179247 (Статистика), страница 10

Бесповторный отбор даёт более точные результаты по сравнению с повторным, потому что одинаковые по объёму выборки при бесповторном исследовании охватывают больше единиц, чем повторные.

Способы формирования выборочной совокупности:

• Случайный;

• Механический;

• Типический (стратифицированный);

• Серийный (гнездовой);

Все виды отбора (кроме механического) могут быть повторными и бесповторными. Механический отбор всегда бесповторный.

Доля выборки – это отношение числа единиц выборочной совокупности к численности единиц генеральной совокупности :

.

Поскольку изучаемая статистическая совокупность состоит из единиц с варьирующими признаками, то состав выборочной совокупности может в той или иной мере отличаться от состава генеральной совокупности. Это объективно возникающее расхождение между характеристиками выборки и генеральной совокупности составляет ошибку выборки. Она зависит от ряда факторов:

• степени вариации изучаемого признака;

• численности выборки;

• методов отбора единиц в выборочную совокупность;

• принятого уровня достоверности результата обследования.

Для определения средней ошибки репрезентативности собственно случайной и механической выборки используют формулы, представленные в табл. 1.

Таблица 1

Средняя ошибка репрезентативности

Способ отбора	Определение средней	Определение выборочной доли
Повторный
Бесповторный

где - средний квадрат отклонений в выборке;

- численность выборочной совокупности;

- численность генеральной совокупности;

- доля обследованной части выборочной совокупности;

- необследованная часть генеральной совокупности;

- доля единиц, имеющих данный признак;

- доля единиц, не обладающих данным признаком.

Для обобщающей характеристики ошибки выборки наряду со средней рассчитывают и предельную ошибку выборки. Но утверждать, что данная генеральная средняя не выйдет за пределы средней ошибки выборки можно лишь с определённой степенью вероятности. В случае выборочного наблюдения предельная ошибка репрезентативности может быть больше, равна или меньше средней ошибки репрезентативности . Поэтому предельную ошибку репрезентативности вычисляют с определённой вероятностью , которой соответствует - разовое значение . С введением показателя кратности ошибки формула предельной ошибки репрезентативности имеет вид:

; ,

где - коэффициент доверия, который зависит от вероятности, с которой гарантируется значение предельной ошибки выборки.

Прибавляя предельную ошибку выборки к выборочной доле и отнимая её от неё, находят границы генеральной доли:

и .

В таблице 2 показаны формулы для вычисления предельной ошибки собственно случайной и механичной выборки.

Таблица 2

Предельные ошибки выборки

Способ отбора	Определение средней	Определение выборочной доли
Повторный
Бесповторный

где - предельная ошибка выборки для средней;

- предельная ошибка выборки для доли.

Во время выборочного наблюдения важно правильно определить необходимую численность выборки, которая с соответственной вероятностью обеспечивает установленную точность результатов наблюдения.

Формулы для определения необходимого объёма выборки представлены в таблице 3.

Таблица 3

Численность выборки

Способ отбора	Определение средней	Определение выборочной доли
Повторный
Бесповторный

Конечной целью какого-либо выборочного наблюдения является расширение его характеристик на генеральную совокупность. Выделяют два способа распространения данных выборочного наблюдения: 1) прямого пересчёта; 2) коэффициентов.

Решение типовых задач

Задача № 1.

При разработке материалов городского населения методом случайного бесповторного отбора было установлено, что в городе А 15% жителей старше 60 лет. Из общей численности населения города (500 тыс. чел.) было отобрано 50 тыс. чел. С вероятностью 0,683 определите предел, в котором находится доля жителей города А в возрасте старше 60 лет.

Определите среднюю ошибку выборочной доли.

Ход решения:

Рассчитаем среднюю ошибку выборочной доли:

.

Мы использовали формулу

.

С вероятностью 0,683 предельная ошибка выборочной доли составит:

Δ = 1 х 0,048 = 0,048 (или 4,8%)

Определим верхнюю границу генеральной доли:

0,15 + 0,048 = 0,198 (или 19,8%)

Определим нижнюю границу генеральной доли:

0,15 – 0,048 = 0,102 (или 10,2%)

Вывод: С вероятностью 0,683 можно утверждать, что доля жителей в возрасте старше 60 лет в городе А колеблется от 10,2 до 19,7%.

10, 2% < р < 19,8%

Задача № 2.

Для определения средней длины детали необходимо провести выборочное обследование методом случайного повторного отбора. Какое количество деталей надо отобрать, чтобы ошибка выборки не превышала 2 мм с вероятностью 0,954 при среднем квадратическом отклонении 8 мм.

Ход решения:

Таблица 1

Значения коэффициента доверия при выбранной вероятности

1	0,683
2	0,954
3	0,997
4	0,999

Рассчитаем необходимую численность выборки:

Задачи для самостоятельного выполнения

Задача №3.

При проверке веса импортируемого груза на таможне методом случайной повторной выборки было отобрано 200 изделий. В результате был установлен средний вес изделия 30 г при среднем квадратическом отклонении 4 г. С вероятностью 0,997 определите пределы, в которых находится средний вес изделий в генеральной совокупности.

Задача № 4.

