84372 (Место аналогии в обучении математике в школе), страница 4
Описание файла
Документ из архива "Место аналогии в обучении математике в школе", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "математика" из , которые можно найти в файловом архиве . Не смотря на прямую связь этого архива с , его также можно найти и в других разделах. Архив можно найти в разделе "рефераты, доклады и презентации", в предмете "математика" в общих файлах.
Онлайн просмотр документа "84372"
Текст 4 страницы из документа "84372"
В данном пункте будет приведен пример совместного рассмотрения известных теорем Эйлера, как на плоскости, так и в пространстве. Приведенные ниже утверждения достаточно известны, а их доказательства можно прочитать, например, в книгах И. Ф. Шарыгина «Задачи по геометрии» или В. В. Прасолова «Задачи по планиметрии».
Будут использованы следующие определения:
Ортоцентр – точка пересечения высот (если она существует)
Ортоцентрический тетраэдр – тетраэдр, все высоты которого пересекаются в одной точке. (Далее все рассматриваемые тетраэдры будут только такими и термин ортоцентрический будет опущен.)
Центр масс (центроид) системы точек А1, А2, …,Аn – такая точка О, что ОА1+ ОА2 + … +ОАn = 0.
Для большей наглядности приведем основные используемые понятия в виде таблицы.
| Плоскость Треугольник, Центр масс – точка пересечения медиан, описанная окружность. Ортоцентр, центр масс и центр описанной окружности лежат на одной прямой, называемой прямой Эйлера. Серединный треугольник – треугольник с вершинами в серединах сторон (основаниях медиан), Ортотреугольник – треугольник с вершинами в основаниях высот. Для любого треугольника основания высот, основания медиан и середины отрезков прямых от ортоцентра до вершин треугольника лежат на одной окружности – окружности девяти точек (окружности Эйлера). В частности, серединный треугольник и ортотреугольник вписаны в одну окружность. | Пространство Тетраэдр, Центр масс – точка пересечения отрезков, соединяющих вершину с точкой пересечения медиан противоположной грани, она же точка пересечения средних линий (соединяющих середины противоположных ребер), описанная сфера. Ортоцентр, центр масс и центр описанной сферы лежат на одной прямой, называемой прямой Эйлера. Серединный тетраэдр – тетраэдр с вершинами в точках пересечения медиан граней, Ортотетраэдр – тетраэдр с вершинами в основаниях высот исходного тетраэдра. Для любого ортоцентрического тетраэдра центр масс и ортоцентры граней, а также точки, делящие отрезки каждой высоты тетраэдра от вершины до точки пересечения высот в отношении 2/1, лежат на одной сфере – сфере 12 точек (сфере Эйлера). В частности, серединный тетраэдр и ортотетраэдр вписаны в одну и ту же сферу. Замечание: ортоцентричность исходного тетраэдра равносильна тому, что его основания высот совпадают с точками пересечения высот противоположных граней. Для любого ортоцентрического тетраэдра окружности девяти точек каждой грани принадлежат одной сфере – сфере 24 точек (основания высот, проведенных к одному и тому же ребру, для ортоцентрического тетраэдра совпадают). |
На внеклассных занятиях со старшеклассниками и занятиях по методике всячески практикуют “выходы в пространство”, использующие аналогию геометрических понятий. Школьники получают большое удовольствие, обнаруживая невидимые ранее связи. Причем не ограничиваются обсуждением доказательств теорем, но часто разбираются подобные теоремы, переформулируя их как задачи на построение. Для наглядной демонстрации подобной работы вновь следует обратиться к приведенным выше прямым и окружностям Эйлера. В качестве наиболее простой задачи предлагается рассмотреть равнобедренный прямоугольный треугольник и перенести полученные результаты на равнобедренный прямоугольный тетраэдр. Чтобы облегчить оформление рисунков и формулировку получаемых утверждений при обобщении обеих теорем Эйлера на пространство, рекомендуем выполнить рядом два рисунка, ввести аналогичные обозначения и постоянно сравнивать “плоские” и “пространственные” результаты. Причем, обнаружив и доказав какое-либо утверждение для плоского случая необходимо тут же стремиться отыскать его аналог для пространства.
| Плоскость 1 этап: построение А3А1А2=90, H1, H2А2= А1А3, М1, М2, М3 – середины соответствующих сторон, H1, H2, H3 – основания высот, опущенных на стороны треугольника. Ц – центроид (в данном случае точка пересечения медиан). 2 этап: анализ
3 этап: выводы
Доказательство: пусть О – середина А1М1. Тогда треугольники А1М2М1 и А1М3М1 прямоугольные (по свойству средних линий треугольника) и, следовательно, М2О= М3О= А1М1/2 как медианы прямоугольных треугольников.
