Л

По всем вопросам и по дальнейшему пополнению лекций обращаться на ящик

van_mo_mail@mtu-net.ru или на сотовый:

8-901-7271056 спросить Ваню

Ведущая: Голубева Зоя Николаевна

Дата: вторник, 17 октября 2000 г.

Тема: «Коши, производные»

Теорема: (Коши о промежуточных значениях)

Пусть функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a,b] и на концах принимает значение разные значения.

f(a)=A f(b)=B AB. Тогда С лежащею между А и В,  х₀(a,b): f(x₀)=C. Другими словами нет точек которые не являются значением отрезка.

Д оказательство: A

Эта функция непрерывна на отрезке [a,b]

(a)=f(a)-c=A-C<0 по теореме Коши №1¹  x₀(a,b):(x₀), то естьf(x₀)-C=0 f(x₀)=c

(b)=f(b)-c=B-C>0

Замечание: Условие непрерывности нельзя отбросить

[c,d][A,B]

[c,d)E(f)

Теорема: (о существование и непрерывности обратной функции) «Без доказательства»

П усть на множестве D задана непрерывная возрастающая или убывающая функция y=f(x). Тогда на множестве её значений Е определена обратная ей функция x=g(y), которая непрерывна и возрастает или убывает на множестве Е.

Производная функции. ∆Х

П усть y=f(x) определена в O(x₀)

∆ x=x-x₀ – называется приращением аргумента в т х₀ Х

^Х_ ^Х

Разность значений функций.

∆y=∆f(x₀)=f(x)-f(x₀)=f(x₀+∆x)-f(x₀) – называется приращением функции в точки х₀. Через эти обозначения можно определить непрерывность функций:

f(x) – неопределенна в точки х₀, если она определена в O(x₀) и lim ∆y=0

^{∆ x0}

lim[f(x)-f(x₀)]=lim[f(x)-f(x₀)]0 lim[f(x)]=f(x₀)]

^x-x_^{0 xx}_ ^xx_

Определение непрерывной функции в точки приращения:

f(x) – неопределенна в точки х₀, если она определена в O(x₀) и lim ∆y=0

^{∆ x0}

Определение: (производной функции)

Пусть y=f(x) определена в О(х₀) и  lim[∆y/∆x]<, тогда этот предел называется производной функции f(x) в

^∆х0

точке х₀.

Обозначения:

f’(x₀), y’(x₀), dy/dx, df(x₀)/dx=df(x)/d(x)

То есть f’(x₀) по определению = lim[f(x)-f(x₀)]/(x-x₀)lim∆y/∆xdy/dx

^{∆x0 ∆x0}

Физический смысл производной.

Рассмотрим прямолинейное движение материальной точки:

S

x

x₀ x

t₀ t

s(t)x(t); ∆s=∆x(t)=x(t)-x(t₀)

∆ s/∆t=[x(t)-x(t₀)]/[t-t₀]=v_cp. Если ∆t0

тогда v_cpv_мнг

lim ∆s/∆t=lim[x(t)-x(t₀)]/[t-t₀]=v_мнг

^{∆t0 tt}_

Геометрический смысл производной.

y’(x₀)=lim∆y/∆x – производная функции у(х) и в точке х₀.

^∆х0

∆y=y(x₀+∆x)-y(x₀)

y’(x₀)=tg_кас где _кас – угол наклона в точке (х₀;y(x₀)) к оси

Основные теоремы о производной.

Теорема: Пусть  f’(x) и g’(x), тогда  [f(x)+g(x)]’= f’(x)+g’(x)

Доказательство: следует непосредственно из определения производной и свойств предела суммы.

Теорема: (связи между непрерывностью функции и существование производной)

Пусть  f’(x) функция f(x) – непрерывна.

