Министерство образования Российской Федерации

Сибирский государственный индустриальный университет

Кафедра литейного производства

Расчет затвердевания плоской отливки

в массивной форме

Выполнили: ст. гр. МЛА-97

Злобина С. А.

Карпинский А. В.

Кирина Л. В.

Тимаревский А. В.

Токар А. Н.

Проверил: доцент, к.т.н.

Передернин Л.В.

Новокузнецк 2001

Содержание

Содержание 2

Задание 3

Постановка задачи 4

1. Графическое представление 4

2. Математическая формулировка задачи 5

Метод расчета 7

Схема апроксимации 8

Алгоритм расчета 11

Идентификаторы 13

Блок-схема 14

Программа 17

Сравнение с инженерными методами расчета 20

Результаты расчета 21

Задание

Отливка в виде бесконечной плиты толщиной 2L_o=30 мм

Сплав: Латунь (10% Zn).

Форма: Песчано-глинистая объемная сырая (ПГФ).

Индексы: 1-Ме_тв, 2- Ме_ж, 4-форма.

а₁=3,610^-5 м²/с

а₂=2,110^-5 м²/с

₁=195 Вт/мК

₂=101 Вт/мК

₁=8600 кг/м³

₂=8000 кг/м³

L=221000 Дж/кг

b₄=1300 Втс^1/2/(м²К)

T_ф=293 К

T_s=1312,5 К

T_н=1345 К

N=100

e_t=0,01 c

e_Т=0,01 ^oC

Постановка задачи

1. Г
   рафическое представление

Принимаем следующие условия:

Отливка в виде бесконечной плиты толщиной 2Lo затвердевает в объемной массивной песчано-глинистой форме. Принимаем, что теплофизические характеристики формы и металла постоянны и одинаковы по всему объему, системы сосредоточенные, геометрическая ось совпадает тепловой и поэтому можно рассматривать только половину отливки. Lo<пов=Т_нач; такая форма называется бесконечной

Вектор плотности теплового потока (удельный тепловой поток) имеет направление перпендикулярное к поверхности раздела отливка-форма в любой момент времени t_k;

Нестационарное температурное поле – одномерное, Тj(х, t_k), j=1,2,4;

Температура затвердевания принимается постоянной, равной Ts;

Теплофизические характеристики сред, a_j=_j/c_j_j, j=1,2,4;

Теплоаккумулирующую способность формы примем постоянной, b_ф= =const;

C,, - теплофизические характеристики формы;

Переохлаждение не учитываем;

Удельная теплота кристаллизации L(Дж/кг) выделяется только на фронте затвердевания (nf) - условие Стефана;

Не учитывается диффузия химических элементов – квазиравновесное условие;

Перенос тепла за счет теплопроводности и конвекции учитывается введением коэффициента эффективной электропроводности:

для жидкой среды ₂=n*₀, где ₀ – теплопроводность неподвижного жидкого металла; n=10;

Не учитывается усадка металла при переходе из жидкого состояния в твердое;

Передача тепла в жидком и твердом металле происходит за счет теплопроводности и описывается законом Фурье:

q = - _jgradT, плотность теплового потока, Дж/(м²с);

Отливка и форма имеют плотный контакт в период всего процесса затвердевания (что реально для ПГФ);

теплоотдача на границе отливка – форма подчиняется закону Ньютона(-Рихтмона): q₁(t^k)=(T₁^к - T^ф) – для каждого момента времени t_к, где  - коэффициент теплоотдачи, для установившегося режима (автомодельного) = ;

Полученная таким образом содержательная модель и ее графическая интерпретация затвердевания плоской отливки в объемной массивной форме, упрощает формулировку математической модели и достаточно хорошо отражает затвердевание на тепловом уровне, т.е. позволяет получить закон T=f(x;t).

1. Математическая формулировка задачи

Математическая модель формулируется в виде краевой задачи, которая включает следующие положения:

а) Математическое выражение уравнения распределения теплоты в изучаемых средах.

