DIP_II_5 (Методы обучения математике в 10 -11 класах)

РОЗДІЛ 2

Використання методів навчання при вивченні деяких змістових ліній курсу алгебри і початків аналізу. „Елементарні функції”, “Похідна та її застосування”

§1. ПОЯСНЮВАЛЬНО-ІЛЮСТРАТИВНИЙ МЕТОД

Пояснювально-ілюстративний метод можна використовувати на будь-якому уроці, а не лише при поясненні нового, складного матеріалу. Цей метод сприяє розвитку просторового уявлення і через наочність покращує розуміння матеріалу. Розглянемо застосування методу при вивченні понять “Парні та непарні функції”.

Розглянемо функції, область визначення яких симетрична відносно початку координат.

Означення. Функція називається парною, якщо для довільного з її області визначення .

Вчитель пояснює, що для довільних значень х , додатних чи від’ємних, знак самої функції не змінюється.

Означення. Функція називається непарною, якщо для довільного з її області визначення .

Тобто для довільних значень х , знак функції залежить від знаку аргументу.

Д
ля закріплення розуміння понять, на дошці малюються відповідні малюнки, чи демонструються готові намальовані на плакаті.

Мал. 1 Мал. 2

Після цього наводять приклад парних та непарних функцій.

- парні – непарні.

Дійсно, область визначення кожної з них симетрична відносно початку координат, та виконуються рівності: f(-x) = f(-x)²ⁿ = f(x)²ⁿ = f(x) – парність, та для g(-x)=g(-x)²ⁿ⁺¹= –g(x)²ⁿ⁺¹= –g(x) – непарність.

Г рафіки цих функцій варто продемонструвати на плакаті чи намалювати на дошці. Розглянемо функції у=х⁴ та у=х³.

Мал. 3 Мал. 4

Після побудови графіків функцій потрібно акцентувати увагу учнів на те, що вітки графіка парної функції симетричні відносно осі ординат, а вітки графіка непарної функції симетричні відносно початку координат. Це варто довести до учнів як властивості парної та непарної функції, що допоможе їм при побудові графіків.

При поясненні нового, дещо складнішого матеріалу варто користуватись наочністю, це найкраще відображає саму суть теми, всі процеси, пов’язані з утворенням певних понять. Розглянемо використання наочності та ілюстрацій при вивченні теми “Похідна та її застосування” при дослідженні функцій на екстремуми.

Учні вже вивчили і знають геометричний зміст похідної, ознаки зростання і спадання функції, тому просто варто пригадати це на початку урока.

Геометричний зміст похідної: Похідна функції f(x) в точці х₀ дорівнює тангенсу кута нахилу дотичної до кривої з додатним напрямом осі ОХ у точці з абсцисою х₀.

Тому, коли f (x)0, то учням потрібно пояснити, що - тангенс кута нахилу дотичної до кривої з додатнім напрямком осі ОХ більший нуля, тобто (0; ). Продемонструємо це на малюнку (мал. 5).
З малюнку видно, що на проміжку а; b дотична може займати положення, при якому кут (0; ) і функція на цьому проміжку зростає.

Мал. 5 Мал. 6

Якщо ж f(x)0, то tg( )0, (0; – ) , значить функція спадає. Показуємо це на малюнку (мал. 6).

В першому випадку функція f(x) є зростаючою на проміжку а; b, в другому - спадною. Потрібно спитати учнів, а яким же чином веде себе функція, коли f(x) при переході через деяку точку х₀ змінює свій знак.

Це буває лише тоді, коли в точці х₀ функція приймає своє найбільше або найменше значення. Якщо похідна змінює свій знак з “+” на “-” (спочатку функція зростала, а при переході через точку х₀ почала спадати), то х₀- є точкою максимуму, значення функції в цій точці є максимумом функції. Інакше, якщо при переході через точку х₀ похідна змінила свій знак з “-” на “+”, то х₀ - є точкою мінімума, а значення функції в цій точці – мінімумом функції. Ці точки називають екстремальними точками функції.

Внутрішні точки області визначення функції, в яких її похідна дорівнює нулю або не існує називають критичними точками цієї функції.

Формулюється необхідна умова екстремуму.

