84372 (Место аналогии в обучении математике в школе), страница 2
Описание файла
Документ из архива "Место аналогии в обучении математике в школе", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "математика" из , которые можно найти в файловом архиве . Не смотря на прямую связь этого архива с , его также можно найти и в других разделах. Архив можно найти в разделе "рефераты, доклады и презентации", в предмете "математика" в общих файлах.
Онлайн просмотр документа "84372"
Текст 2 страницы из документа "84372"
Учащиеся иногда затрудняются быстро и правильно ответить на вопросы типа: “ Сколько квадратных сантиметров в 1 дм2? Сколько кубических сантиметров в 1 дм3?” Устранению таких трудностей способствует иллюстрация сходства между операциями перехода от линейной единицы измерения к квадратной или кубической. В обоих случаях вычисляется произведение одинаковых множителей, причем число множителей в произведении равно показателю при единице измерения: 1 дм2 = 10 * 10 см2, 1 дм3 = 10 * 10 * 10 см3.
Формировать умение составлять предложение, аналогичное данному, можно при изучении признаков делимости. Рассмотрев с учащимися признак делимости, например, на 3, следует предложить им самим сформулировать признак делимости на 9. Ниже приведены те предложения, которые давал учитель ((1) – (4)), и те, что формулировали учащиеся по аналогии ((1*) – (4*)).
-
На 3 делятся те и только те числа, у которых сумма цифр делится на 3.
-
На 5 делятся те и только те числа, в записи которых последняя цифра 0 или 5.
-
Число делится на 6, если оно делится на 2 и на 3.
-
На 4 делятся те числа, у которых две последние цифры нули или образуют число, делящееся на 4.
(1*) На 9 делятся те и только те числа, у которых сумма цифр делится на 9.
(2*) На 25 делятся те и только те числа, в записи которых две последние цифры нули или образуют число, делящееся на 25.
(3*) Число делится на 8, если оно делится на 2 и 4.
(4*) На 8 делятся те числа, у которых две последние цифры нули или образуют число, делящееся на 8.
Следует провести сравнение предложений. Одновременно необходимо подчеркнуть, что если данные высказывания (1) – (4) истинны, то необязательно окажутся истинными высказывания, полученные из данных по аналогии. Учащиеся должны знать, что для установления ложности какого – либо утверждения достаточно привести хотя бы один пример, опровергающий его. Так, высказывания (3*) и (4*) являются ложными: 12 делится на 2 и на 4, но не делится на 8; 100 и 164 не делятся на 8. Теперь важно показать, что 4 можно представить в виде произведения двух одинаковых множителей (4 = 2 2), а 8 – в виде произведения трех одинаковых множителей (8 = 2 2 2). Установив такое различие, учащиеся могут заметить, что в утверждении (4) рассматриваются такие числа, у которых количество последних цифр – нулей равно числу простых множителей в разложении числа 4. Это наблюдение поможет сформулировать истинное утверждение вместо (4*): на 8 делятся те числа, у которых три последние цифры нули или образуют число, делящееся на 8.
При изучении темы «Сложение десятичных дробей» метод аналогии можно использовать для того, чтобы подвести учащихся к формулировке правила сложения десятичных дробей. Для этого нужно параллельно рассмотреть сложение натуральных чисел и сложение десятичных дробей (так, как это показано в табл. 1).
Таблица 1
Н 949 + 835 Подписываем слагаемые одно под слагаемых находились друг под другом. 949 + 835 1784 Выполняем сложение поразрядно, | Десятичные дроби 95.37 + 101.4 другим так, чтобы одинаковые разряды 95.35 + 101.40 196.75 Так как число 101.4 не имеет сотых долей, то вместо сотых ставим 0. начиная с единиц низшего разряда. |
Мы уже говорили о том, что умозаключения по аналогии могут приводить как к верным заключениям, так и к ошибочным; это часто является источником неверных действий учащихся. Упрочнению их способствует обычно и формальное усвоение материала. Особенно много таких ошибок учащиеся допускают в курсе алгебры. Поэтому полезно сравнивать верные соотношения с неверными, например:
5 3 = 3 5, но 53≠ 35; √5а2 = √5 √а2, но √5 + а2 ≠ √5 + √а2;
а с ./ в с = а / в, но а + с / в + с ≠ а / в (с ≠ 0).