Дифференциальное уравнение теплопроводности Фурье, которое имеет смысл связи, между временным изменением температуры и ее пространственным распределением:

Или в соответствии с условием 5 запишем:

; x[0,l_o], j= (1)

б) Условия однозначности:

1. Теплофизические характеристики сред

_j, _j, c_j, b_j, a_j, T_L, T_S

2. Начальные условия

2.1 Считаем, что заливка происходит мгновенно и мгновенно же образуется тончайшая корка твердого металла.

T₁^н(x, t^н)= T_S(E) (2)

2.2 Положение фронта затвердевания

t=t^н_задан. ,x=0, y(t^н)=0 (3)

2.3 Температура металла в отливке

T_j,i^н=T_н ; j=2, i(2,n) (4)

2.4 Температура на внешней поверхности формы (контакт форма - атмосфера) и температура формы.

T₄^н=T_ф (5)

3. Граничные условия

3.1 Условия сопряжения на фронте затвердевания (условия Стефана) i=nf

(6)

3.2 Температура на фронте затвердевания

(7)

3.3 Условие теплоотдачи на границе отливка-форма

(8)

- граничное условие третьего рода

3.4 Условие на оси симметрии

(9)

Задача, сформулированная в выражениях (1-9) есть краевая задача, которая решается численным методом.

Аппроксимировав на сетке методом конечных разностей (МКР), получим дискретное сеточное решение.

T_i=f(x_i;t^k).

Метод расчета

Будем использовать МКР – метод конечных разностей.

Сформулированную краевую задачу дискретизируем на сетке.

= - шаг по пространству постоянный; - шаг по времени переменный

Для аппроксимации задачи на выбранной сетке можно использовать разные методы – шаблоны. Наиболее известные из них для данного типа задач четырех точечный конечно разностный шаблон явный и неявный.

Явный четырех точечный шаблон Неявный четырех точечный шаблон

И
спользование явного шаблона для каждого временного шага получаем n+1 уравнение с n неизвестными и система решается методом Гауса, но сходимость решения только при очень малых шагах.

Использование неявного шаблона обеспечивает абсолютную сходимость, но каждое из уравнений имеет 3 неизвестных, обычным методом их решить невозможно.

По явному:

(10)

По неявному:

(11)

Сходимость обеспечивается при:

при явном шаблоне (12)

-точность аппроксимации

(13)

Схема апроксимации

Аппроксимируем задачу 1-9 на четырех точечном неявном шаблоне

Начальные условия:

(14)

(15)

(16)

(17)

(18)

Граничные условия:

(19)

(20)

(21 a)

=> (21)

Условие идеального контакта на границе отливка форма

(22)

Расчет временного шага :

Величина -var рассчитывается из условия, что за промежуток времени фронт перейдет из точки nf в точку nf+1

Расчет ведут итерационными (пошаговыми) методами

Строим процедуру расчета следующим образом:

Вычисляем нулевое приближенное для каждого шага,

За шаг итерации примем S,

Нулевое приближение S=0.

(23)

Уточняем шаг: S+1

(24)

d – параметр итерации от 0 до 1

для расчета возьмем d=0.

Число S итераций определяется заданной точностью:

Временного шага (25)

И по температуре (26)

e_t и e_T – заданные точности по времени и температуре

e_t=0,01c, e_T=0,1C

t^I=0,01c – время за которое образовалась корочка.

Описанный итерационный процесс называют ''Ловлей фазового фронта в узел''.

Можно задать х, t^K=const, тогда неизвестно будет положение фронта, при помощи линейной интерполяции.

Расчет температурных полей:

Метод «прогонки»:

Считается наиболее эффективным для неявно заданных конечно-разностных задач.

Суть метода:

Запишем в общем виде неявно заданное конечноразностное уравнение второго порядка (14) в общем виде:

A_iT_i-1 – B_iT_i + C_iT_i+1 + D_i = 0 ; i = 2, 3, 4, …n-1 (27)

действительно для всех j и k.