| Пространство 1 этап: построение А3А1А2=А3А1А4=А4А1А2=90, А1А2= А1А3= А1А4; М1, М2, М3, М4 – центры масс (точки пересечения медиан соответствующих граней), H1, H2, H3, H4 - основания высот, опущенных на грани тетраэдра. Ц – его центроид (в данном случае точка, делящая отрезок А1М1 в отношении 3/1, считая от вершины). 2 этап: анализ
3 этап: выводы
Доказательство: пусть О – середина А1М1. В силу симметричности достаточно доказать для одной из боковых граней, например, для А1А2А4. Пусть К – середина А4А2, точка М3 лежит на отрезке А1К, причем А1М3=2М3К. Опустим из точки М1 перпендикуляр на грань А1А2А4. По свойству проекций основание этого перпендикуляра в точку пересечения медиан этой грани, т. е. в точку М3. Таким образом, треугольник А1М3М1 прямоугольный с гипотенузой А1М1. Следовательно, по свойству прямоугольных треугольников М1М3 = А1М1/2.
|
В качестве домашнего задания учащимся предлагается проверить теоремы Эйлера с помощью построений на произвольном треугольнике и попытаться аналогично приведенным выше рассуждениям вывести утверждения для произвольного ортоцентрического тетраэдра.
На последующих занятиях можно провести обобщение плоского случая на пространственный с помощью метода координат.
Обращаясь вновь к рассматриваемому выше треугольнику, можно ввести координаты так, что точка А1 будет иметь координаты (0; 0), точка А1 (4;0), точка А3 (0;4), тогда координаты остальных точек: М1 (2; 2), М2 (0; 2), М3 (2; 0), Ц (4/3;43). Выведем уравнение окружности, проходящей через точки А1, М2 и М3 (для определения окружности достаточно трех точек) в виде (x-a)2+(y-b)2=R2. Тогда:
(0-a)2+(0-b)2=R2a2+b2=R2,
(0-a)2+(2-b)2=R2a2+4-4b+b2=R2,
(2-a)2+(0-b)2=R24-4a+a2+b2=R2.
Из этой системы трех уравнений получаем a=1, b=1, R=2 и уравнение окружности: (x-1)2+(y-1)2=2. Непосредственной подстановкой координат точки М1 в полученное уравнение убеждаемся, что точка М1 принадлежит окружности.
Аналогично для пространства. Введем пространственные координаты так, чтобы точка А1 имела координаты (0; 0; 0), точка А2 (6; 0; 0), точка А3 (0; 0; 6), точка А4 (0; 6; 0). Тогда координаты остальных точек - М1 (2; 2; 2), М2 (0; 2; 2), М3 (2; 2; 0), М4 (2; 0; 2), Ц (3/2; 3/2; 3/2). Выведем уравнение окружности, походящей через точки А1, М1, М2 и М3 (для определения сферы нужно уже четыре точки). Уравнение сферы будет иметь вид (x-1)2+(y-1)2+(z-1)2=3.Принадлежность остальных точек этой сферы можно легко проверить простой подстановкой координат в уравнение.
ПРИМЕНЕНИЕ АНАЛОГИИ ПРИ РЕШЕНИИ ЗАДАЧ
Не менее полезно воспитывать у школьников привычку сознательно привлекать аналогию при поиске способов решения предложенной им трудной задачи. В этом случае можно рекомендовать им следующий план работы над задачей.
1. Подобрать задачу, аналогичную данной, т. е. такую, у которой имелись бы, по сравнению с данной, сходные условия и сходное заключение; вспомогательная задача должна быть проще данной или такой, решение которой известно.
2. Решить вспомогательную задачу; затем провести аналогичные рассуждения при решении данной задачи.
Например, к аналогии с планиметрическими задачами полезно обращаться при решении стереометрических задач.
При этом полезно, чтобы школьник пытался (если это возможно) самостоятельно сформулировать и решить аналогичную планиметрическую задачу. Рассмотрим, например, задачу: «На сколько частей могут разделить пространство четыре произвольно расположенные плоскости?»
Четыре плоскости определяют тетраэдр. Эта фигура напоминает нам 3 пересекающиеся прямые на плоскости.
