82

Работа N4. Доверительные границы и интервалы

результатом применения тчечной оценки â(x₁,...,x_n) является одно числовое значение; оно не дает представления о точности, т.е. о том, насколько близко полученное значение к истинному значению параметра. Интуитивно ясно, что такое представление может дать, например, дисперсия оценки, так что истинное значение должно находиться где-то в пределах

â  (24)

Внесем уточнения.

1.Основные положения

1.1. Определения и построение интервалов

Пусть (x₁,...,x_n)  x - n независимых наблюдений над случайной величиной с законом распределения F(z/a), зависящим от параметра a, значение которого неизвестно.

Определение 1. Функция наблюдений a₁(x₁,...,x_n) (заметим, что это случайная величина) называется нижней доверительной границей для параметра a с уровнем доверия Р_Д (обычно близким к 1), если при любом значении

P{ a₁(x₁,...,x_n) a}  P_Д

Определение 2. Функция наблюдений a₂(x₁,...,x_n) (случайная величина) называется верхней доверительной границей для параметра с уровнем доверия Р_Д , если при любом значении

P{ a₂(x₁,...,x_n)  a }  P_Д .

Определение 3. Интервал со случайными концами (случайный интервал)

I(x) = ( a₁(x), a₂(x) ) ,

определяемый двумя функциями наблюдений, называется доверительным интервалом для параметра a с уровнем доверия Р_Д , если при любом значении a

P{ I(x) a }  P{ a₁(x₁,...,x_n)  a  a₂(x₁,...,x_n) }  P_Д ,

т.е. вероятность (зависящая от a) накрыть случайным интервалом I(x) истинное значение a - велика: больше или равна Р_Д.

Построение доверительных границ и интервалов. Для построения доверительного интервала (или границы) необходимо знать закон распределения статистики =(x₁,...,x_n), по которой оценивается неизвестный параметр (такой статистикой может быть оценка  = â(x₁,...,x_n) ). Один из способов построения состоит в следующем. Предположим, что некоторая случайная величина  = (, a), зависящая от статистики  и неизвестного параметра a такова, что

1) закон распределения известен и не зависит от a;

2) (, a) непрерывна и монотонна по .

Выберем диапазон для  интервал так, чтобы попадание в него было практически достоверно:

P{ f₁  (, a)  f₂ }  P_Д , (1)

для чего достаточно в качестве и взять квантили распределения уровня (1- Р_Д )/2 и (1+ Р_Д )/2 соответственно. Перейдем в (1) к другой записи случайного события, разрешив неравенства относительно параметра a; получим (полагая, что монотонно возрастает по ):

P{ g(, f₁)  a  g(, f₂) }  P_Д .

Это соотношение верно при любом значении параметра a (поскольку это так для (1)), и потому, согласно определению, случайный интервал

( g(, f₁) , g(, f₂) )

является доверительным для a с уровнем доверия Р_Д . Если убывает по , интервалом является ( g(, f₂) , g(, f₁) ).

Для построения односторонней границы для a выберем значения и так, чтобы

P{ (, a)  f₁ }  P_Д , f₁=Q(1 - P_Д )

или P{ (, a)  f₂ }  P_Д , f₂ = Q( P_Д ),

где  квантиль уровня . После разрешения неравенства под знаком получим односторонние доверительные границы для a.

Пример. Доверительный интервал с уровнем доверия Р_Д для среднего a нормальной совокупности при известной дисперсии  .

Пусть x , ... , x_n - выборка из нормальной N(a,  ) совокупности. Достаточной оценкой для а является

â = â(x ,...,x_n) = ,

распределенная по закону N(a, ) ; пронормируем её, образовав случайную величину

, (2)

которая распределена нормально N(0,1) при любом значении а.

По заданному уровню доверия Р_Д определим для  отрезок -f_p, f_p так, чтобы

, (3)

т.е. f_p - квантиль порядка (1+ Р_Д )/2 распределения N(0,1); заметим, что  зависит от а , но (3) верно при любом значении а. Подставим в (3) выражение для  из (2) и разрешим неравенство под знаком вероятности в (3) относительно а ; получим соотношение

, (4)

верное при любом значении а. под знаком вероятности две функции наблюдений

, ( 5)

определяют случайный интервал

I( x₁, ... , x_n) =(a₁( x₁, ... , x_n), a₂( x₁, ... , x_n)), (5a)

который в силу (4) обладает тем свойством , что накрывает неизвестное значение параметра а с большой вероятностью Р_Д при любом значении а, и потому, по определению доверительно интервала, он является доверительным с уровнем доверия Р_Д .

В общем случае случайную величину  в (1) можно построить следующим образом. Определим функцию распределения F(z/a) статистики  (F, конечно, зависит от а). Для непрерывной  случайная величина (, а) F( /a), как нетрудно видеть, распределена равномерно на отрезке 0, 1 при любом значении а; приняв f₁= (1- P_Д)/2, f₂ =(1+P_Д)/2, будем иметь в качестве (4)

P{f₁  F( /a)  f₂} = P_Д .