и краевые условия для него:

T₁ = p₂T₂ + q₂ (28 а)

T_n = p_nT_m-1 + q_n (28 б)

T_i = f(A_i; X_i; t_k) - сеточное решение.

A_i, B_i, C_i, D_i – известные коэффициенты, определенные их условий однозначности и дискретизации задачи.

Решение уравнения (27) – ищем в том же виде, в котором задано краевое условие (28 а)

T_i = а_i+1T_i+1 + b_i+1 ; i = 2, 3, 4, …n-1 (29)

A_i+1, b_i+1 – пока не определенные «прогоночные» коэффициенты (или коэффициенты разностной факторизации)

Запишем уравнение (29) с шагом назад:

T_i-1 = а_iT_i + b_i (30)

Подставим уравнение (30) в уравнение (27):

A_i(a_iT_i + b_i) – B_iT_i + C_iT_i+1 + D_i = 0

Решение нужно получить в виде (29):

(31)

Найдем метод расчета прогоночных коэффициентов.

Сравним уравнение (29) и (31):

(32)

(33)

(32),(33)– рекуррентные прогоночные отношения позволяющие вычислить прогоночные коэффициенты точке (i+1) если известны их значения в точке i.

Процедура определения коэффициентов а_i+1 и b_i+1 называется прямой прогонкой или прогонкой вперед.

Зная коэффициенты конечных точек и температуру в конечной точке Т_i+1 можно вычислить все Т_i.

Процедура расчета температур называется обратной прогонкой. То есть, чтобы вычислить все Т поля для любого t_k нужно вычислить процедуры прямой и обратной прогонки.

Чтобы определить начальные а₂и b₂, сравним уравнение (29) и уравнение (28 а):

a₂ = p₂; b₂ = q₂

Запишем уравнение 29 с шагом назад:

T _n = p_nT_n-1 + q_n

T_n-1 = q_nT_n + b_n

(34)

Новая задача определить p_n , q_n

Вывод расчетных формул:

Преобразуем конечноразностное уравнение (14) в виде (27)

, j=1,2 (35)

относиться к моменту времени k

Из (35) => A_i=C_i= B_i=2A_i+ D_i= (36)

Определим значения коэффициентов для граничных условий:

на границе раздела отливка-форма

(37)

приведем это выражение к виду (28 а)

отсюда (38)

b₂=q₂= a₂=p₂=1 (39)

на границе раздела Me_тв - Ме_ж

из (29), T_nf=T_n=> a_nf+1=0, b_nf+1=T_s (40)

условие на оси симметрии

T_n-1=T_n в соответствии с (21)

p_n=1, q_n=0 (41)

подставив (41) в (34) получим

(42)

Алгоритм расчета

1. Определить теплофизические характеристики сред, участвующих в тепловом взаимодействии λ₁, λ₂, ρ₁, ρ₂, L, а₁, а₂, Т_s, Т_н, Т_ф.

2. Определить размеры отливки, параметры дискретизации и точность расчета

2l₀=30 мм, l₀=R=15 мм=0,015 м

n=100,

первый шаг по времени: Δt¹=0,01 с, t=t+Δt

е_t=0,01 с, e_t=0,1 ^оC

1. Принять, что на первом временном шаге к=1, t₁=Δt¹, nf=1, Т₁=Т₃, Т_i=Т_н, , i=2,…,n, Т₄=Т_ф

2. Величина плотности теплового потока на границе раздела отливка – форма

(43)

, s=0, (нулевое приближение)

к=2, (44)

1. Найти нулевое приближение Δt^{к, 0} на к-том шаге

переход nf → i → i+1 по формуле (23)

1. Найти коэффициенты A_i, С_i, В_i, D_i по соответствующим формулам для сред Ме_тв. и Ме_ж. В нулевом приближении при s=0

2. Рассчитать прогоночные коэффициенты a_i+1, b_i+1 для Ме_тв. и Ме_ж., s=0 с учетом что Т_nf=Т_з.

