⠭6 (Математический анализ)

§ 6. Функции нескольких переменных

Функции нескольких переменных возникают при необходимости учета зависимости некоторой величины более чем от одного фактора. Многие понятия: предел, непрерывность, производная и другие, введенные для функций одной переменной, переносятся на случай функций нескольких переменных.

Мы ограничимся здесь рассмотрением функций двух переменных. Для функций большего числа переменных указанные понятия вводятся аналогично.

1. Определения

Пусть каждой точке некоторого множества плоскости поставлено в соответствие число , тогда говорят, что на множестве задана функция двух переменных . Используется также запись .

Пример. В экономических приложениях встречаются производственные функции, устанавливающие связь между затратами производственных ресурсов и объемом выпускаемой продукции. Производственные функции, как правило, зависят от многих переменных (факторов). В частности, рассматриваются двухфакторные функции

,

где - объем производственных фондов, - затраты труда, - объем выпускаемой продукции. Примером двухфакторной функции является функция Кобба-Дугласа

,

где , , - постоянные.

Окрестностью точки назовем внутренность любого круга с центром в этой точке. Пусть функция определена в некоторой окрестности точки . Зафиксируем значение и рассмотрим функцию одной переменной . Производная функции в точке (если она существует) называется частной производной функции в точке по переменной и обозначается . Аналогично определяется частная производная по переменной .

Производные и функции называются частными производными первого порядка. Если они существуют в некоторой окрестности точки , то частные производные от них по и называются частными производными второго порядка и обозначаются , , , , где, например, , . Производные , называются смешанными частными производными.

Аналогично можно ввести частные производные третьего и более высоких порядков. Из определения частных производных следует, что для их нахождения можно использовать все правила, справедливые для производных функций одной переменной.

Примеры. Найдем частные производные первого и второго порядков функций:

а) , тогда

, ,

, , ;

б) , тогда

, ,

, , .

Равенство смешанных производных, наблюдаемое в приведенных примерах, не случайно. Справедливо следующее общее утверждение.

Теорема. Если производные , существуют в некоторой окрестности точки и непрерывны в этой точке, то справедливо равенство

.

2. Экстремумы

Точка называется точкой локального максимума (минимума) функции , если для всех точек ( ) из некоторой окрестности этой точки справедливо неравенство ( ). Точки локального максимума и минимума называются точками экстремума функции.

Пример. В экономическом анализе применяется функция прибыли

,

где – производственная функция, – цена выпускаемой продукции, и – факторные цены. Пара чисел ( ) называется оптимальным планом, если функция достигает максимума при . Таким образом, поиск оптимального плана сводится к отысканию точки экстремума (максимума) функции прибыли .

Следующие теоремы позволяют находить точки экстремума функций.

Теорема (необходимое условие экстремума). Если функция имеет в точке экстремума частные производные первого порядка, то они равны нулю в этой точке:

. (1)

Точки, координаты которых удовлетворяют системе (1) называются стационарными точками функции . Точки экстремума функции следует искать среди ее стационарных точек и тех точек, в которых частные производные первого порядка не существуют.

Теорема (достаточное условие экстремума). Пусть функция имеет непрерывные частные производные второго порядка в некоторой окрестности своей стационарной точки . Положим

.

Тогда:

а) если и , то - точка максимума функции;

б) если и , то - точка минимума функции;

в) если , то в точке экстремума нет.

Пример. Стационарная точка , функции

является решением системы уравнений

, .

При этом , , и . Следовательно, в точке функция имеет локальный минимум.

Пример. Пусть . Тогда , , , , , , и, следовательно, стационарная точка не является точкой экстремума.

Пример. Для функции из системы уравнений

, ,

найдем четыре стационарные точки: , , , . Поскольку , , , то

.

В точках и выполнено условие , поэтому функция имеет экстремумы в этих точках: минимум в , так как , и максимум в , так как . В точках и экстремумов нет, так как в этих точках.

Упражнения

1. Найти частные производные первого порядка следующих функций:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6) ;

7) ;

8) ;

9) ;

10) .

2. Найти смешанные производные функций:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6) ;

7) ;

8) ;

9) ;

10) .

3. Найти стационарные точки функций:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;.

6) );

7) ;

8) ;

9) ;

10) .

4. Найти точки локального экстремума функций:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6) ;

7) ;

8) ;

9) ;

10) .

Ответы

1.

1) , ;

2) , ;

3) , ;

4) , ;

5) , ;

6) , ;

7) ; ;

8) , ;

9) , ;

10) , .

2.

1) 0;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6) ;

7) ;

8) ;

9) ;

10) .

3.

1) (0,1);

2) ;

3) (1,2);

4) ;

5) и ;

6) стационарных точек нет;

7) ;

8) ;

9) стационарных точек нет;

10) .

4.

1) - точка минимума;

2) - точка минимума;

3) - точка максимума;

4) и 5) функция не имеет точек экстремума;

6) - точка минимума;

7) - точка минимума;

8) - точка максимума;

9) функция не имеет точек экстремума;

10) - точка минимума; - точка максимума.