Доказательство: Пусть f(x) определена в О(х₀) и lim[f(x)-f(x₀)]/(x-x₀)=f’(x₀)< [f(x)-f(x₀)]/(x-x₀)=f(x₀)+(x-x₀)²

^∆xx_

[f(x)-f(x₀)]=f’(x₀)(x-x₀)+(x-x₀)(x-x₀) при хх₀

lin[f(x)-f(x₀)]=limf’(x₀)(x-x₀)+lim(x-x₀)(x-x₀)=0+0=0linf(x)=f(x₀) то есть f(x) непрерывна в точки х₀

^xx_ ^xx_ ^xx_ ^xx_

Замечание: обратное утверждение неверно, из-за непрерывности функции в точке х₀ не следует существование функции в этой точки.

y =х

Н епрерывна в точки х₀=0

limx, x0

^x+0

lim|x|= =0

lim(-x), x<0

^x-0

y(0)=0

limy(x)=limy(x)=y(0)=0   limy(x)=y(0)=0  функция непрерывна

^{x+0 x-0 x0}

lim∆y/∆x-не существует, действительно х+0y(x)=x

^x0

lim[y(x)-y(0)]/x=lim(x-0)/x=1

^{x+0 x+0}

x-0y(x)=-x

lim[y(0)-y(x)]/x=lim(0-x)/x=-1 то есть lim∆y/∆x – не существует

^{x-0 x-0 х0}

Теорема: Пусть  u’(x) и v’(x), тогда (uv)’=u’v+v’u

Доказательство: Зададим приращение ∆х в точки х. Рассмотрим: lim[∆(uv)]/∆x=

^∆x0

lim[1/∆x][u(x+∆x)v(x+∆x)-u(x)v(x)]=lim[1/∆x][ u(x+∆x)v(x+∆x)-u(x)v(x+∆x)+u(x)v(x+∆x)-u(x)v(x)=

^{∆x0 ∆x0}

lim[(v(x+∆x))(u(x+∆x)-u(x))]/∆x+lim[(u(x))(v(x+∆x)-v(x))]/∆x=v(x)u’(x)+u(x)v’(x)

^{∆x0 ∆x0}

Теорема: (о произведение частного)

Пусть  u’(x) и v’(x), v’(x)0 в О(х), тогда (u/v)’=[u’v-v’u]/v²

Доказательство: (u/v)’=[u(1/v)]’=[u’(1/v)]+[(1/v)’u]. Функция u(x) и v(x) –непрерывны в точки х₀.

lim[∆(1/v)/∆x]=lim[1/∆x][1/(v(x+∆x))-1/v(x)]=lim[[v(x)-v(x-∆x)]/[∆xv(x)x(x+∆x)]]-[v’(x)/v²(x)]

^{∆x0 ∆x0 ∆x0}

(u/v)’=u’(1/v)-(uv)’/v²=[u’v-uv’]/v² что и требовалось доказать

Таблица производных

y=sinx

(sinx)’=lim[sin(x+∆x)-sinx]/∆x=lim[2sin(∆x/2)cos((2x+∆x)/2)]/∆x=lim[2(∆x/2)cos(x+(∆x/2))]/∆x=cosx

^{∆x0 ∆x0}

(sinx)’=cosx

г де sin(x)

(sin(x))’=cos(x)

y=cos(x)

(cos(x))’=lim[cos(x+∆x)-cos(x)]/∆x=lim[-2sin(∆x/2)sin((2x+∆x)/2)]/∆x=lim[-2(∆x/2)sin(x+(∆x/2))]/∆x=-sinx

^{∆x0 ∆x0 ∆x0}

(cos(x))’=-sinx

г де cosx

(cos(x))’=-sin(x)

y=tg(x)

(tg(x))’=(sin(x)/cos(x))’=[(sin(x))’cos(x)-(cos(x))’sin(x)]/cos²x=[cos²x+sin²x]/cos²x=1/cos²x

(tg(x))’=1/cos²x

г де tg(x)

(tg(x))’=1/cos²x

Лекция №11

Ведущая: Голубева Зоя Николаевна

Дата: вторник, 24 октября 2000 г.

