⠭4 (Математический анализ)

§ 4. Неопределенный интеграл

К понятию неопределенного интеграла приводит задача о нахождении функции по ее производной. Эта задача решается с помощью операции интегрирования, обратной по отношению к операции дифференцирования.

1. Определение интеграла и правила интегрирования

Пусть для всех , принадлежащих интервалу , выполнено равенство

,

тогда функция называется первообразной функции на .

Заметим, что первообразная функции определяется не однозначно: вместе с первообразными являются функции вида , где – произвольная постоянная. Справедливо утверждение: любая первообразная функции представима в виде при некотором значении .

Совокупность всех первообразных функции называется ее неопределенным интегралом и обозначается символом :

;

при этом называется подынтегральной функцией, а - переменной интегрирования. Операция нахождения интеграла называется интегрированием.

Пример. а) Из равенства заключаем, что функция является первообразной функции . Следовательно, можно записать

.

б) Аналогично, из равенства следует

.

В отличие от производной интеграл элементарной функции может не быть элементарной функцией. Это относится, например, к интегралам от , , . Однако интегралы всех основных элементарных функций выражаются через элементарные функции. Приведем таблицу некоторых из них, получаемую из таблицы производных, и правила, по которым можно находить интегралы других функций.

Таблица интегралов

1) ( ); 2) ;

3) ; 4) .

Правила интегрирования

1. ;

2. , где  - постоянная

Отметим, что приведенные правила аналогичны соответствующим правилам дифференцирования.

Примеры. Найдем интегралы, применяя указанные правила и таблицу:

а) ;

б) ;

в) .

2. Замена переменной в неопределенном интеграле

В некоторых случаях нахождение интеграла упрощается при переходе к другой переменной интегрирования. При этом если исходная и новая переменные и связаны соотношением , где - обратимая дифференцируемая функция, то для интегралов справедливо равенство

,

в правой части которого после вычисления интеграла следует сделать обратную замену .

В частности, используя замену (или ), получаем формулу

,

позволяющую обобщить табличные интегралы. Например:

( ),

,

,

где и - произвольные постоянные, .

Примеры. Найдем интегралы, применяя полученные формулы:

а) ;

б) ;

в) ;

г) интеграл найдем, сделав замену , . Тогда

,

где использован результат примера в);

д) .

Упражнения

1. Найти интегралы:

1. ;

2. ;

4. ;

5. ;

6. ;

8. ;

9. ;

10. ;

11. ;

12. .

2. Найти интегралы:

1. ;

2. ;

;

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

;

;

;

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. ;

7. ;

8. .

Ответы

1.

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6) ;

7) ;

8) ;

9) .

2.

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6) ;

7) ;

8) ;

9) ;

10) ;

11) ;

12) ;

13) ;

14) ;

15) .