Т₁=р₂Т₂+g₂

Т_i=а₂Т₂+в₂

Найти а₂ и в₂:

а₂=1, (45)

(46)

1. Рассчитать температуру на оси симметрии

(47)

1. Рассчитать температурное поле жидкого и твердого металла

(48)

1. Пересчитать значения ∆t_к по итерационному процессу (24)

d – параметр итерации (d=0…1)

проверяем точность;

1. Скорость охлаждения в каждом узле i рассчитать по формуле:

, ^оС/с (50)

1. Скорость затвердевания на каждом временном шаге:

, м/с (51)

1. Средняя скорость охлаждения на оси отливки:

1. Положение фронта затвердевания по отношению к поверхности отливки

, к – шаг по времени (52)

1. Полное время затвердевания

, к′ - последний шаг (53)

1. Средняя скорость затвердевания отливки

(54)

Идентификаторы

Б лок-схема

- [Вводим исходные данные

- [Вычисляем шаг по пространству

- [Вычисляем коэффициенты А_j, С_j для подстановки в (32), (33) и задаем температуру в первой точке

- [Температурное поле для первого шага по времени

- [Делаем шаг по времени

- [Вычисляем плотность теплового потока

- [Шаг по времени в нулевом приближении

- [Начальные прогоночные коэффициенты

- [Шаг по итерации

- [Вычисляем коэффициенты B_j для подстановки в (32), (33)

- [Вычисляем прогоночные коэффициенты по твердому металлу

- [Прогоночные коэффициенты для фронта

- [Вычисляем прогоночные коэффициенты по жидкому металлу

- [Температура на оси симметрии

- [Расчет температурного поля

- [Ищем максимальный температурный шаг

- [Уточняем t

- [Точность временного шага

- [Проверка точности

- [Расчет времени

- [Скорость охлаждения в каждом узле

- [Скорость затвердевания и положение фронта

- [Вывод результатов

- [Проверка достижения фронтом центра отливки

- [Расчет полного времени, ср. скорости затвердевания ср. скорости охлаждения на оси отливки

Вывод результатов

- [Конец.

Программа

CLEAR , , 2000

DIM T(1000), T1(1000), AP(1000), BP(1000), Vox(1000), N$(50)

2 CLS

N = 100: KV = 50: N9 = 5: L = .015

TM = 293: TI = 1345: TS = 1312.5

BM = 1300: a1 = .000036: a2 = .000021

TA0 = .01: ETA = .01: E = .01

l1 = 195: l2 = 101

R0 = 8600: LS = 221000

AF = 0: Pi = 3.14159265359#

3 PRINT "Число шагов N, штук"; N

PRINT "Длина отливки L, м"; L

PRINT "Температура формы Tf, К"; TM

PRINT "Начальная температура сплава Tн, К"; TI

PRINT "Температура затвердевания Tz, К"; TS

PRINT "Bф "; BM

PRINT "Первый шаг по времени, Tk0 "; TA0

PRINT "Точность по времени, Еt "; ETA

PRINT "Точность по температуре, ЕТ "; E

PRINT "Температуропроводность Ме твердого, а1 "; a1

PRINT "Температуропроводность Ме жидкого, а2 "; a2

PRINT "LS= "; LS

PRINT "Коэф. теплопроводности, l1 "; l1

PRINT "Коэф. теплопроводности, l2"; l2

PRINT "Плотность Ме твердого, р1 "; R0

INPUT "Изменить данные "; QV$

IF QV$ = "Y" THEN GOSUB 222

48 N1 = N - 1

DX = L / (N - 1)

A = a1 / DX ^ 2

B1 = 2 * A

RL = R0 * LS * DX

NF = 1

B2 = l1 / DX

KV1 = 1

AL = a2 / DX ^ 2

BL1 = 2 * AL

BL2 = l2 / DX

T(1) = TS

T1(1) = TS

FOR i = 2 TO N

T(i) = TI

T1(i) = TI

NEXT i

TA = TA0

K = 1

dta = .01

GOTO 103

101 K = K + 1

NF = NF + 1

B3 = SQR(Pi * TA)

q = BM * (T(1) - TM) / B3

dta = RL / (AF + q)