Тема: «Производные, дифференциал»

y=xⁿ

y’(x)=lim[(x+∆x)ⁿ-xⁿ]/∆x=¹=lim[xⁿ(1+(∆x/x))-1]/∆x=/∆x/x0,∆x0\=lim[xⁿ(∆x/x)n]/∆x=nx^n-1

^{∆x0 ∆x0 ∆x0}

( xⁿ)’=nx^n-1

^{y=x^3}

_y’=3x^2

Рассмотрим когда х=0 y’(0)=lim(∆x)ⁿ/∆x=lim(∆x)^n-1=/n>1\=0 если n=1/0,n>1;1,n=1\

^{∆x0 ∆x0}

Дифференциал функции.

Определение: Пусть y=f(x) определена в некоторой О(х₀) – она называется дифференцируемой в точке х₀, если её приращение в этой точки представимо в виде:

∆y=∆f(x₀)=A∆x+(∆x)∆x)¹

(0)=0 A=const

Определение: линейная ∆х часть приращение дифференцируемой функции называется дифференциалом функции в точке х₀:

dy=df(x₀)A∆x

Теорема: Если функция дифференцируема в точке х₀ то A=f’(x₀), то она имеет производную в этой точке, то A=f’(x₀); наоборот если функция имеет производную в этой точке, то она дифференцируема в этой точке – называется дифференциалом.

Доказательство: Пусть y=f(x) дифференцируема в точке х₀, то есть в некоторой О(х₀) справедливо равенство ∆f(x₀)=A∆x+(∆x)∆x¹; (0)=0. Поделим обе части этого равенства на ∆х и приведём к пределу при ∆х0:

lim(∆f(x₀))/∆x=lim(A+(x))=A. Этот предел существует, меньше , тогда по определению этот предел есть

^{∆x0 ∆x0}

производная.

Доказательство: (в обратную сторону) Пусть в точке х₀  f’(x₀)(<) – это означает, что f(x) определена в некоторой О(х₀) и  lim(∆f(x₀))/∆x=f’(x₀) по определению предела следует, что в некоторой О(х₀)

^∆x0

(∆f(x₀))/∆x=(∆х)+f’(x₀) при ∆х0  ∆f(x₀)=f’(x₀)+(∆x)∆x, так как lim(∆x)=0, то в точке х₀ y (∆x) может

^∆х0

быть лишь устранимым разрывом . Устраним его, определим и доопределим:

(0)=0, тогда ∆f(x₀)=f’(x₀)∆x+(∆x)∆x  A=f’(x₀) из установленного соответствия получим выражения для дифференцируемой функции df(x₀)=f’(x₀)∆x

Следствие: по определению полагают дифференциал независимой переменной равной её приращению

dx=∆x (х - независимая переменная)

df(x)=f’(x)dx

f(x)=x – вычислим дифференциал f’(x)=1 df(x)=dx=f(x)∆x=1∆x

Замечание: дифференциал функции зависит от двух переменных – от самой точки х и от ей приращения

y=cosx x₀=/2 ∆x=/180

y’=-sinx y’(/2)=-sin(/2)=-1

dy(/2)=-1∆x=-1/180=-/180

Теорема: Пусть y=f(x) дифференцируема в точке х₀, а z=g(y) дифференцируема в точке у₀=f(x₀), тогда сложная функция z=g(f(x) - дифференцируема в точке х₀ и z’(x₀)=g’(f)f’(x)

Доказательство: (1) ∆z=g’(y₀)∆y+(∆y)∆y

(2) ∆y=f(x₀)∆x+(∆x)∆x (0)=0 (0)=0

Подставим в первое равенство второе:

∆z=g’(y₀)f(x₀)∆x+g’(y₀)(∆x)∆x+[f’(x₀)+(∆x)∆x][f’(x₀)∆x+(∆x0∆x]

lim∆z/∆x=limg’(x₀)f’(x₀)+limg’(x₀)(∆x)+lim (f’(x₀)+(∆x)∆x)[f’(x₀)+∆x]  z’(x₀)=g’(y₀)f’(x₀) что и требовалось

^{∆x0 ∆x0 ∆x0 ∆x0}

доказать.

