения малых значений случайных чисел п. Это обстоятельство имеет весьма важное значение для решения вопроса отбраковки устаревшей информации.

К аналогичному выводу можно прийти, рассматривая сумму пуассоновского числа экспоненциально распределенных слу­чайных величин. В этом случае плотность распределения имеет вид

(2.26)

где  – величина, обратная среднему значению случайной величины Т.

Таким образом, применение предложенного подхода позволит более объективно выявить статистическую закономерность формирования времени существования полезной информации и решить ряд задач отбраковки устаревших данных при прогнозировании микроэкономических показателей.

4.4. Определение глубины предпрогнозной ретроспекции с учетом старения информации

Наиболее общая постановка задачи сравнения результатов прогнозных расчетов, полученных с использованием различной глубины ретроспекции, заключается в следующем. С целью выявления периода старения информации определяется k значений глубины ретроспекции (Т₂, Т₃, …, Т_k+1). Значение Т₁=0 целесообразно принять за контрольную точку, так как вполне очевидно, что в этой точке информация еще не устарела и ее можно считать наиболее ценной и достоверной. В ходе прогнозных исследований определяется … значений точечных оценок прогноза X_j(T_j). Если ввести в рассмотрение разность точечных оценок

Z₁=X₂(T₂)-X₁(T₁), Z₂=X₃(T₃)-X₃(T₂),…,Z_j=
=X_j+1(T_j+1)-X_j(T_j),…Z_k=X_k+1(T_k+1)-X_k(T_k), (2.27)

то значения Z_j(j=1, …, k) можно считать независимыми случайными величинами, поведение которых описывается некоторым неизвестным законом распределения F(Z).

Ограниченный объем используемой информации не позво­ляет достаточно надежно его определить методами математи­ческой статистики. Поэтому требуется разработка специальных методов решения задачи сравнения результатов прогнозов по ограниченному набору ретроспекций.

Следует заметить, что выборочные моменты (математиче­ское ожидание, дисперсия и др.) могут быть определены по вы­борке Z_j(j=1, …, k).

Определение закона распределения случайной величины Z и его анализ позволяют дать статистическую и смысловую интер­претацию результатов сравнения прогнозных исследований, оп­ределить коэффициент доверия (или построить доверительную область), проверить статистическую гипотезу о непротиворечи­вости данных прогноза и контрольного значения динамического ряда.