.

w – суммарный показатель какого-либо признака. (например, сумма реализации по какому-либо товару).

3. Средняя геометрическая – величина, используемая как средняя из отношений или в рядах, представленных в виде геометрической прогрессии. Ей удобно пользоваться, когда внимание уделяется не абсолютным разностям, а отношениям двух чисел (относительные величины). Она используется в расчётах среднегодовых темпов роста.

а) средняя геометрическая простая

,

П – знак произведения.

б) средняя геометрическая взвешенная

.

4. Средняя хронологическая применяется на практике для определения средних показателей на определённую дату (период): определение среднегодовой численности населения, среднегодовой численности скота, среднего размера остатков оборотных средств, среднесписочного числа рабочих и служащих. Исчисляется по формуле:

,

где Х – абсолютные уровни,

n – число абсолютных уровней.

5. Средняя квадратическая – вместо значений признака используются его квадраты.

а) средняя квадратическая простая

.

б) средняя квадратическая взвешенная

.

Любая взвешенная употребляется тогда, когда варианты имеет различную частоту. Употребление невзвешенной (простой) недопустимо. Вопрос о весах определяется по исходным данным.

Структурные средние применяются для характеристики внутреннего строения и структуры рядов распределения значений признака. Это мода и медиана.

Мода (МО) – это чаще всего встречающийся вариант, это то значение признака, которое соответствует максимальной точке теоретической кривой распределения.

В дискретном ряду распределения – это варианта, имеющая наибольшую частоту.

В интервальных рядах распределения с равными интервалами мода вычисляется по формуле:

,

где - нижняя граница модального интервала;

- величина модального интервала;

- частота, соответствующая модальному интервалу;

- частота, предшествующая модальному интервалу;

- частота интервала, следующего за модальным.

Медиана (МЕ) – величина, которая делит численность упорядоченного вариационного ряда на две равные части: одна часть имеет значения варьирующего признака меньшие, чем средний вариант, а другая – большие.

Для интервального ряда медианное значение, делящее всю совокупность на две равные части находится в интервале, чья кумулятивная частота (сумма накопленных частот) равна или превышает полусумму всех частот ряда. Для этого применяется формула:

,

где - нижняя граница медианного интервала;

- величина медианного интервала;

- частота медианного интервала;

- полусумма частот ряда;

- сумма накопленных частот, предшествующих медианному интервалу.

Решение типовых задач

Задача № 1.

На основании следующих исходных данных (табл. 1, графы 1 и 2) о производстве мыла и моющих средств предприятием за отчётный период определить общее количество выпущенной продукции в условно-натуральных единицах измерения (за условную единицу измерения принять мыло 40%-й жирности):

Таблица 1

Общий объём производства мыла и моющих средств по видам

Виды мыла и моющих средств	Кол-во, кг	Расчёты
		Коэф. перевода	Количество продукции в условно-натуральном исчислении, кг
1	2	3	4
Мыло хозяйственное 60%-й жирности	500		750
Мыло хозяйственное 40%-й жирности	250		250
Мыло туалетное 80%-й жирности	1500		3000
Стиральный порошок 10%-й жирности	2500		625
Итого	-		4625

Ход решения:

Для определения общего количества выпущенной предприятием продукции необходимо исчислить коэффициенты перевода. Если условной единицей измерения является мыло 40%-й жирности, то это значение жирности принимается равным единице. Расчёт коэффициентов перевода представлен в графе 3. Далее определим количество продукции в условно-натуральных единицах измерения (графа 4) путём перемножения данных граф 2 и 3.

Вывод: Общий объём производства мыла и моющих средств в 40%-м исчислении составил 4625 кг.

Задача № 2.

По данным о розничном товарообороте определить относительные величины выполнения договорных обязательств, динамики, координации.

Таблица 1

Универмаги	Розничный товарооборот, млн. грн.
	Фактический за базисный год	Отчётный год
		План	Факт
«Крым»	80	85,6	85
«Центральный»	110	117	120

Ход решения:

Вывод: Универмаг «Крым» недовыполнил обязательства на 0,7 %, а универмаг «Центральный» перевыполнил обязательства на 2,6 %. Товарооборот универмага «Крым» в отчётном году вырос на 6,3 %, а «Центрального» – на 9,1 %. В базисном году на 1 млн. грн. универмага «Крым» приходилось 1,375 млн. грн. универмага «Центральный», а в отчетном соответственно 1,4 млн. грн.

Задача № 3.

Имеются следующие данные о выполнении норм выработки рабочими.

Определите моду и медиану.

Таблица 1

Группа рабочих по выполнению норм выработки, % (х)	Число рабочих, % к итогу (f)	Накопленные частоты, %,
90-100	28	28
100-110	48	76
110-120	20	96
120-130	4	100
Итого	100	300

Ход решения:

1. Определим моду:

;

.

2.Определим медиану:

Вывод: мода равна 104,2%, медиана равна 104,58%.

Задача № 4.

На протяжении недели два акционерных банка, которые продавали акции по цене 2,0 и 3,0 грн. за одну, получили одинаковую выручку: по 1200 грн. Определить среднюю цену акции.

Ход решения:

Средняя цена акции определяется делением общей выручки двух банков (2400) на общее количество проданных акций (1000 шт.), вычисленную делением выручки каждого банка на цену акции: (1200/2) + (1200/3).

Расчёт можно представить в виде формулы:

,

где - цена акций; - выручка от реализации.

грн.

Поскольку выручка от реализации акций в двух банках одинакова ( ), то эту величину можно вынести за скобки в числителе и знаменателе и сократить:

грн.

Задачи для самостоятельного выполнения

Задача № 5.

Введение в действие жилья населением за свой счёт характеризуется следующими коэффициентами снижения (относительно предыдущего года):

Таблица 1

Год	2000	2001	2002
Коэффициент	0,93	0,81	0,99

Определить среднегодовой коэффициент снижения объемов введённого в действие жилья населением за свой счёт за 2000-2002 гг.

Задача № 6.

Урожайность и валовой сбор ячменя бригадами совхоза «Заря» характеризуется следующими данными: Определить среднюю урожайность ячменя по совхозу.

Таблица 1

Номер бригады	Урожайность, ц/га	Валовой сбор, ц
1	2	3
№1	22,0	5500
№2	23,0	6900
№3	22,5	7200

Задача № 7.

Плодоконсервным заводом выработано за месяц помидоров маринованных 30 тысяч банок объёмом 801 см³ и томатного сока 60 тысяч банок объёмом 200 см³.

Определите объём выработанной продукции в условно-натуральных единицах, т.е. в банках емкостью 353,4 см ³.

Задача № 8.

Численность населения Донецкой области составляет 5 267 000 чел., а в Киевской – 1 912 000 чел. Определить относительную величину сравнения. Сделать статистический вывод.

Задача № 9.

В Украине родилось за год 442,6 тыс. детей, среднегодовая численность населения – 50,9 млн. чел. Определить относительную величину интенсивности. Сделать статистический вывод.

Тесты для закрепления материала

Тест 1

Величина средней арифметической зависит от:

а) величины частот;

б) соотношения между частотами;

в) величины вариант.

Тест 2

Средние значения признака в двух совокупностях одинаковые. Может ли быть вариация признака в этих совокупностях разной:

а) да;