lab1 (Лабораторные работы), страница 2

Рис. 1.Выборка наблюдений, распределенных по закону Коши (N = 200).

2.3.Сжатие распределения с ростом числа слагаемых

Закон больших чисел в форме Чебышева означает, что распределение случайной величины

сжимается с ростом n. Если математические ожидания одинаковы, т.е. M_i=a, то сжатие происходит в окрестности точки a.

Аналитически иллюстрировать сжатие можно, если распределение для легко выписывается. Например, если _i распределены нормально N(a, ²), то случайная величина распределена по N(a, ²/n). Построим графики плотностей для n =1, 4, 25, 100 и  =1, a =1 (сделаем это в целях освоения пакета).

Статистически убедиться в сжатии можно, наблюдая гистограммы при различных значениях n (например, для n =10, 40, 160, 640). Сгенерируем k раз (например, хотя бы k =20) случайную величину  : и построим для этой выборки средних гистограмму H_n. Сравнивая гистограммы для различных n, мы заметим сжатие (сделать самостоятельно). сжатие можно увидеть определением для каждого n по минимального _min, максимального _max значений и размаха w = _{max - min .}

Выполнение в пакете STATISTICA

a) графики плотностей:

Graphs - Stats 2D Graphs - Custom Function Plots - Custom Function: - введем в поле Enter function: normal (x; 1; 1) , здесь a = 1,  = 1; введем диапазон по х: X Min: –2, X Max: 2.

Построим аналогичные графики для n = 4, 25, 100, т.е. для  = 0,5, 0,2, 0,1.

б) Разброс средних

1. Получим к = 20 выборок объемом n = 10 ( в таблице 20v  10c) из распределения R [0, 1] (выполнение см. выше).

2. По всем выборкам определим среднее:

Edit - Block Stats/Columns - Means.

3. Выделим полученную строку средних и определим для нее стандартное отклонение:

Edit - Block Stats/Rows - SD’s (standart daviation - стандартное отклонение). Затем определим минимум (Min’s) и максимум (Max’s). Результаты получаем в трех вновь образованных столбцах; результаты выписываем.

4. Действия повторяем для n = 40, 160, 640. Результаты заносим в табл.1, вычисляем размах и убеждаемся, что с ростом n разброс средних уменьшается (распределение сжимается).

5. Работу можно сократить, образовав с самого начала таблицу 20v  640c с наблюдениями, и для различных n определять средние, выделяя из таблицы первые n строк. Для полученных 4 строк средних применить 3 раза:

Edit - Block Stats/Rows - ...

6. Сжатие распределения для ­­­­ с ростом n можно показать графически. Из предыдущего имеем 4 строки средних для различных n. Поскольку в пакете удобнее работать со столбцами, а не со строками, 4 строки средних сделаем столбцами транспонированием:

Edit - Transpose - Data File .

Для удобства введем для них новые имена, например, xs1, ..., xs4 (Vars - Current Specs ...) и образуем 4 новых столбца, например, n1, ..., n4 с одинаковыми значениями в каждом столбце соответственно 10, 40, 160, 640 (или условные значения 1, 2, 3, 4). Построим график:

Graphs - Custom Graphs - 2D Graphs - в поле Plot 1 устанавливаем: X: n1, Y: xs1, аналогично - в другие поля; установку можно делать с клавиатуры или из списков, дважды кликнув на соответствующем поле. После ОК получаем совокупности значений средних при различных n (рис.2). Убеждаемся, что с ростом n разброс уменьшается. График выведем на печать: File - Print Graph ...

Рис. 2. Разброс средних при разных n.

Заметим, что можно было бы обойтись без транспонирования: в дополнительные 4 строки n1, ..., n4 значения следовало бы ввести с клавиатуры или копированием. Построение графика осталось бы аналогичным.