Доказательство того, что равенство нарушается, проще всего провести, подставив вместо букв числа и проведя нужные вычисления.
Богатым материалом для обучения приему аналогии располагает геометрия. В начале изучения курса геометрии основное внимание следует уделить выделению соответствующих элементов из аналогичных задач и теорем. Например, рассмотрим две пары задач из учебного пособия А. В. Погорелова «Геометрия 6 –10» (М., 1985).
Докажите, что у равнобедренного треугольника биссектрисы, проведенные из вершин при основании, равны (§3, №20 (1)). Докажите равенство треугольника по двум сторонам и медиане, исходящим из одной вершины (§3, №38). | Докажите, что у равнобедренного треугольника медианы, проведенные из вершин при основании, равны (§3, №20 (2)). Докажите равенство треугольников по медиане и углам, на которые медиана разбивает угол треугольника (§3, №40). |
Для биссектрисы в задаче №20(1) соответственным элементам в задаче №20(2) является медиана. В задачах второй пары соответственными элементами оказались:
Две стороны, исходящие из одной вершины (№38), - два угла, на которые медиана разбивает угол треугольника (№40). Указанные задачи полезно решить непосредственно друг за другом, оформляя решение «параллельно», т. е. с левой стороны одно решение, с правой – другое. Разобрав решения, следует подчеркнуть, что каждый шаг одного из них можно перенести в другое, применив его к соответственным элементам.
Умение применять аналогию нужно поддерживать от класса к классу, пользуясь любыми возможностями. Так, при решении задачи об углах при основании равнобедренной трапеции следует вскрыть ее свойство с теоремой об углах при основании равнобедренного треугольника. Полезно записать «параллельно» оба доказательства так, как это показано в табл. 2.
Таблица 2
Теорема 3 из §3 В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Доказательство:
Отсюда А=В. | Задача 53 из § 6 Доказать, что углы при каждом основании равнобедренной трапеции равны. Доказательство:
Отсюда А=В и АДЕ=ВСF; АДС=АДЕ + 90, отсюда следует, что 0ДСВ=ВСF + 90 АДС=ДСВ |
Задачи, аналогичные данным, учащиеся могут составлять самостоятельно и решать их.
Приведем краткий список аналогичных задач на построение из учебного пособия А. В. Погорелова «Геометрия 6 – 10» (1985)
Постройте треугольник по двум сторонам и медиане, проведенной к третьей стороне (§5,№ 27). Постройте параллелограмм по стороне и двум диагоналям (§6, №19(2)). Постройте треугольник, если заданы сторона, прилежащий к ней угол и сумма двух других сторон (§5, № 41). | Постройте треугольник по двум сторонам и высоте, опущенной на третью сторону (§5, №31). Постройте трапецию по основаниям и диагоналям (§6,№ 66). Постройте треугольник, если заданы сторона, прилежащий к ней угол и разность двух других сторон (§5, № 42). |
В табл. 3 даны решения двух задач на построение, на которых удобно демонстрировать аналогию.
Таблица 3
Постройте трапецию по диагона- Постройте параллелограмм по диа-
лям , углу между ними и одному из гоналям и углу между ними (§6, № 20(2)).
оснований.
А н а л и з
Предположим, что трапеция АВСД Предположим, что параллелограмм
построена (см. рисунок). АВСД построен (см. рисунок).
Р Д С Д С
А В В1 А В В1
Попробуем построить сначала треугольник,
используя данные нашей задачи.
Через одну из вершин (С)
Трапеции Параллелограмма
проведем прямую, параллельную диагонали ВД, до пересечения с продолжением основания АВ. Получим треугольник АВ1С, который можно построить по двум сторонам и углу между ними (АС – дано, С В1 = ВД, так как В В1СД параллелограмм, АСВ1 = АОВ как соответственные углы при параллельных прямых ВД и СВ1).