B5 = BM * TM / B3

B3 = BM / B3

B4 = B2 + B3

AP(1) = B2 / B4

BP(1) = B5 / B4

T(NF) = TS

NF1 = NF - 1

NF2 = NF + 1

K1 = 0

102 K1 = K1 + 1

Et = 0

B3 = SQR(Pi * (TA + dta))

q = BM * (T(1) - TM) / B3

B5 = BM * TM / B3

B3 = BM / B3

B4 = B2 + B3

AP(1) = B2 / B4

BP(1) = B5 / B4

DTA1 = 1 / dta

IF NF1 = 1 THEN GOTO 23

FOR i = 2 TO NF1

B = B1 + DTA1

f = DTA1 * T1(i)

B4 = B - A * AP(i - 1)

AP(i) = A / B4

BP(i) = (A * BP(i - 1) + f) / B4

NEXT i

23 FOR i = NF1 TO 1 STEP -1

TC = AP(i) * T(i + 1) + BP(i)

B = ABS(TC - T(i)) / TC

IF B > Et THEN Et = B

T(i) = TC

NEXT i

AP(NF) = 0

BP(NF) = TS

B = BL1 + DTA1

FOR i = NF2 TO N

f = DTA1 * T1(i)

B4 = B - AL * AP(i - 1)

AP(i) = AL / B4

BP(i) = (AL * BP(i - 1) + f) / B4

NEXT i

IF NF = N THEN GOTO 34

TC = BP(N) / (1 - AP(N))

B = ABS(TC - T(N)) / TC

T(N) = TC

IF B > Et THEN Et = B

IF NF >= N1 THEN GOTO 34

FOR i = N1 TO NF2 STEP -1

TC = AP(i) * T(i + 1) + BP(i)

B = ABS(TC - T(i)) / TC

IF B > Et THEN Et = B

T(i) = TC

NEXT i

34 P = AF + q

P1 = 1 / P

TM2 = BL2 * (T(NF2) - TS)

IF NF = N THEN GOTO 80

TM1 = B2 * (TS - T(NF1))

DTF = P1 * (RL + dta * (TM2 - TM1 + P))

P3 = ABS(DTF - dta) / DTF

dta = DTF

IF (P3 > ETA) OR (Et > E) THEN GOTO 102

80 TA = TA + dta

IF NF = 1 THEN dta = TA0

Vox = (T1(NF) - TS) / dta

FOR i = 1 TO N

Vox(i) = (T1(i) - T(i)) / dta

T1(i) = T(i)

NEXT i

VS = DX / dta

Xf = (K - 1) * DX

IF K <> KV1 + 1 THEN GOTO 33

KV1 = KV1 + KV

GOSUB 777

33 GOTO 105

103 PRINT "РЕЗУЛЬТАТЫ РАСЧЕТА": CLS : GOSUB 777

105 IF K < N THEN GOTO 101

GOSUB 777

Vz = 1000 * L / TA

Voxl = (TI - TS) / TA

PRINT "Полное время затв. отл. TA="; TA; "с."

PRINT "Ср. скорость охл. на оси отл. Voxl="; Voxl; " K/с"

PRINT "Ср. скорость затв. отл. Vz="; Vz; " мм/с"

END

777 PRINT "К="; K; " DTA="; dta; "VS="; VS * 1000; " мм/с XF="; Xf; " мм"

PRINT "T="; T(1); : FOR i = 1 TO 10: PRINT T(i * 10); : NEXT i: PRINT "K"

PRINT "Vox="; Vox(1); : FOR i = 1 TO 10: PRINT Vox(i * 10); : NEXT i: PRINT "K/c"

RETURN

222 CLS

INPUT "Число шагов N, штук"; N

INPUT "Длина отливки L, м"; L

INPUT "Температура формы Tf, К"; TM