25001 (Моделирование SH-волны), страница 2

Возможно еще одно воздействие коэффициента отражения А на отраженную волну. Если А > 0, то отраженная волна имеет тот же знак (направление) смещения, что и первичная волна. Если же А 0.

Рис.8

Тогда при А < 0 первое смещение отраженной волны направлено в сторону у < 0. В физике такое явление называют отражением с потерей полуволны, в сейсморазведке - изменением полярности первого вступления волны. При нормальном падении и при :

.

Например, при км/с, г/cм , км/с, г/см коэффициенты рассеивания имеют значения: A = 0,25, В = 1,25. При нормальном падении отраженная волна имеет амплитуду, в четыре раза меньшую амплитуды первичной волны, а проходящая волна превосходит ее по амплитуде на 25%. Подстановка теоретически возможного предела изменения угла падения дает и А = - 1, а В = 0. Отраженная волна имеет ту же амплитуду, что и волна падающая, но инвертирована (обращена) по знаку смещения в сравнении с ней. Проходящая волна отсутствует, что вполне естественно. Обратим внимание на то, что при изменении угла падения от 0 до коэффициент отражения меняет знак - при α = 0 A > 0, а при α = А<0. Значит, при некотором угле падения коэффициент отражения равен 0 и отраженная волна отсутствует (!). Так как В = 1 + А, то при α = В = 1 и проходящая волна имеет в точности ту же амплитуду, что и первичная волна. Найдем этот угол из условия А = 0:

.

По закону Снеллиуса

.

Поэтому условие А = 0 принимает вид:

.

Отсюда, после преобразований найдем по его синусу:

.

При уменьшении различия физических свойств плотности пород сближаются более быстро, чем скорости. При :

.

В пределе, когда и . Следовательно, в рассматриваемом случае угол падения , при котором А = 0, находится в диапазоне углов падения, больших , удаляясь от этой величины в сторону больших углов по мере увеличения различий физических свойств контактирующих сред (контрастности границы).

Для выбранных ранее в качестве примера параметров сред sin 0,84 и . Значит, в диапазоне углов падения от 0° до 57° коэффициент отражения А положителен, коэффициент прохождения В >1. При А = 0, В = 1, а при α > А < 0, В < 1. При углах, меньших , отраженный сигнал имеет тот же знак смещения, что и первичная волна, при угле падения, равном , отраженная волна отсутствует, а при углах, больших , она подобна первичной волне с инвертированным знаком смещения.

Для выбранных параметров разреза на рис.9 приведен единый график А (α) и В (α) = 1 + А (α), снабженный двумя шкалами оси ординат со смещенными на единицу нулями. В нижней части рисунка изображены схематические импульсоиды падающей волны u (t) и вторичных волн - отраженной и проходящей для различных углов падения.

Как видно из рисунка, при малых углах падения изменения спектральных коэффициентов А и В незначительны. Соответственно, малы и изменения амплитуды вторичных волн. Это является благоприятным фактором для сейсмической разведки.

Рис.9

С приближением угла падения к спад кривой ускоряется, отраженная волна затухает до нуля при , а амплитуда проходящей волны стремится к амплитуде волны падающей.

При углах, больших , происходит стремительное падение кривой к пределам: А (α → 90°) → -1; B (α → 90°) → 0. Отраженная волна, поменяв знак смещения на обратный при , стремится к падающей волне с инвертированным знаком смещения. Проходящая волна столь же быстро затухает до нуля.

4. Волны рассеивания при падении SH-волны на кровлю высокоскоростной среды

Нижняя среда - более плотная и имеет большую скорость распространения волны, чем верхняя:.

и .

В соответствии с законом Снеллиуса, угол прохождения всегда больше угла падения и равному ему угла отражения: . При изменении угле падения от нуля до теоретически возможного предела 90° угол прохождения растет быстрее и становится равным 90° при . В этом случае

и ,

где - критический угол падения. При таком падении проходящая волна не уходит в глубь нижней среды, а скользит вдоль границы со скоростью .Эта скользящая волна порождает в верхней низкоскоростной среде вторичную волну, называемую в сейсморазведке головной или преломленной. На регистрации таких волн основан второй метод сейсморазведки - метод преломленных волн (МПВ), - первым и основным, но вторым по времени возникновения, является метод отраженных волн (МОВ).

При нормальном падении все косинусы равны единице, коэффициент отражения отрицателен, а коэффициент прохождения меньше единицы. Следовательно, в этом случае отраженная волна противоположна падающей по знаку смещений (отражение с потерей полуволны), а проходящая волна имеет меньшую амплитуду, чем волна падающая:

при α = 0 и A < 0 и B < 1 и = B · u (τ) < u (τ).

При критическом угле падения угол прохождения и А = 1, В = 1 + А = 2. Отраженная волна имеет ту же амплитуду, что и волна падающая, а проходящая волна по амплитуде вдвое превосходит ее:

при А = 1 и В = 2 и .