При обследовании 100 образцов изделий, отобранных из партии в случайном повторном порядке, оказалось 20 нестандартных. С вероятностью 0,954 определите пределы, в которых находится доля нестандартной продукции в партии.

Задача № 5.

Среди выборочно обследованных 1000 семей региона по уровню среднедушевого дохода (выборка 2 %-ная, механическая) малообеспеченными оказалось 300 семей. С вероятностью 0,997 определите долю малообеспеченных семей в регионе.

Тесты для закрепления материала

Тест 1

При механической выборке установлено, что в 50 партиях сыра среднее содержание влаги составило 74 %, при среднем квадратическом отклонении 1,5 %. Какие из нижеприведённых показателей нужно вычислить, чтобы установить границы влаги в сыре в генеральной совокупности:

а) дисперсию;

б) размах вариации;

в) граничную ошибку выборки;

г) коэффициент вариации.

Тест 2

Средняя ошибка выборки вычисляется с целью:

а) изучения вариации признака;

б) определения среднего значения признака, который исследуется;

в) определения коэффициента роста;

г) установление возможных границ отклонений средней генеральной от средней выборочной.

Тест 3

Чтобы уменьшить среднюю ошибку выборки в два раза, объём случайной повторной выборки нужно:

а) увеличить в два раза;

б) увеличить в четыре раза;

в) уменьшить в два раза;

г) уменьшить в четыре раза.

Литература

1. Теорія статистики: Навчальний посібник / Вашків П.Г., Пастер П.Ш., Сторожук В.П., Ткач Є.Ш. – К.: Либідь, 2001. - 320 с.

2. Статистика: Підручник / С.С. Герасименко, А.В. Головач та ін. 2-е вид., перероб. і доп. – К. : КНЕУ, 2000. – 467 с.

3. Общая теория статистики: Статистическая методология в изучении коммерческой деятельности: Учебник /Под ред. О.Э. Башиной, А.А. Спирина. – 5-е изд, доп. и перераб. – М.: Финансы и статистика, 1999. – 440 с.

4. Захожай В.Б., Попов І.І., Коваленко О.В. Практикум з основ статистики: Навч. посіб. – К.: МАУП, 2001. - 176 с.

Тема 7. Статистическая проверка гипотез

План лекционных занятий

13. Статистическая проверка гипотез.

1. Общие понятия о гипотезе.

2. Этапы работы по статистической проверке гипотез.

14. Дисперсионный анализ.

14.1. Критерии согласия.

14.2. Элементы дисперсионного анализа.

Методические указания

Гипотеза – это научное предположение об особенностях явлений, которые их определяют, требующее проверки и доказательства.

Статистическая гипотеза – это определенное предположение, касающееся параметров или формы распределения генеральной совокупности, которое можно проверить, опираясь на результаты выборочного наблюдения. Суть проверки гипотез заключается в том, чтобы проверить, согласуются или нет результаты выборки с гипотезой, случайными или неслучайными являются расхождения между гипотезой и данными выборки.

При проверке гипотез имеется возможность совершить ошибки двоякого рода:

а) ошибка первого рода – проверяемая гипотеза (её обычно называют нулевой гипотезой) является в действительности верной, но результаты проверки приводят к отказу от неё;

б) ошибка второго рода – проверяемая гипотеза в действительности является ошибочной, но результаты проверки приводят к её принятию.

Чаще всего гипотеза, которую необходимо проверить, формулируется как отсутствие расхождений между неизвестным параметром генеральной совокупности и заданной величиной (нулевая гипотеза), обозначается . Содержание гипотезы записывается после двоеточия, например .

Статистическим критерием называется правило, согласно которому нулевая гипотеза принимается или отклоняется. Для каждого вида проверяемых гипотез разработаны специальные критерии, среди которых чаще всего используют - критерий нормального распределения и распределения Стьюдента, -критерий Фишера, распределения Пирсона («хи-квадрат») и другие.

Для построения статистического критерия, позволяющего проверить некоторую гипотезу, необходимо следующее:

1. Сформулировать проверяемую гипотезу . Наряду с проверяемой гипотезой формулируется также конкурирующая гипотеза (альтернативная);

2. выбрать уровень значимости , контролирующий допустимую вероятность ошибки первого рода;

3. определить область допустимых значений и так называемую критическую область;

4. принять то или иное решение на основе сравнения фактического и критического значений критерия.

Уровень значимости ( ) – это такое малое значение вероятности попадания критерия в критическую область при условии справедливости гипотезы, что появление этого события может расцениваться как следствие существенного расхождения выдвинутой гипотезы и результатов выборки. Обычно уровень значимости принимают равным 0,05 или 0,01.

Статистические критерии, используемые для проверки гипотез, бывают двух видов:

1. Параметрическими называю критерии, которые обосновываются на допущении: распределение случайной величины в совокупности подчиняется какому-либо известному закону (например, нормальному, биноминальному, Пуассона). К таким критериям относятся критерии .

2. Непараметрическими (порядковыми) называют критерии, использование которых не связано со знанием закона распределения случайной величины. Их можно использовать тогда, когда распределение значительно отличается от нормального. К таким критериям относятся критерий знаков Вилкоксона, Уайта, Манна-Уитни.

Параметрические критерии значительно эффективнее непараметрических.