Производная от обратной ф-ии.

Dh: Пусть в точке х₀ имеет:

2. на промежутке, содержащем х₀ , обратную ф-ию

тогда в точке х₀ существует , равная

Доказательство:

1. Пусть и двум различным значениям х соответствует е различных значений y .

2. Пусть дифф. в точке х₀ , тогда

3. т.к.

Производная от сложной ф-ии.

Dh: Пусть:

1. - дифф. в точке y₀ .

2. - дифф. в точке х₀ .

тогда сложная ф-ия - дифф. в точке х₀ и справедлива формула:

Доказательство:

1. - дифф. в точке y₀

2. - дифф. в точке х₀

3. - дифф. в точке х₀ а значит непрерывна в этой точке .

Односторонние производные.

Заменим в определении производной предел – односторонним пределом, получится определение односторонней производной.

Производная от параметрически заданной ф-ии.

Df: Ф-ия называется заданной параметрически, если ее аналитическое выражение может быть представлено в виде:

t- параметр.

Dh: Пусть ф-ия задана параметрически, где и дифф. в точке х₀ , тогда

Доказательство: Предположим. что имеет обратную ф-ию , тогда - сложная ф-ия от х и определению сложной ф-ии имеет:

Производные высших порядков.

Df: Пусть ф-ия дифф. на Х , то есть дифф. в каждой т. Х .

Каждому значению Х соответствует единственное значение , т.е. получаем как ф-ию, заданную на Х.

Если она окажется дифф. на Х, то мы можем вычислить следующую , которая будет называться второй и т.д.

Df: Производной n-го порядка от ф-ии называется первая производная от производной n-1 порядка.

Пример:

Теоремы о дифф. ф-ях.

Теорема Ферма: Пусть дифф. на и наибольшее или наименьшее ее значение в т. х₀ , тогда производная в этой точке равна нулю.

**************************

Доказательство:

Пусть - наибольшее на

Но из дифф в т. х₀

Zm: Из доказательства т. Ферма следует: Пусть непрерывна на промежутке и внутренних точках этого промежутка принимает наибольшее и наименьшее значение, тогда если в этой точке ф-ия дифф., то .

Теорема Ролля: Пусть ф-ия :

1. непрерывна на

2. дифф. на

3. Принимает на концах этого отрезка одинаковые значения.

Тогда на существует т. х₀ , в которой

*************

Доказательство:

Из непрерывности ф-ии на отрезке следует, что имеет на этом отрезке свои наименьшее(m) и наибольшее(M) значения.

Возьмем два случая:

1. m=M ; наименьшее значение совпадает с х₀ следовательно:

2. ; из (3) следует: ***********

Dh: Между двумя корнями ф-ии есть точка производной.

Теорема Лагранжа: Пусть ф-ия непрерывна на промежутке , дифф. на , тогда на существует такая х₀ такая, что верна формула:

Если ее переписать в виде

**************************

Доказательство:

Рассмотрим вспомогательную ф-ию .

1. Она непрерывна на как сумма непрерывных ф-ий.

2. F(x) – дифф. на как сумма дифф. на интервале ф-ий.

3. F(а) = 0; F(b) = 0

Sl: Пусть ф-ия дифф. на , тогда для любой внутренней точки интервала справедлива формула Лагранжа:

х₀ между

Действительно ***************

Из дифф. ф-ии на следует ее непрерывность на

Теорема Коши: Пусть и :

1. Непрерывны на .

2. Дифф. на

Тогда на существует т. х₀ , для которой справедлива формула Коши:

Доказывается как теорема Лагранжа.

Приложение производной к исследованию ф-ий.

1. Исследование на монотонность.

Пусть дифф. на , тогда справедливо:

• Ф-ия возрастает на на .

• Ф-ия не убывает на на .

• Ф-ия постоянна на на .

• Ф-ия не возрастает на на .

• Ф-ия убывает на на .

2. Исследование на экстремум.

Df: т. х₀ называется точкой локального минимума, если ф-ия непрерывна в этой точке и существует такая окрестность х₀ , что для любого х

**************************

Исследование ф-ии на выпуклость графика.

**************************

Df: График ф-ии на направлен выпуклостью вниз (вогнутый), если он расположен выше касательной, проведенной в любой точке , а график ф-ии - выпуклый, если он расположен ниже касательной, проведенной в любой точке .

Df2: Точка х₀ , в которой непрерывна, называется точкой перегиба, если она отделяет интервал выпуклости от интервала вогнутости.

Достаточные условия выпуклости ф-ии на интервале.

Пусть ф-ия дважды дифф. на и сохраняет на нем свой знак, то:

1. , то график на - вогнутый.

2. , то график на - выпуклый.

Асимптоты графика ф-ии.

В некоторых случаях, когда график ф-ии имеет бесконечные ветви, оказывается, что при удалении точки вдоль ветви к бесконечности, она неограниченно стремится к некоторой прямой. Такие прямые называют асимптотами.

.Вертикальные асимптоты – прямая называется вертикальной асимптотой графика ф-ии в точке b , если хотя бы один из разносторонних пределов равен бесконечности.

Если ф-ия задана дробно-рациональным выражением, то вертикальная асимптота появляется в тех точках, когда знаменатель равен нулю, а числитель не равен нулю.

********************

Наклонная асимптота – прямая наклонная асимптота ф-ии , если эта ф-ия представлена в виде

Необходимый и достаточный признак существования наклонной асимптоты:

Для существования наклонной асимптоты к графику ф-ии необходимо и достаточно существование конечных пределов:

Доказательство: Пусть:

Пусть:

Следовательно существует асимптота.

Общая схема исследования ф-ий

1. По ф-ии

   1. D(f)

   2. E(f)

   3. Непрерывность в области определения

   4. Четность, нечетность.

   5. Переодичность

   6. Асимптоты

2. По первой производной

   1. Экстремумы

   2. Интервалы монотонности

3. По второй производной

   1. Интервалы выпуклостей

   2. Точки перегиба

4. Построение графика ф-ии.

Приложение производной к вычислению пределов.

(Правило Лопиталя).

Пусть:

1. Ф-ии и дифф. в проколотой окрестности точки х₀

то справедливо:

Доказательство:

1. Доопределим ф-ии и в точке х₀ так, чтобы они стали непрерывными, т.е. ф-ия непрерывна на всей окрестности

2. применим т.Коши на интервале или

, где ζ лежит между х и х₀ следовательно

Zm:Если производная ф-ии удовлетворяет правилу Лопиталя, то можно вычислять последнюю несколько раз (2,3,4…), пока она удовлетворяет условию.Правило Лопиталя применимо, когда x₀ – бесконечно удаленная точка.

Дифференциал ф-ии.

Из Df дифференцируемости следует, что приращение дифф. ф-ии можно представить в виде

Из равенства нулю предела следует, что - б.м. более высшего порядка малости, чем , и

Поскольку - б.м. одного порядка малости.

- б.м. одного порядка малости - б.м. эквивылентные, т.е.

Пусть

**************

Zm1: и х – независимые переменные, т.е.

Zm1: для независимых переменных.

Свойства дифференциала:

Дифференцирование сложных ф-ий. Инвариантность в форме дифференциала