⠭5 (Математический анализ)

§ 5. Определенный интеграл

Определенный интеграл функции равен пределу интегральных сумм, сопоставляемых ей по некоторым правилам. Для непрерывной неотрицательной функции определенный интеграл равен площади фигуры, заключенной между графиком функции и осью . При вычислении определенного интеграла от непрерывной на отрезке функции используется формула Ньютона-Лейбница, выражающая определенный интеграл через первообразную функции.

1. Определение

Пусть функция определена на отрезке . Разобьем отрезок на частей точками ( ) такими, что . Длины полученных отрезков обозначим ( ), и пусть – наибольшая из этих длин. Выберем на каждом из отрезков разбиения произвольную точку и составим сумму

, (1)

которую назовем интегральной суммой для функции .

Рассмотрим интегральные суммы, соответствующие разбиениям отрезка при различных значениях . Если существует предел таких сумм при , то он называется определенным интегралом функции на отрезке и обозначается

,

при этом функция называется интегрируемой (по Риману) на отрезке , числа и называются соответственно нижним и верхним пределами интегрирования.

Заметим, что всякая непрерывная на отрезке функция интегрируема на этом отрезке.

Пример. Функция непрерывна на отрезке и, следовательно, интегрируема на нем. Чтобы вычислить интеграл , достаточно рассмотреть любую последовательность разбиений отрезка , для которой , и найти предел соответствующей последовательности интегральных сумм. При этом промежуточные точки для каждого разбиения можно выбирать произвольно. Рассмотрим равномерные разбиения вида , , а в качестве выберем правые концы отрезков , то есть положим , . В этом случае имеем , , и интегральная сумма (1) принимает вид

.

Переходя к пределу при , получаем

.

2. Геометрический смысл

Пусть функция непрерывна на отрезке и неотрицательна: . Фигуру, ограниченную графиком функции , вертикальными прямыми и и осью , назовем криволинейной трапецией. Рассмотрим разбиение отрезка , описанное в предыдущем пункте, и соответствующую интегральную сумму (1). Заметим, что слагаемые в (1) равны площадям прямоугольников с основаниями и высотами ( ), а вся сумма представляет площадь ступенчатой фигуры, образованной этими прямоугольниками, см. Рис. 14. Предел интегральных сумм (если он существует), то есть определенный интеграл, естественно принять в качестве площади криволинейной трапеции.

Рис. 14.

3. Формула Ньютона – Лейбница

Если функция непрерывна на отрезке и - любая ее первообразная на этом отрезке, то справедлива основная формула интегрального исчисления:

,

называемая формулой Ньютона-Лейбница. Используя краткое обозначение , эту формулу можно записать в виде

.

Таким образом, вычисление определенного интеграла от непрерывной функции сводится к отысканию ее первообразной, то есть, по существу, неопределенного интеграла, что позволяет использовать методы, изложенные в § 4.

Пример. Найдем интеграл . Поскольку , то по формуле Ньютона-Лейбница получаем

.

Пример. Площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции , осью и прямыми и , равна

.

Упражнения

1. Вычислить определенные интегралы:

1) ; 6) ; 11) ;

2) ; 7) ; 12) ;

3) ; 8) ; 13) ;

4) ; 9) ; 14) .

5) ; 10) ;

2. Найти площади фигур, ограниченных линиями:

1. 1) , , , ;

2. 2) , , , ;

3) , .

Ответы

1. 1) 4; 2) ; 3) ; 4) 1; 5) 0; 6) 2( ); 7) ; 8) 2; 9) 0; 10) ;

11) ; 12) : 13) ; 14) ;

2. 1) 12; 2) 1; 3) ; Графики функций и пересекаются в точках с абсциссами . Площадь фигуры может быть вычислена как разность двух площадей: и .