Якщо функція у внутрішній точці проміжку має екстремум, то в цій точці похідна , якщо вона існує , дорівнює нулю f ^/ (х₀)=0.

Доведемо методом від супротивного. Нехай в точці , яка є екстремальною для , існує похідна і . Припустимо, що , значить функція в точці зростає. Отже не є екстремальною точкою. Якщо , то функція в точці спадає. Отже прийшли до суперечності. Тобто теорему доведено.

А ле з того, що похідна функції в точці рівна нулю, не обов’язково слідує , що є точкою екстремуму.

Наприклад, похідна функції рівна нулю в точці , але функція екстремуму в цій точці не має.

Внутрішня точка проміжку називається стаціонарною точкою функції , якщо в цій точці .

Розглянемо критичні точки, похідна в яких не існує. Наприклад точка 0 для функції не є критичною, бо не внутрішня точка області визначення функції.

Приклад. Розглянемо функцію , ця функція не має похідної в точці 0. Значить точка 0 – критична, та ще й функція в точці 0 має мінімальне значення (0 - точка мінімуму). Далі розглядаються ознаки максимуму і мінімуму функції.

§2. РЕПРОДУКТИВНИЙ МЕТОД

Розглянемо застосування цього методу при вивченні теми “Застосування похідної до дослідження функції”.

Так як репродуктивний метод використовують найчастіше для закріплення вивченого теоретичного матеріалу, то вчителю можна користуватися цим методом не лише по закінченню пояснення нової теми, а навіть і після кожної порції викладеної інформації.

Учням пояснюють, як досліджується деяка функція, показують схему дослідження, а в кінці дослідження будують графік. Це робить вчитель на дошці, досліджуючи функцію f₁(x), заносячи результати кожного кроку дослідження до таблиці.

Потім учням пропонується дослідити деяку функцію самостійно і побудувати її графік. Учні, або один учень біля дошки, самостійно, або з допомогою вчителя, виконують такі самі дослідження для функції f₂(x), а дані досліджень заносять до тієї ж таблиці на дошці, але в другий, порожній стовпець.

Потім учні самостійно будують графік другої функції (мал. 9*).

Після пояснення вчителем теоретичного матеріалу і наведення декількох прикладів дослідження функції учні вже самі досліджують і будують графіки функцій.

Мал. 9 Мал. 9*

§3. ПРОБЛЕМНИЙ ВИКЛАД

При вивченні теми “Застосування похідної в фізиці та техніці” урок починається з пригадування того, яким чином визначається швидкість руху в курсі фізики. Розглянемо випадок, коли матеріальна точка рухається по координатній прямій, і задано закон руху цієї точки, тобто координата х цієї точки є відома функція часу . За момент часу від до переміщення точки можемо записати як = = , а середня швидкість руху точки .

При значення середньої швидкості прямує до конкретного значення, яке називають миттєвою швидкістю матеріальної точки в момент часу . Тобто при .

За означенням похідної при .

Вважають, що миттєва швидкість визначена тільки для диференційованої функції , тому .

Скорочено це говорять наступним чином: похідна від координати за часом є швидкість. Це механічний зміст похідної. Миттєва швидкість може приймати довільні значення.

Аналогічно кажуть про зміну швидкості: похідна від швидкості за часом є прискорення. .

Тепер розглядаються приклади.

Приклад 1. Розглянемо вільне падіння матеріальної точки.

З фізики відомо, що при вертикальному падінні рух тіла задається формулою . Відшукаємо швидкість падіння точки в момент часу : . Відшукаємо прискорення падіння точки: , прискорення є величина постійна.

Приклад 2.Нехай залежність координати точки, що рухається по прямій, від часу виражена формулою: , де , - константи. Відшукаємо швидкість і прискорення руху.

Швидкість руху буде:
.

Так як нам відома швидкість руху як функція часу, то можемо знайти прискорення цього руху: . Бачимо що а – константа, і при а > 0 – це буде прискорений рух, а при а < 0 – рух сповільнений.

Приклад 3. Судно В знаходиться на сході від судна А на відстані
75 км і пливе на захід зі швидкістю 12 км/год. Судно А пливе на південь зі швидкістю 4 км/год. Чи буде в деякий момент часу відстань між ними мінімальною?

Розв’язання

Перш за все необхідно намалювати малюнок.