Теорема: Пусть функция y=f(x) возрастает (убывает) в О(х₀) и дифференцируема в точке х₀. Тогда обратная у ней функция x=g(y) дифференцируема в точки y₀=f(x₀), причём g’(y₀)=1/f(x₀)

Д оказательство: из дифференцируемой функции f(x) в точке х₀ и из монотонности следует существование обратной функции в точке х₀ и её непрерывность lim[∆y(y₀)]/∆y= ∆y0, то ∆у0  в силу строгой

^∆у0 монотонности функции и обратной =

к ней следует ∆х0

=lim∆x/∆y=lim1 /(∆y/∆x)= в силу непрерывности следует =1/[lim∆y/∆x]=1/[lim∆f(x₀)/∆x]=1/f(x₀) f(x₀)0

^{∆y0 ∆y0} ∆у0, то ∆х0 и наоборот ^{∆x0 ∆x0}

y=a^x

y’(x)=lim[a^x+∆x-a^x]/∆x=lim[a^x(a^∆x-1)]/∆x=lim[a^x(e^∆xlna-1)]/∆x=/∆x0, то ∆xlna0\=lim[a^x∆xlna]/∆x=a^xlna

^{∆x0 ∆x0 ∆x0 ∆x0}

y ’=a^xlna, частный случай y=e^x  (e^x)’=e^x

^{y=x^2}

_{y’=x^2 lnx}

y=lnx

y’=lim[ln(x+∆x)-lnx]/∆x=lim[ln((x+∆x)/x)]/∆x=lim[ln(1+∆x/x)]/∆x=/∆x/x0 при ∆x0\=lim(∆x/x)/∆x=1/x

^{∆x0 ∆x0 ∆x0 ∆x0}

( lnx)’=1/x

^y=lnx

_y’=1/x

y =log_ax=lnx/lna (log_ax)’=1/xlna

^y=lgx

_y’=1/xln10

y=arcsinx обратная функция x=siny x[-1;1] y[-/2;/2]

(arcsinx)’_x=x0=1/(siny)’_y0=y=1/cosy_y0=y=

y[-/2;/2], cosy0 cosy>0, если y[-/2;/2] то есть x1

=1/(1-sin²y)_y=y0=1/(1-(sinarccosx)²)_x=x0=1/(1-x₀²)

(arcsinx)’=1/(1-x²)

^y=arcsinx

_{y’=1/(1-x^2)}

y=acrcosx, обратная x=cosy x[-1;1] y[0;]

(arcosx)’=1/(cosy)’_y=y0=1/-siny_y=y0=-1/(1-cos²y)_y=y0=-1/(1-(cosarccosy)²)_x=x0=-1/(1-x₀²)

(arcosx)’=-1/(1-x²)

^y=arccosx

_{y’=--1/(1-x^2)}

y=arctgx обратная функция x=tgy y(-/2;/2)

(arctgy)’=1/(tgy)’=cos²y= / 1+tg²y=1/cos²y \ =1/(1+x²)

(arctgy)’=1/(1+x²)

( arcctgy)’=-1/(1+x²)

^y=arctgsx

_{y’=-1/ (1+x^2)}

^y=arcctgx

_{y’=--1/ (1+x^2)}

Гиперболические функции.

chx=(e^x+e^-x)/2

shx=(e^x-e^-x)/2

chx²-shx²=1

chx²+shx²=ch2x

ch(-x)=chx

sh(-x)=-shx

chx shx

^{c thx=chx/shx}

^{t hx=shx/chx}

(chx)’=sh(x)

(shx)’=ch(x)

(thx)=1

Лекция №12

Ведущая: Голубева Зоя Николаевна

Дата: среда, 25 октября 2000 г.

