⠭7 (Математический анализ)

§ 7. Обыкновенные дифференциальные уравнения

Математическое исследование многих реальных процессов основано на применении дифференциальных уравнений, содержащих производные искомых функций. Аппарат дифференциальных уравнений универсален: разнообразные процессы могут описываться одинаковыми уравнениями. Практика показывает, что даже простые математические модели, использующие дифференциальные уравнения, позволяют качественно изучить основные черты сложных явлений и оценить их количественные характеристики.

1. Определения

Порядком дифференциального уравнения называется наибольший порядок входящих в него производных. Этот параграф посвящен обыкновенным дифференциальным уравнениям первого порядка, то есть уравнениям вида

,

где - заданная функция, - независимая переменная, - искомая функция, - ее производная. Уравнения вида

называются разрешенными относительно производной.

Функция называется решением дифференциального уравнения, если после ее подстановки уравнение обращается в тождество. Процесс нахождения решений называется интегрированием уравнения. Решить уравнение значит найти все его решения.

Ниже рассматриваются только уравнения, разрешенные относительно производной. В простейшем случае, когда правая часть уравнения не зависит от , то есть уравнение имеет вид

,

любое его решение является первообразной функции , а интегрирование уравнения сводится к отысканию неопределенного интеграла от (см. § 4). Совокупность всех решений, то есть общее решение уравнения, можно представить формулой

,

где - произвольная постоянная. При этом в данном параграфе под неопределенным интегралом функции условимся понимать не все множество ее первообразных, а любую фиксированную первообразную.

Пример. Для уравнения

,

интегрируя, получим общее решение

.

В следующем пункте рассматривается один класс уравнений, общее решение которых представляется в квадратурах, то есть с использованием интегралов от известных функций.

2. Уравнения с разделяющимися переменными

Дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными называется уравнение вида

, (1)

где и - заданные функции.

Заметим, что если для некоторого значения выполнено , то функция является решением уравнения (1).

Рассмотрим случай . Разделив левую и правую части уравнения на , получим , откуда следует соотношение между первообразными , где - произвольная постоянная. Используя формулу замены переменной в неопределенном интеграле (см. § 4), получаем равенство

, (2)

определяющее в неявном виде семейство решений уравнения (1), зависящее от произвольной постоянной.

Замечание. Чтобы из бесконечного множества решений дифференциального уравнения выделить частное решение нужно задать какое-либо дополнительное условие, например,

, (3)

где , - некоторые постоянные. Условие (2) называется начальным, а задача отыскания решения, удовлетворяющего такому условию, называется задачей Коши.

Пример. Найдем общее решение уравнения

.

Используя (2), получаем , то есть , где - произвольная постоянная. Отсюда находим семейство решений . Кроме того, имеется решение , при котором правая часть уравнения обращается в ноль. Все найденные решения можно представить одной формулой

,

где - произвольная постоянная.

Пример. Рассмотрим уравнение

. (4)

Как и в предыдущем примере, является решением. При получаем или , откуда находим бесконечное семейство решений

.

Пример. Решим задачу Коши

, .

Заметим, что функция удовлетворяет уравнению, но не удовлетворяет начальному условию. Пусть , тогда общее решение определяется из равенства , откуда и, следовательно,

.

При с учетом начального условия получим , откуда . Таким образом, решением задачи Коши является функция

.

3. Математические модели некоторых процессов

Рассмотрим примеры задач, исследование которых проводится с использованием обыкновенных дифференциальных уравнений.

Пример (закон роста населения Земли). Пусть - число людей на Земле в момент времени . Демографические данные показывают, что за небольшой интервал времени прирост населения пропорционален квадрату числа людей и интервалу времени:

,

где - некоторая постоянная. Разделив левую и правую части этого равенства на и перейдя к пределу при , получим уравнение

, (5)

где - дифференцируемая функция, приближающая функцию . Уравнение (5) аналогично уравнению (4), рассмотренному выше. Его общее решение имеет вид . Заметим, что известные демографические данные хорошо согласуются с частным решением

,

где время исчисляется в годах от начала нашей эры. Функция не определена при , поэтому закон роста населения в будущем должен измениться.

Пример (модель производства). Пусть - интенсивность выпуска продукции некоторым предприятием в момент времени , а - цена продукции. Доход от продажи этой продукции составляет . Пусть часть вырученных средств, равная

, (6)

где - некоторое число, направляется на расширение производства. Предположим, что скорость изменения интенсивности выпуска продукции прямо пропорциональна объему инвестиций:

, (7)

где - постоянная. Из (6) и (7) получаем уравнение

, (8)

общее решение которого при постоянном имеет вид , где . Если задано начальное условие

, (9)

то решением задачи Коши (8), (9) является функция

.

Уравнение (8) называется уравнением естественного роста. Им описываются также процессы радиоактивного распада в физике и размножения бактерий в биологии.

На практике с увеличением выпуска продукции происходит насыщение рынка и цена падает. Если, например, , где и - положительные постоянные, то вместо (8) получим уравнение

, (10)

аналогичное уравнению, рассматриваемому в следующем примере.

Пример (модель рекламы). Пусть - число людей, знающих к моменту времени некоторую новость, а - общее число людей. Будем предполагать, что скорость распространения новости прямо пропорциональна как числу людей , уже ее знающих, так и числу людей , еще не знающих новости, то есть

, (11)

где - постоянная. Разделив переменные в этом уравнении, получим

,

откуда, используя результат последнего примера § 4, найдем

или

.

График этой функции называется логистической кривой. Для случая , соответстщего условию, что в момент половина людей знает новость ( ), эта

кривая представлена на рис. 15.

Рис.15.

Рассматриваемое уравнение обладает также решениями и , обращающими в ноль его правую часть. Эти решения соответствуют ситуациям, когда новость не распространяется: в первом случае в начальный момент ее никто не знает, а во втором - знают все.

Отметим, что уравнения (10) и (11), описывающие совершенно разные процессы, по существу, совпадают. Уравнения того же типа возникают при описании динамики эпидемий, процессов размножения бактерий в ограниченной среде обитания, применяются в математической теории экологии.

Упражнения

1. Решить уравнения:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6) ;

7) ;

8) ;

9) ;

10) ;

11) ;

12) ;

13) ;

14) ;

15) ;

16) ;

17) ;

18) ;

19) ;

20) ;

21) ;

22) ;

23) ;

24) ;

25) ;

26) .

2. Решить задачи Коши:

1) , ;

2) , ;

3) , ;

4) , ;

5) , ;

6) , ;

7) , ;

8) , ;

9) , ;

10) , ;

11) , ;

12) , ;

13) , ;

14) , ;

15) , ,

16) , ;

17) , ;

18) , ;

19) , ;

20) , .

Ответы

1.

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6) ;

7) ;

8) ;

9) ;

10) ;

11) ;

12) ;

13) ;

14) ;

15) ;

16) ;

17) ;

18) ;

19) ;

20) Общее решение находится

из уравнения ;

21) ;

22) ;

23) ;

24 ) ;

25) ;

26) .

2.

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6) ;

7) ;

8) ;

9) ;

10) ;

11) ;

12) ;

13) ;

14) ;

15) и ;

16) ;

17) ;

18) ;

19) ;

20) .