179295 (Статистические методы анализа качества), страница 7

Для построения гистограммы на оси абсцисс отмечают границы интервалов - точки а,, ..., ai-1 . Над каждым интервалом строится прямоугольник площадью п, (очевидно, если длина каждого интервала h, то высота этого прямоугольника n/h ). Получившаяся ступенчатая фигура называется гистограммой частот. При этом площадь гистограммы частот равна объему выборки п. Отрезок [а, аn,] назовем основанием гистограммы.

Аналогично строится и гистограмма относительных частот - ступенчатая фигура, состоящая из прямоугольников, площади которых равны n/h, то есть общая площадь гистограммы относительных частот равна 1.

6.2 Числовые характеристики случайных величин

Поведение любой случайной величины определяется ее распределением, средним значением и разбросом относительно этого среднего значения.

Средними значениями случайной величины являются ее

• математическое ожидание - среднее арифметическое всех значений случайной величины;

• мода - значение случайной величины, которое встречается чаще всего, то есть имеет наибольшую частоту;

• медиана - такое значение случайной величины, которое оказывается точно в середине упорядоченного вариационного ряда, то есть, если все

зафиксированные значения случайной величины расположить в порядке возрастания, то слева и справа от медианы окажется одинаковое число точек. При этом, если число наблюдений нечетно (n=2k+l), то в качестве медианы берут среднюю точку хk-1,, а если число наблюдений четно (n=2k), то медиана - это центр среднего интервала (хi.хk-1,), то есть ;X=(xi+Xk+1)/2.

Разброс случайной величины относительно средних значений характеризуется дисперсией или средним квадратическим отклонением (с.к.о.) - мерой рассеяния распределения относительно математического ожидания. При этом с.к.о. - это корень квадратный из дисперсии. Наибольший разброс случайной величины определяется размахом выборки, то есть величиной интервала, в который попадают все возможные значения случайной величины.

В математической статистике говорят о статистических оценках параметров распределения. Статистические оценки бывают точечные (определяемые одним числом) и интервальные (определяемые двумя числами -концами интервала). Точечные оценки дают представление о величине соответствующего параметра, а интервальные характеризуют точность и достоверность оценки.

Предположим, что в результате наблюдений получены n значений случайной величины Х : x1; , ... , xn . Для вычисления точечных оценок параметров распределения пользуются формулами:

среднее квадратичное отклонение s = v/5 ; (6.2.8)

Пример 6.2. Пусть в результате наблюдений получены следующие значения случайной величины X: (5; 6; 3; 6; 4; 5; 3; 7; 6;7;5;6).

Упорядоченный вариационный ряд: 3, 3,4, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 7, 7.

Таблица частот статистическое распределение:

X 3 4 5 6 7

2 1 3 4 2

Вычислим все числовые характеристики случайной величины хmin = 3; xmax = 7; медиана 5- x=(X6+X7)/2 = (5 + 6)/2 = 5,5;

мода Х = 6 , так как это значение встречалось чаще всего (n = 4);

выборочное среднее х = (2 3+1 4+3 5+4 6+2 7)/12 = 5,25 ;

размах R = 7 - 3 = 4 ;

выборочная дисперсия .S= D =(1/11) (2(3 - 5,25)2+ 1(4-5,25)2+ + 3 (5 - 5.25)2 + 4 (6 - 5,25)2 +2 (7 - 5,25)2) = 15/11 = 1,84 ;

среднее квадратичное отклонением s = 1,36 .

Замечание. Современная вычислительная техника, используя специальные пакеты прикладных программ, позволяет получить значения выборочной средней и дисперсии сразу же после введения данных выборки (наблюдаемых значений исследуемой случайной величины)

6.3 Типовые теоретические распределения случайных величин

Характер поведения случайной величины определяется ее распределением. Зная тип распределения случайной величины и его числовые характеристики, можно прогнозировать, какие значения будет принимать случайная величина в результате наблюдений, то есть можно делать определенные выводы обо всей генеральной совокупности.

Наиболее часто встречается нормальное (гауссовское) распределение. Это связано с тем, что разброс характеристик качества обусловлен суммой большого числа независимых ошибок, вызванных различными факторами, а согласно центральной предельной теореме Ляпунова в этом случае случайная величина имеет распределение, близкое к нормальному.

Нормальное распределение описывает непрерывную случайную величину, поэтому его задают плотностью вероятности/С.^. Плотность вероятности нормального распределения имеет вид:

Параметр и определяет точку максимума, через которую проходит ось симметрии графика функции, и указывает среднее арифметическое значение случайной величины, s показывает разброс распределения относительно среднего значения, то есть определяет "ширину" колокола (расстояние от оси симметрии до точки перегиба графика

Для удобства подсчета вероятностей любое нормальное распределение с параметрами а и σ преобразуют к стандартному (нормированному) нормальному распределению, параметры которого а = 0, s = 1, то есть плотность

Значения функции f(х) можно найти в справочных таблицах или получить, используя готовые компьютерные программы.