Тема: «Линеаризация»

Геометрический смысл дифференциала функции и уравнение касательной.

f’(x₀)=tg

уравнение прямой : Y=kx+b

y₀=f(x₀)=kx₀+b

k-угловой коэффициент прямой

k=tg=f’(x₀)

Y=f(x₀)+f(x₀)-f’(x₀)x₀

b=f(x₀)-kx₀

Y=f(x)+f’(x₀)(x-x₀)

∆f(x₀)=f’(x₀)∆x+(∆x)∆x при ∆х0  в некоторой

O(x₀) f(x₀)=f’(x₀)+f’(x₀)∆x+(∆x)∆x при ∆х0

Y¹=f(x₀)+f’(x₀)(x-x₀)^a=f’(x₀)+f’(x₀)∆x

df(x₀)=f’(x₀)∆x

Геометрический смысл дифференциала:

df(x₀) – это приращение ординаты при движение по касательной проведённой к графику функции в точки (х₀;f(x₀).

Замечание: Часто говорят о касательной проведённой в точке х₀.

Линеаризация функции.

Определение: Замена функции в окрестности данной точки линейной функции называется линеаризацией функции, точнее в О(х₀) заменяется отрезком касательной в точке х₀.

( *) f(x)-Y=(∆x)∆x-o(∆x)

Если в равенстве (*) отбросить правую часть, то мы

получим приближённое равенство:

f(x)f(x₀)+f’(x₀)(x-x₀), xx₀

Y=f(x₀)+f’(x₀)(x-x₀) – уравнение касательной в точке х₀

Формула получена из определения дифференциала в точке х₀ функции

f(x)=f(x₀)+f(x₀)∆x+o∆x при ∆х0 – называется критерием дифференциальности функции в точке х₀.

Приближенные вычисления и оценка погрешности вычисления.

Можно приближенно вычислять значение функции в точках близких к заданной точки.

³8,001=1

х₀=8

х=8,000

f(x)=³x

f(x₀)=f(8)=2

Проведём линеаризацию выбранного корня.

f’(x)_х=8=(³x)’_x=8=1/3x^-2/3_x=8=1/12

³x2+1/12(x-8), x8

³x2+0,001/12

Y_кас=2+1/12(x-8)

³x=2+1/12(x-8)+o(x-8) при х8

Погрешности вычисления.

f(x)-f(x₀)=df(x₀)+o(x-x₀) при хх₀

∆f(x₀)df(x₀), xx₀

∆¹=∆f(x₀)df(x₀)

f(x)=10^x в точке х₀=4, если ∆х=0,001 х=40,001

10⁴∆=10⁴23

f’(x)=10^xln10; f’(4)=10⁴ln10=23000; ln102,2

∆230000,001=23

Изучение поведения функции при помощи первой производной.

Слева от М₀ tg >0; Справа от М₀ tg <0

tg f’(x)>0 слева от М₀

tg f’(x)<0 справа от М₀

Теорема: Пусть y=f(x) дифференцируема  x(a,b) и f’(x)>0 (f’(x)<0), тогда f(x) возрастает (убывает) на (а,b)

_a( |_x1 |_x2 )_b

x₁,x₂(a,b) x₁2

Надо доказать: f(x₁)2)

Применим теорему Лангранджа на отрезке (х₁,x₂)^{Теорема}.

f(x₂)-f(x₁)=f’(c)(x₂-x₁) где c(x₁,x₂)

f(x₂)-f(x₁)>0  f(x₂)>f(x₁)

Экстремумы функции.

М ожно указать О(х₁) в которой все значения функции

f(x)1) b и О_1(х₁) анологично для точки х₂

f(x)>f(x₁) b и О_2(х₁). Значенгие функции в точке М₁, М₃ и М₅ –

max; M₂ и М₄ – min – такие точки назавыются точкками

экстремума или точками локального max и min.

Определение: (точки экстремума)

Пусть функия f(x) определена в некоторой О(х₀) и f(x)>f(x₀) в

О(х₀) или f(x)0) в этом случае точка х₀ – называется точкой локального max (min).

З амечание:

f(x)f(x₁) в О_1(х₁)

f(x)f(x₂) в О_2(х₂)

говорят, что точки х₁ и х₂ точки не строгого локального

экстремума.

