⠭2 (Математический анализ)

§ 2. Предел и непрерывность функции

Пределом функции в точке называется число, к которому приближаются значения функции при приближении аргумента к этой точке. Строгое определение предела дается сначала для функций частного вида – последовательностей, а затем переносится на функции общего вида. На основе понятия предела определяются важнейшие понятия математического анализа – производная и интеграл.

1. Предел последовательности

Последовательностью называется функция, определенная на множестве натуральных чисел N = . Значения этой функции , N, называются элементами или членами последовательности, число называется номером элемента . Для последовательностей используется обозначение или более наглядная запись . Задать последовательность можно с помощью формулы, связывающей и .

Приведем примеры последовательностей, указав их различные представления:

а) , или , или ;

б) , или , или ;

в) , или , или .

Заметим, что элементы этих последовательностей ведут себя по-разному с увеличением номера : в первом случае убывают, приближаясь к нулю; во втором случае неограниченно возрастают; в третьем случае не приближаются ни к какому определенному числу, принимая поочередно значения и . Для описания поведения элементов последовательности при неограниченном увеличении n вводится понятие предела.

Число а называется пределом последовательности , если для любого положительного числа существует такой номер , что для всех выполняется неравенство (то есть отличается от менее, чем на ).

Если предел существует, то говорят, что последовательность сходится, и пишут (читается: “предел равен ”) или при (“ стремится к при , стремящемся к бесконечности”). В противном случае говорят, что последовательность расходится.

Примеры. а) Последовательность сходится, ее предел равен нулю: . Это непосредственно следует из определения предела, поскольку при любом неравенство выполняется для всех , и в качестве можно взять любое натуральное число, большее .

б) Аналогично доказывается более общее утверждение:

при любом .

Например, , и т. д.

1. Правила вычисления пределов последовательностей

При вычислении пределов последовательностей используются следующие правила:

I. Если последовательности и сходятся, то сходятся их сумма, разность и произведение, причем:

1) ,

2) ,

1. 3) ;

если и , то сходится также и частное:

4) .

II. Предел последовательности , где - постоянная, равен этой постоянной:

.

III. Постоянный множитель можно выносить за знак предела:

(следствие правил I.3 и II).

Применению указанных правил часто предшествуют некоторые предварительные преобразования выражения, стоящего под знаком предела.

Примеры. а) ;

б) .

1. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности

Последовательность называется бесконечно малой, если . Это означает, что для любого найдется номер такой, что для всех выполняется неравенство .

Последовательность называется бесконечно большой, если для любого числа найдется такой номер , что для всех справедливо неравенство . В этом случае пишут (читается: “предел равен бесконечности”) или при (“ стремится к бесконечности при , стремящемся к бесконечности”). Если при этом все элементы положительны, начиная с некоторого номера, то пишут (“предел равен плюс бесконечности”), а если отрицательны - используют запись (“предел равен минус бесконечности”).

Заметим, что если , то (при ), то есть последовательность, обратная к бесконечно большой, является бесконечно малой. Аналогично, если , то (при ), – последовательность, обратная к бесконечно малой, является бесконечно большой.

Справедливы также следующие утверждения:

сумма и произведение двух бесконечно малых последовательностей являются бесконечно малыми последовательностями;

произведение двух бесконечно больших последовательностей является бесконечно большой последовательностью;

если оба предела и равны (или ), то (соответственно ).

Примеры. а) Последовательности

, , , при ,

являются бесконечно малыми, а обратные к ним последовательности

{ }, { }, { }, { } при , { }

– бесконечно большими.

б) Последовательности и бесконечно большие, поэтому их сумма – также бесконечно большая. Отсюда следует, что – бесконечно малая последовательность, поскольку

.

1. Число e

Рассмотрим последовательность . Можно показать, что эта последовательность сходится; ее предел обозначается буквой :

.

Число играет важную роль в математике (служит основанием натуральных логарифмов); оно не является рациональным и приближенно равно

.

Исходя из определения числа , можно получить более общую формулу:

,

справедливую для любой постоянной .

Приведем пример экономической задачи, в которой возникает число . Предположим, что в банк помещена сумма под годовых. Тогда через год сумма вклада составит

,

где введено обозначение .

Предположим, что вклад можно снять по истечении любого срока в течение года, и начисление на вклад пропорционально этому сроку, т.е. за полгода будет начислено , за месяц - , за один день - . Тогда к концу года можно получить доход больший, чем , действуя следующим образом. Если, например, в середине года закрыть счет и полученную сумму снова положить в банк на оставшиеся полгода, то в конце года сумма вклада составит

.

Если повторять операцию закрытия-открытия счета чаще, например, каждый месяц, то к концу года будем иметь , а если каждый день, то . Если предположить, что операция закрытия-открытия счета производится раз в году через равные промежутки времени, то в конце года сумма вклада составит , а если представить, что проценты начисляются непрерывно (число операций закрытия-открытия счета неограниченно растет), то

.

Таким образом, максимальное число процентов, на которое гипотетически может увеличиться вклад при данной схеме начисления, составляет . Например, при номинальной ставке 100 % ( максимальная эффективная ставка составит .

1. Предел функции

Пусть функция определена на некотором интервале , содержащем точку , за исключением быть может самой этой точки. В дальнейшем любой интервал, содержащий некоторую точку , будем называть окрестностью данной точки.

Число называется пределом функции в точке , если для любой последовательности , , сходящейся к , последовательность значений функции сходится к . Обозначения:

или при .

При вычислении пределов функций используются те же правила, что и при вычислении пределов последовательностей. В частности, если существуют пределы и , то

;

;

;

если, кроме того, (тогда для всех , достаточно близких к ), то

.

Примеры. а) Найдем предел функции в точке . Для произвольной последовательности такой, что , , на основании свойств пределов последовательностей имеем

.

Отсюда по определению предела функции получаем

.

б) Найдем предел функции в точке , в которой функция не определена. Для произвольной последовательности такой, что , , имеем

.

Отсюда получаем

.

1. Пределы в бесконечности. Бесконечные пределы

Данное выше определение предела функции можно распространить на случаи, когда или (по отдельности или вместе) являются не числами, а символами , или . Так, например, запись

,

где - число, означает, что для любой бесконечно большой последовательности , стремящейся к , последовательность сходится к . Аналогично, запись

,

означает, что для любой последовательности , стремящейся к , последовательность стремится к .

Примеры. а) ; б) ; в) ;

г) .

В качестве более сложного примера приведем равенство

,

которое можно доказать, исходя из определения числа . Заметим, что этому равенству можно придать вид

.

1. Непрерывность функции

Функция , определенная в некоторой окрестности точки , называется непрерывной в точке , если

.

Если ввести обозначения и ( называется приращением аргумента, а - соответствующим приращением функции), то определению непрерывности можно придать вид

.

Таким образом, непрерывность означает, что малым приращениям аргумента соответствуют малые приращения функции.