TRANSF~3 (Лекции по линейной алгебре (МГИЕМ, ФПМ))

ГРУППЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ

(продолжение)

1. Группы преобразований

Пусть X некоторое множество, Sym(X) - множество всех взаимно однозначных отображений X на себя. Элементы называются преобразованиями множества X.. Композиция двух таких преобразований будет называться их произведением. Таким образом , (fg)(x) = f(g(x)). Отметим, что это произведение ассоциативно: (fg)h = f(gh).Для каждого преобразования f имеется обратное преобразование . Непустое множество G преобразований X называется группой преобразований, если:

Заметим, что каждая группа преобразований G содержит тождественное преобразование i. В самом деле, пусть - любой элемент. Тогда и значит . Число элементов в G, если оно конечно, называется порядком группы преобразований. Если H и G две группы преобразований множества X и , то H называется подгруппой G.

Приведем два основных примера групп преобразований. Пусть - любое подмножество и любая группа преобразований.

1. Множество всех таких преобразований , что f(y) =y образует подгруппу (сиационарные на Y преобразования).

2. Множество всех таких преобразований , что образует подгруппу (G - симметрии множества Y).

Приведем теперь более конкретные примеры.

1. Если X ={ 1, 2, ... , n } то группа Sym(X) обозначается и состоит из всех подстановок степени n . Эта группа состоит из n! элементов.

2. Множество всех перемещений n - мерного пространства образует группу преобразований . - подгруппа.

3. Пусть некоторая точка (начало координат). Группа состоит из всех перемещений сохраняющих начало координат. Как нам известно, такие перемещения можно отождествить с ортогональными операторами в . Эта группа называется группой ортогональных преобразований n - мерного пространства и обозначается . Каждое перемещение имеет определитель ±1 . Множество перемещений с определителем 1 образует группу, которая обозначается (специальная группа). Аналогичный смысл имеет обозначение .

4. Пусть Y - прямоугольник (не квадрат!) на плоскости . Группа состоит из четырех преобразований: тождественного, поворота на 180° и двух отражений относительно взаимно перпендикулярных осей. Стандартное обозначение этой группы . Аналогично, группа из двух элементов и обозначается .

5. Пусть Y - правильный n - угольник ( n = 3, 4, ... ) на плоскости. Группа состоящая из 2n элементов обозначается , а - и состоит из n элементов. Первая из них называется диэдральной, а вторая - циклической . Смысл этих названий будет пояснен в дальнейшем. По определению будем считать, что группа состоит из одного тождественного перемещения i.

6. Пусть Y - фигура, образованная бесконечной в обе стороны последовательностью букв Г: ...Г Г Г Г ...Если h - вектор, начало которого совпадает с «углом» одной из этих букв, а конец с «углом» соседней, то группа состоит из переносов на векторы равные nh , где n = 0, ±1, ±2, ... . Эта группа называется бесконечной циклической и обозначается .

7. Орбиты и стационарные подгруппы.

   Пусть G группа преобразований множества X, некоторая точка. Множество называется орбитой точки x. Подгруппа называется стационарной подгруппой точки x. Приведем некоторые примеры.

   1. Рассмотрим группу G = вращений плоскости вокруг некоторой точки P. Если x некоторая точка плоскости отличная от P, то ее орбита представляет собой окружность с центром P радиусом d(x , P). Орбита же точки P состоит из этой единственной точки. Стационарная подгруппа в первом случае тривиальна (то есть состоит из одного тождественного перемещения), а во втором совпадает со всей группой .

   2. Возьмем группу G = симметрий правильного треугольника ABC на плоскости (см. пример 5 выше). Пусть оси симметрии треугольника, пересекающиеся в центре треугольника точке P. Если точка x плоскости не лежит ни на одной из осей симметрии, то ее орбита состоит из 6 точек, являющихся вершинами шестиугольника со сторонами перпендикулярными этим осям. Стационарная подгруппа в этом случае тривиальна. Если x лежит на одной из осей, но не совпадает с P, то - правильный треугольник с вершинами на осях симметрии, а группа St(x) совпадает с . Наконец, состоит из единственной точки P, а St(P) совпадает со всей группой .

3.Пусть X ={ 1, 2, ... , n }, G = . Орбита любой точки совпадает со всем множеством X. В этом случае группа называется транзитивной на множестве.

Установим теперь некоторые общие свойства орбит и стационарных подгрупп.

Теорема 8

Пусть G группа преобразований множества X. Тогда:

Доказательство.

Как отмечалось выше, тождественное преобразование i содержится в любой группе преобразований. Следовательно, i(x) = x и первое утверждение доказано. Если , то y = g(x) для некоторого g . Если любой элемент, то (y) = и потому . Но поскольку x = (y) и значит справедливо и обратное включение. Тем самым доказано и второе утверждение. Наконец, если и z =g(y) = (x), то y = (x), то есть , что доказывает третье утверждение.

Следствие.

Любая группа G преобразований множества X задает разбиение D этого множества на непересекающиеся непустые подмножества - орбиты : .

Теорема 9.

Пусть, как и выше G группа преобразований множества X. Если x = g(y), то отображение является взаимно однозначным соответствием между подгруппами St(x) и St(y).

Доказательство.

Поскольку , отображение j имеет обратное: и потому взаимно однозначно на множестве X. Если то есть h(x) = x, то j(h)(y) = = (h(g(y))) = (h(x)) = (x) = y. Следовательно, . Аналогично, , что и требовалось.

Следствие.

Если x и y точки одной орбиты и St(x) конечная группа из k элементов, то и St(y) - конечная группа из k элементов. Число k называется порядком стабилизатора орбиты.

Теорема 10.

Пусть G конечная группа преобразований множества X . Число элементов орбиты равно , где - число преобразований в G, а k - порядок стабилизатора орбиты.

Доказательство.

Пусть y любой элемент, y = g(x). Если , то (gh)(x) = g(h(x)) = g(x) = y. Обратно, если (gh)(x) = y, то h(x) = (y) = x и, следовательно, . Итак, количество элементов G, переводящих x в y равно порядку стабилизатора орбиты k. Следовательно, общее число элементов G равно числу элементов орбиты, умноженному на k, что и требовалось доказать.