Теорема: (Ферма) (о необходимости условия экстремума дифференцируемой функции)

Пусть y=f(x) дифференцируема в точки х₀ и точка х₀ – точка экстремума, тогда f(x₀)=0

Доказательсто: Заметим, что х₀ точка экстремума, то в её окрестности f(x) – f(x₀) сохраняет знак. Запишем условие ∆f(x₀)=f(x)-f(x₀)(x-x₀)+o(x-x₀)

f(x)-f(x₀)=(x-x₀)[f(x₀)+(x-x₀)] то при х – достаточно близких к х₀ знак выражения стоящего в квадратных скобках совпадает со знаком f’(x₀)0 (x-x₀) – меняет знак при переходе черех точку х₀  f’(x₀)=0

Лекция №13

Ведущая: Голубева Зоя Николаевна

Дата: вторник, 31 октября 2000 г.

Тема: «Экстремумы»

Замечание:

О братное утверждение неверно. Из-за того, что произведение в данной точки равно нулю, не следует, что это экстремум.

y=(x-1)³

y’=3(x-1)²

y’(1)=0

x₀=1

xO^-_(1)f(x)<0

xO⁺_(1)f(x)<0

x=1 – не точка экстремума.

Теорема (Ролля):

Пусть функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a,b] и дифференцируема на (a,b). Кроме того на концах интервала она принемает равные значения f(a)=f(b), тогда  с(a,b): f(c)=0

Доказательство: Така как функция непрерывна на отрезке [a,b], то по второй теореме Вейштрасса есть наибольшее и наименьшее значение (m,M), если m=M, то f(x)const (x[a,b]) (const)’=0.

Пусть m

Замечание: условие дифференцируемсти нельзя отбросить.

непрерывна на отрезке [a,b]

Геометрический смысл.

f’(x)=0, то касательная  оси х. Теорема не утверждает, что это единственная точка.

Теорема Лангранджа:

Пусть функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a,b] и дифференцируема на отрезке (а,b), то  с(a,b): f(b)-f(a)=f(c)(b-a)

Доказательство:

F(x)=f(x)+x где  - пока неизвестное число.

F(x) – непрерывна на отрезке [a,b] как сумма непрерывной функции

f(x) – дифференцируема на отрезке [a,b] как сумма дифференцируемой функции.

Выберем число , так чтобы на отрезке [a,b] F(x) принимало равное значение.

F(a)=f(a)+a

F(b)=f(b)+b

F(a)=F(b)  f(a)-f(b)=(a-b)  =[f(b)-f(a)]/[b-a]

F(x) – удовлетворяет условию теоремы Роллера на отрезке [a,b]   c(a,b):F’(c)=0, то есть F’(x)=f’(x)+

0 =f’(c)+  f’(c)=-=[f(b)-f(a)]/[b-a]

То есть на кривой которая наклонена

к оси х под таким же углом как и секущая

[f(b)-f(a)]/[b-a]=tg=f(x)  c(a,b)

Замечание:

Часто точку с можно представить в

нужном виде:

с=х₀+∆х

0<(c-x₀)/(x-x₀)= <1

c-x₀=(x-x₀)

c=x₀+(x-x₀)¹

f(x)-f(x₀)=f’(x₀+∆x)(x-x₀)

0<<1

∆f(x₀)=f’(x₀+∆x)∆x

Теорема: (о необходимых и достаточных условиях экстремума по первой производной)

Пусть y=f(x) непрерывна на отрезке [a,b] и дифференцируема в О(х₀). Если f’(x) меняет знак при переходе через точку х₀, то точка х₀ – точка экстремума. Если меняет знак:

с + на – то это точка максимума

с – на + то это точка минимума

Доказательство:  х₁  О^-(х₀) на [x₁,x₀];  c₁(x₁,x₀) f(x₀)-f(x₁)=f’(c₁)(x₀-x₁)  f(x₀)>f(x₁) x₁O^-(x₀)

 х₂  О⁺(х₀) на [x₀,x₂];  c₂(x₀,x₂) f(x₂)-f(x₀)=f’(c₂)(x₂-x₀)  f(x₂)0) x₂O⁺(x₀)

f(x₀)>f(x) xO(x₀)  точка х точка максимума.