Для дискретной  ситуация аналогична.

Можно рассуждать иначе: при любом фиксированном значении а определим отрезок z₁(a), z₂(a)  так, что

P{ z₁(a)    z₂(a) }  Р_Д ; (6)

ясно, что в качестве z₁ и z₂ можно взять квантили, т.е. определить из условий

F(z_!/a)=(1- Р_Д )/2, F(z₂/a)=(1+ Р_Д )/2.

Если z₁(a) и z₂(a) монотонно возрастают по а, то, разрешив два неравенства под знаком Р в (6) и учитывая, что z₁(a) < z₂(a), получим:

P{ z₂^-1()  a  z₁^-1() }  Р_{Д ,}

вверное при любом а; ясно, что интервал ( z₂^-1() , z₁^-1() ), определяемый двумя функциями от  , является доверительным с уровнем доверия Р_Д.

1.2. Уровень доверия

Уровень доверия Р_Д означает, что правило определения интервала дает верный результат с вероятностью Р_Д, которая обычно выбирается близкой к 1, однако, 1 не равно.Убедимся статистически на примере в том, что доверительный интервал с уровнем доверия Р_Д может не содержать (с малой вероятностью 1- Р_Д ) истинное значение параметра.

Пример. рассмотрим приведенный в (5) случайный интервал I(x₁, ..., x_n), который при любом значении а накрывает это значение с большой вероятностью Р_Д:

Р{ I(x₁,...,x_n)  a } = Р_Д ,

и потому, если пренебречь возможностью осуществления события aI, имеющего малую вероятность (1-Р_Д), можно считать событие aI(x₁,...,x_n) практически достоверным, т.е. можно верить тому, что вычисленный по конкретным наблюдениям x₁,...,x_n интервал I содержит неизвестное значение параметра а.

Испытаем интервал (5) на 50 выборках объема n=10 для трех уровней доверия Р_Д : 0.9 , 0.99 , 0.999 (соответственно, три значения f_p) .

При Р_Д = 0.9 число неверных из k =50 результатов окажется в окрестности 5, так как среднее число неверных

k(1- Р_Д) = 5;

при Р_Д =0.99 появление хотя бы одного неверного из k =50 весьма вероятно: вероятность этого события

1- Р_Д^k=1-0.99⁵⁰  0.61;

при Р_Д =0.999 появление хотя бы одного неверного весьма сомнительно: вероятность этого события

1- Р_Д^k=1-0.999⁵⁰  0.05.

Задание.

1. Определить, сколько раз из k =50 доверительный интервал оказался неверным;.это сделаем для трех значений Р_Д . Графики для Р_Д =0.9 и Р_Д =0.99 распечатать. Выполнение в пакетах см. в пп. 2 - 4.

2. Провести аналогично 50 испытаний доверительного интервала (7) - (9) для случая неизвестной дисперсии.

1.3. Интервалы для параметров нормального распределения

Пусть х₁, … ,х_n - выборка из нормального N(a,²) распределения; значения среднего а и дисперсии ² неизвестны. Оценки для а и ²:

, . (7)

Как известно, доверительным интервалом для среднего а с уровнем доверия Р_Д при неизвестной дисперсии является интервал

I(x) = (a₁(х), a₂(х) ), (8)

где , , (9) t_p - квантиль порядка (1+ Р_Д)/2 распределения Стьюдента с n-1 степенями свободы.

Доверительным интервалом для стандартного отклонения  с уровнем доверия Р_Д является интервал

I (x)=(₁(х), ₂(х)) , (10)

где , , (11)

t₁ и t₂- квантили порядков соответственно (1+ Р_Д)/2 и (1- Р_Д)/2 распределения хи-квадрат с n-1 степенями свободы.

Сгенерируем выборку объема n=20 из нормального распределения с параметрами a =10, ²=2²=4 и определим доверительные интервалы для a и  с уровнем доверия Р_Д : 0.8 , 0.9 , 0.95 , 0.98 , 0.99 , 0.995 , 0.998 , 0.999. Результаты выпишем в виде таблицы. C ростом Р_Д интервал расширяется, с ростом n - уменьшается.

Выполнение см. в пп. 2 - 4.

Если нас интересуют не интервалы, а верхние или нижние доверительные границы, то, как известно, они определяются теми же формулами (9) è (11), îäíàêî, çíà÷åíèÿ ïîðîãîâ t изменяются. Например, нижней доверительной границей для a с уровнем доверия Р_Д является значение

,

где t_p - квантиль порядка Р_Д распределения Стьюдента с n-1 степенями свободы, а верхней границей для  с уровнем доверия Р_Д является

,