П о с т р о е н и е
Строим треугольник АС В1 по двум сторонам и углу между ними.
От точки А на стороне А В1 отло- Из вершины С проведем медиану СВ.
жим отрезок, равный АВ. Через точ- через точки В и С проведем прямые,
ку С проведем прямую СР, парал- параллельные соответственно В1С и
лельную основанию АВ; затем через АВ. Точка Д пересечения этих прямых
точку В проведем прямую, параллель- будет четвертой вершиной искомого
ную В1С, до пересечения с прямой СР. параллелограмма АВСД.
Точка Д пересечения этих прямых
будет четвертой вершиной искомой
трапеции АВСД.
Мы описали различные подходы к обучению метода аналогии школьников 11-13 лет. По мере взросления учащихся им все чаще будут встречаться возможности для применения аналогии. Она может использоваться при формировании многих понятий стереометрии, при доказательстве теорем и решении задач. Однако учащиеся реализуют эти возможности лишь после специального обучения.
ПОЛОЖИТЕЛЬНАЯ РОЛЬ АНАЛОГИИ В ПЛАНИМЕТРИИ И СТЕРЕОМЕТРИИ
В действующем школьном курсе геометрии абсолютное большинство стереометрических фактов излагается без установления внутрипредметных связей с аналогичными планиметрическими фактами. Примером тому может служить изолированное изложение таких тем, как «Треугольник и его свойства» и «Тетраэдр и его свойства»; «Окружность, круг и его свойства» и «Сфера, шар и их свойства» и т. д. Все это есть следствие линейного построения курса геометрии. Целесообразно же на основе линейно – концентрической организации курса увязать эти плоскостные и пространственные темы. Развернем отмеченное положение несколько шире вначале в теоретическом, а затем и в практическом аспекте.
Различные формы уровневой и профильной дифференциации могут быть реализованы на практике в полной мере лишь в том случае, если будут подготовлены соответствующие учебники, в том числе и по геометрии. Эти учебники должны не только быть разными по содержанию и по форме изложения, но и иметь существенно различную логико-структурную организацию. Сейчас школьные учебники геометрии ориентированы в основном на аксиоматическое и силлогистическое изложение. Чрезмерное же акцентирование в обучении дедуктивного характера математики создает серьезную опасность для математического образования. В обучении математике в целом, равно как и в обучении геометрии, необходимо сочетание логики и интуиции, дедукции и индукции, конкретизации и обобщения, анализа и синтеза.
Целесообразна трансформация линейного построения содержания школьного курса геометрии в линейно – концентрическое, что даст возможность проводить глубокие сравнения, широкое обобщение, выдвигать гипотезы и предположения, переносить знания, умения и навыки в новую ситуацию, переосмысливать с новых, более общих позиций уже изученный ранее изученный материал. Большую роль при этом будут играть аналогии, интуитивные рассуждения, позволяющие приобщить учащихся к исследовательской деятельности.
Курс школьной геометрии должен быть таким, чтобы он прежде всего побуждал учащихся к постановке вопросов, выдвижению гипотез, создавал бы условия для эффективных поисков. Реализация идей уровневой и профильной дифференциации предполагает одновременное существование как учебников геометрии, построенных на глобальной аксиоматической организации теории, так и учебников, построенных на идеях локальной аксиоматизации и локальной дедукции. Здесь налицо создание таких учебников геометрии, в котором бы разумнее дозировались логический и интуитивный компоненты; школьный курс геометрии есть «химическое соединение интуиции и логики».
Глобальная аксиоматизация должна завершать, а не начинать длительный процесс развития теории; локальная индукция позволяет сделать главным в обучении геометрии не развитие теории из готовой аксиоматики, а процесс создания аксиоматики. Такой подход в большей степени, чем традиционный, обеспечивает взаимодействие наглядно – образного и словесно – логического мышления.
На примерах покажем, что многие пространственные факты являются обобщениями плоскостных аналогов. Приведенный ниже материал может служить хорошим подспорьем в организации исследовательской работы учащихся.