Если в точке х₀ существует производная то она обязательно равна 0 в силе теоремы Ферма. Но могут быть точки в которых f(x) существует, а f’(x) не существует.

Принцип решения подобных задач:

Условие: найти наибольшее и наименьшее значение функции не отрезке [a,b].

Ход решения:

1. Находим точки в которых производная либо равна 0 либо не существует f’(x)=0 или f’(x)  x₁, x_n

2. Вычисляем знак функции на концах отрезка и в этих точках f(a), f(b), f(x₁)….f(x_n)

3. Выбираем наибольшее и наименьшее mf(x)

Определение: точки в которых функция определена, а производная либо равняется нулю, либо не существует называют критическими точками.

Производная функции высшего порядка.

Существует f’(x)  x(a,b), тогда эта производная сама является функцией х (х)=f’(x) и можно ставить о дифференцируемости этой функции.

Существует ’(x)  x(a,b), то мы называем её второй производной ’(x)f’’(x)

Лекция №14

Ведущая: Голубева Зоя Николаевна

Дата: среда, 8 ноября 2000 г.

Тема: Производная функции высшего порядка.

f⁽ⁿ⁾=^def=(f^(n-1)(x))’

’’’ – [dⁿf(x)]/dxⁿ=(d/dx)([d^n-1f(x)]/dxⁿ)

Теорема: (Коши – обобщение теоремы Лангранджа¹)

Пусть функция f(x) и g(x) непрерывны на отрезке [a,b], дифференцируема на интервале (a,b) и g’(x)0, x(a,b), тогда  с  (a,b) такая, что [f(b)-f(a)]/[g(b)-g(a)]=f’’(c)/g’(c)

Доказательство: Отметим прежде всего, что g(b)g(a), так как по теореме Лангранджа¹ для функции g(x)

g(b)-g(a)=g’(c₁)^II (b-a)^III0 (c₁(a,b)) Рассмотрим вспомогательную функцию

F(x)=f(x)-g(X) где  -неизвестное число

F(x) – непрерывна на отрезке [a,b] и дифференцируема на интервале (a,b)

Потребуем F(a)=f(b)

F(b)=f(b)-g(b)

---

F(a)=f(a)-g(a)

___________________

0=f(b)-f(a)-(g(b)-g(a)) =[f(b)-f(a)]/[g(b)-g(a)]. Получим, что F(x) удовлетворяет условию теоремы Ролля⁴

с(a,b):F’(c)=0, то есть F’(c)=f’(c)-g’(c)  =f’(c)/g’(c)=[f(b)-f(a)]/[g(b)-g(a)], что и требовалось доказать.

Правила Лопиталя.

Это правило в случае дифференцируемости функции позволяет избавляться от неопределённостей типа 0/0 или / при вычисление пределов.

Теорема: Пусть функции f(x) и g(x) дифференцируемы в О(х₀), g’(x₀)0 в О(х₀), f(x₀)=g(x₀)=0 и 

lim f’(x)/g’(x)=k (конечный или бесконечный предел), тогда  lim f(x)/g(x)=lim f’(x)/g’(x)=k

^xx_ ^xx_ ^xx_

Доказательство: lim f(x)/g(x)=lim [f(x)-f(x₀)]/g(x)-g(x₀)=lim f’(c(x))/g’(c(x))= c=c(x) лежащая между х их₀ если

^xx_ ^xx_ ^xx_

хх₀ то сх₀=lim f’(x)/g’(x)=k

^xx_

Замечание(1): f(x₀)=g(x₀)=0 требование можно заменить требованием lim f(x)=0, lim g(x)=0, то есть в т х₀ f(x) и

^xx_ ^xx_

g(x) могут иметь устранимый разрыв, действительно достаточно переопределить или доопределить f(x) и g(x) по непрерывности, так чтобы f(x₀)=g(x₀)=0