Видно, что и при коэффициент отражения меняет свой знак: при нормальном падении А < 0, а при А = 1 > 0, и существует угол , при котором А = 0 и , В = 1 и , - отраженной волны нет, есть только проходящая вторичная волна с амплитудой, равной амплитуде падающей волны. Синус этого угла определен ранее, но, так как , формулу для удобнее записать, умножив числитель и знаменатель подкоренного выражения на - 1:

.

При дальнейшем увеличении угла падения, когда , коэффициент отражения А стремительно возрастает от 0 при до 1, при одновременно и также быстро В растет от 1 до 2. Однако, более существенные изменения коэффициентов А и В и вторичных волн - отраженной и проходящей - происходят, когда угол падения становится больше критического. Если (напомним, ), в соответствии с законом Снеллиуса:

и

синус угле прохождения при закритическом падении становится больше единицы (?!). Это не может быть в области действительных тригонометрических функций. Определим косинус угле прохождения по обычной формуле:

, так как .

Синусу, большему 1, соответствует чисто мнимый косинус.

Встретившись с этой неожиданной трансформацией косинуса, мы, из осторожности, записали оба возможных знака (±) корня. Установим, какой из них имеет физический смысл. Для этого вспомним описание проходящей волны (в волновой аргумент которой и входит ) и ее спектра:

Подставим в последнее определение

:

Наличие мнимой единицы в определении косинуса выводит зависимость от z из функции запаздывания и превращает ее в амплитудный множитель . Если определить , то с ростом z (то есть, при удалении от границы и от предполагаемого источника колебаний) амплитуда гармоники частоты ω неограниченно возрастает:

при z → ∞ .

Физически это абсолютно невозможно, поэтому из двух знаков мнимого косинуса следует выбрать минус: . Тогда амплитуда вторичной волны, определяемая множителем , стремится к нулю при удалении от границы (z → ∞).

Однако, спектр импульсного сигнала определен на всем бесконечном интервале частот: - ∞ ≤ ω ≤ ∞ и в волновом импульсе присутствуют как гармоники с положительными частотами, так и гармоники с ω < 0. Знак минус в определении “правильно действует" только для положительных частот. Для отрицательных частот знак минус гаснет и амплитуда гармоники частоты ω < 0 неограниченно возрастает по мере удаления от границы z → ∞. Это - снова нереально.

Чтобы обеспечить затухание всего спектра волны как для положительных, так и для отрицательных частот, определим:

,

где sgn (ω) - знаковая функция частоты:

.

В таком определении амплитудный множитель обеспечивает затухание гармонических составляющих со всеми частотами: если ω > 0, sgn (ω) = + 1 и - функция, убывающая с ростом z, если же ω < 0, sgn (ω) = - 1 и - так же убывающая по мере удаления от границы функция.

Обратим внимание на то, что с ростом абсолютного значения частоты ω затухание ускоряется - чем выше частота гармоники, тем быстрее она затухает с ростом z.

В функции запаздывания спектра проходящей волны осталась лишь пространственная переменная x: . Эта функция соответствует скольжению плоской волны вдоль границы со скоростью , меньшей истинной скорости волны в нижней среде, так как . Эта скользящая с “неправильной" скоростью волна имеет амплитуду, экспоненциально уменьшающуюся с глубиной, вдоль фронта волны. Эти две особенности закритической проходящей волны дают основание для ее специального наименования - она называется неоднородной плоской волной, в соответствии с характером распределения ее амплитуды по фронту.

Неоднородные плоские волны играют главенствующую роль в образовании преломленной (головной) волны, которую рассмотрим несколько позже в отдельном разделе. Здесь подчеркнем одно - все особенности неоднородной волны выявлены в результате анализа лишь волнового аргумента проходящей волны при закритическом падении плоской волны на границу раздела. Вид самой волновой функции этим анализом не затронут. Поэтому вернемся к исследованию поведения спектральных коэффициентов рассеивания и вторичных волн при закритическом падении первичной волны.

Итак, установлено, что при

где

.

Коэффициенты рассеивания А и В в этом случае описываются выражениями:

Знаком тождества подчеркнута комплексная зависимость коэффициентов рассеивания от частоты, оправдывающая введенное ранее определение А и В как спектральных коэффициентов рассеивания.

В числителе и знаменателе дроби, определяющей А - комплексно-сопряженные выражения: , имеющие одинаковый модуль (так как ) и противоположные по знаку аргументы. Поэтому модуль спектрального коэффициента выражения равен 1:

и не зависит ни от частоты, ни от угла падения. Фазово-частотный коэффициент отражения как аргумент дроби с комплексно-сопряженными числителем и знаменателем, равен:

.

Действительная realA и мнимая imageA части спектрального коэффициента отражения (СКО) равны:

,

где

.

Используя формулы косинуса и синуса двойного угла ( ), получим выражения для действительной и мнимой частей СКО в виде:

;

.