Другим часто встречающимся в технике распределением непрерывной случайной величины является закон Рэлея. Он описывает распределение погрешностей формы и расположения поверхностей (биение, эксцентриситет, непараллельность, неперпендикулярность и т.п.), когда эти погрешности определяются радиусом кругового рассеяния н а плоскости.

Если на плоскости задана система координат Оху, то точка с координатами (х,у; отстоит от начала координат на расстояние координат х и у - нормально распределенная случайная величина, то г - случайная величина, имеющая распределение Рэлея. Плотность вероятности этого распределения:

Для дискретных случайных величин наиболее распространенным является биномиальное распределение. Биномиальный закон распределения описывает вероятность того, что в выборке объема п некоторый признак встретится ровно k раз. Точнее, пусть проводится п независимых испытаний ("опытов"), в каждом из которых признак может проявиться ("успех опыта") с вероятностью р. Рассмотрим случайную величину Х - число "успехов" в данной серии испытаний. Это дискретная случайная величина, принимающая значения О, 1,... , п, причем вероятность того, что Х примет значение, равное k, то есть что ровно в k испытаниях будет зафиксирован исследуемый признак, вычисляется по формуле

Формула (6.3.13) называется формулой Бернулли, а закон распределения случайной величины X, задаваемый этой формулой, называется биномиальным, Параметрами биномиального распределения являются число опытов n и вероятность "успеха" р. Но так как нас интересуют среднее значение и разброс случайной величины относительно своего среднего значения, то отметим, что для биномиального распределения математическое ожидание т → up . а дисперсия →прц .

Биномиальный закон описывает в самой общей форме осуществление признака в повторной выборке (в частности, появление несоответствий).

Например, пусть в партии из N деталей ровно М имеют внешний дефект (неравномерность окраски). При контроле из партии извлекается деталь, фиксируется наличие либо отсутствие дефекта, после чего деталь извращается обратно. Если эти действия проделаны n раз, то вероятность того, что при этом k раз будет зарегистрирован дефект, вычисляется по формуле:

Если же извлеченная деталь не возвращается обратно (или все п деталей вынимаются одновременно), то вероятность того, что среди вынутых п деталей окажется ровно k с дефектом равна

В этом случае случайная величина Х - количество несоответствующих деталей в выборке задается гипергеометрическим законом распределения. Этот закон описывает осуществление признака в бесповторной выборке.

Когда N очень велико по сравнению с п (то есть объем генеральной совокупности по крайней мере на два порядка больше объема выборки), то несущественно, какая проводится выборка - бесповторная или повторная, ТО есть в этом случае вместо формулы (6.3.16) можно использовать формулу (6.3.15).

При больших значениях п формула Бернулли (6.3.13) заменяется формулой

которая фактически совпадает с формулой (6.3.1), то есть с нормальным законом распределения, параметры которого а = пр. s = npq.

Для распределения Пуассона математическое ожидание равно l,Дисперсия также равна l.

На рисунке 6.4 представлены два биномиальных распределения P^(k). У одного п = 30; р = 0,3 - оно близко к нормальному распределению с математическим ожиданием т, = пр =-- 9. У другого п = 30;р = 0,05 - оно близко к распределению Пуассона с математическим ожиданием mk = пр = 1,5.

СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Статистические методы повышения качества (Пер. с англ./ Под ред. С. Кумэ).-М.: Финансы и статистика, 1990.-304с.

2. Статистическое управление процессами (SPC). Руководство. Пер. с англ. (с дополн.). - Н.Новгород: АО НИЦ КД, СМЦ «Приоритет», 1997г.

3. Статистический контроль качества продукции на основе принципа распределения приоритетов/В.А. Лапидус, М.И. Розно, А.В. Глазунов и др.-ВЙ.: Финансы и статистика, 1991 .-224с.

4. Миттаг Х.-И.. Ринне X. Статистические методы обеспечения качества М.: Машиностроение, 1995.-616с.

5. ГОСТ Р 50779.0-95 Статистические методы. Основные положения.

6. ГОСТ Р 50779.30-95 Статистические методы. Приемочный контроль качества. Общие требования.

7. ГОСТ Р 50779.50-95 Статистические методы. Приемочный контроль качества по количественному признаку. Общие требования.

8. ГОСТ Р 50779.51-95 Статистические методы. Непрерывный приемочный контроль качества по альтернативному признаку.

9. ГОСТ Р 50779.52-95 Статистические методы. Приемочный контроль качества по альтернативному признаку.

10. ИСО 9000-ИСО 9004. ИСО 8402. Управление качеством продукции ( пер. с англ.).-М.: Изд-во стандартов, 1988.-96с.

11. ИСО 9000. Международные стандарты.