⠭1 (Математический анализ)

§ 1. Числовые функции

Понятие функции является одним из основных в математике. С его помощью выражают зависимости между различными переменными величинами. Изучение свойств функций, основанное на методе пределов, составляет содержание математического анализа.

1. Определение

Пусть - некоторое числовое множество, и пусть каждому элементу поставлено в соответствие число . Тогда говорят, что на множестве определена числовая функция. Функцию обозначают некоторым символом, например , и пишут

. (1)

Множество называется областью определения функции , - ее аргументом, а - значением функции в точке . Используются также обозначения: для области определения и для множества значений функции.

Графиком функции называется множество всех точек координатной плоскости вида , где . График дает наглядное представление о поведении функции, однако более удобным в теоретических исследованиях является аналитический способ задания функций с помощью формул. На практике используют также табличный способ, когда значения функции указываются для отдельных значений аргумента.

В качестве области определения функции могут выступать различные числовые множества, например:

а) отрезок ;

б) интервал ;

в) полуинтервалы или ;

г) бесконечные полуинтервалы или ;

д) множество всех действительных чисел R = .

Под областью определения функции, заданной формулой, понимают обычно множество всех значений аргумента, для которых эта формула имеет смысл.

Примеры. 1) Для функции область определения и множество значений

имеют вид: , ; график функции представлен на рис. 1.

Рис. 1.

2) Для функции имеем , ; график функции изображен на рис. 2.

Рис. 2.

3) Для функции имеем: ,

; ее график приведен на рис. 3.

Рис. 3.

1. Основные элементарные функций

Напомним определения и свойства некоторых элементарных функций, известные из школьного курса математики. В каждом случае укажем аналитическое выражение и область определения функции, приведем ее график.

а) Линейная функция:

R,

где и – некоторые постоянные (числа); график – прямая с угловым коэффициен-

том ( , где – угол наклона прямой к оси ):

Рис.4.

б
) Квадратичная функция:

R,

Рис. 5.

где , , - постоянные коэффициенты; график – парабола, ее расположение существенно зависит от величины

,

называемой дискриминантом функции, и от знака первого коэффициента :

в) Обратно пропорциональная зависимость:

,

где - постоянная. График – гипербола:

Рис. 6.

г) Степенная функция:

,

где и - постоянные; область определения существенно зависит от . В п. в) рассмотрен случай , а в примере 1 - случай . Приведем еще графики функций для и :

Рис. 7.

е) Показательная функция:

R,

где - постоянная; график в зависимости от значения имеет вид:

Рис. 8.

Все перечисленные здесь функции, а также логарифмическая, тригонометрические и обратные тригонометрические функции основными элементарными функциями.

1. Сложная функция

Пусть заданы функции и , причем множество значений функции принадлежит области определения функции : . Тогда можно определить сложную функцию

,

называемую также композицией функций и .

Пример. Из функций и с помощью указанной операции можно составить две сложные функции: и .

Используя операцию композиции, можно из основных элементарных функций, получать новые функции, также называемые элементарными. Вообще, элементарной функцией называют функцию, которую можно получить из основных элементарных функций с помощью конечного числа арифметических операций и композиций.

П
ример. Функция (читается: “модуль ”) является элементарной, так как для всех R справедливо представление . График этой функции приведен на рис. 9.

Рис. 9.

4. Обратная функция

Рассмотрим функцию с областью определения и множеством значений . Предположим, что для любого уравнение имеет единственное решение . Тогда на множестве можно определить функцию, сопоставляющую каждому такое значение , что . Эту функцию называют обратной для функции и обозначают :

.

Функцию, у которой существует обратная функция, назовем обратимой.

Обозначая, как обычно, аргумент функции через , а значение функции через , можно записать

.

Поскольку взаимная перестановка переменных и равносильна переобозначению координатных осей, можно показать, что график функции симметричен графику функции относительно биссектрисы первого и третьего координатных углов (то есть относительно прямой ).

Примеры. 1) Для линейной функции обратная функция также линейна и имеет вид . Меняя местами и , получаем . Графики исходной и обратной функций приведены на рис. 10.

Рис. 10.

2) Для функции , , множество значений имеет вид . Для каждого уравнение имеет единственное решение . Поменяв местами и , получим , . Графики функций приведены на рис. 11 .

Рис. 11.

Рис. 11.

3) Обратной к показательной функции является логарифмическая функция . На рис. 12 представлены графики функций и .

Рис. 12.

Упражнения

1. Найти области определения следующих функций:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6) ;

7) ;

8) ;

9) ;

10) ;

11) ;

12) ;

13) ;

14) ;

15) ;

16) ;

17) ;

18) ;

19) ;

20) ;

21) ;

22) .

2. Построить графики функций:

1) ,

2) ;

3) ;

4) ;

5) ,

6) ;

7) ;

8) ;

9) ;

10) ;

11) ;

12) ;

13) ;

14) ;

15) .

3. Найти функции обратные к функции , указать их области определения и построить графики:

1) ;

2) ;

3) , ;

4) , ;

5) , ;

6) ;

7) ;

8) ;

9) ;

10) .

Ответы

1.

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) R;

6) R;

7) ;

8);

9) ;

10) ;

11) ;

12) ;

13) ;

14) R;

15) ;

16) ;

17) ;

18) ;

19) ;

20) ;

21) ;

22) .

.

3.

1) , R;

2) , R;

3) , ;

4) , ;

5) , ;

6) , ;

7) , ;

8) ;

9) , ;

10) , R.