Замечание(2): Если  f’(x₀) и g’(x₀), g’(x₀)0, то утверждение теоремы будет:

lim f(x)/g(x)=lim f’(x)/g’(x)=lim [(x-x₀)(f’(x₀)+(x-x₀))]/ [(x-x₀)(g’(x₀)+ (x-x₀))]=f’(x₀)/g’(x₀)

^xx_ ^xx_ ^xx_

Теорема: (/) Пусть функции f(x) и g(x) непрерывны в О(х₀), g'(x)0 и О(х₀), дифференцируемы в О(х₀) и

lim f(x)=lim g(x)=;  lim f’(x)/g’(x)=k. Тогда lim f(x)/g(x)=lim f’(x)/g’(x)=k

^xx_ ^xx_ ^xx_ ^xx_ ^xx_

Без доказательства!

Замечание: Если функции f’(x) и g’(x) сами удовлетворяют условия теоремы то правило Лопиталя можно применить повторно:

f(x)=e^x g(x)=xⁿ x

lim e^x/xⁿ= lim e^x/1!= nN lim e^x/xⁿ= lim e^x/nx^n-1₌ lim e^x/[n(n-1)x^n-2]=lim e^x/n!=+

^{x + x+ x+ x+ x+ x+}

f(x)=lnx

x+

g(x)=xⁿ

lim lnx/xⁿ= lim (1/x)/nx^n-1= lim 1/nxⁿ=0

^{x+ x+ x+}

Формулы Тейлора.

Определение: (многочлена Тейлора) Пусть функция y=f(x) – n – раз дифференцируема в точке х₀ многочлен (полином) вида

T_n(х)=f(x₀)+[f’(x₀)(x-x₀)]/1!+ [f’’(x₀)(x-x₀)²]/2!+ [fⁿ(x₀)(x-x₀)]/n! называется многочлен Тейлора с центром в точке х₀ или многочленом по степеням (х-х₀)

Свойства многочлена Тейлора.

Теорема: (основное свойство многочлена Тейлора) Пусть функция y=f(x) – n – раз дифференцируема в точке х₀ f(x)=T_n(x₀); f’(x₀)=T_n’(x₀),…,f⁽ⁿ⁾(x₀)=T_n⁽ⁿ⁾(x₀)

Доказательство; (подстановкой) T_n(х)=f(x₀)+[f’(x₀)(x-x₀)]/1!+ [f’’(x₀)(x-x₀)²]/2!+ [fⁿ(x₀)(x-x₀)]/n! , подставим х₀ получим T_n(x₀)=f(x₀). Продифференцируем многочлен Тейлора

T_n’(x)=f’(x₀)/1!+[f’’(x₀)2(x-x₀)]/2!+ [f’’’(x₀)3(x-x₀)²]/3!+ [fⁿ(x₀)n(x-x₀)^n-1]/n!, подставим вместо х х₀

T_n(x₀)=f(x₀)

T_n’’(x)=f’’(x₀)/1!+[f’’’(x₀)32(x-x₀)]/3!+…+ [f⁽ⁿ⁾(x₀)n(n-1)(x-x₀)^n-2]/n!

T_n’’(x)=f’’(x₀)

Формула Тейлора с остаточным членом пеано.

Теорема: Пусть функция y=f(x) – n – раз дифференцируема в точке х₀, тогда в О(х₀) f(x)=T_n(x)+o((x-x₀)ⁿ), xx₀

f(x)= f(x₀)+[f’(x₀)(x-x₀)]/1!+ [f’’(x₀)(x-x₀)²]/2!+ [fⁿ(x₀)(x-x₀)ⁿ]/n!+0((x-x₀)ⁿ)(x-x₀)¹

lim[f(x)-T_n(x)]/(x-x₀)ⁿ=(0/0)=lim [f’(x)-T_n’(x)]/n(x-x₀)^n-1=(0/0)=….=lim [f⁽ⁿ⁾(x)-T_n⁽ⁿ⁾(x)]/n!=0  функция

^xx_ ^xx_ ^xx_

[f(x)-T_n(x)]/(x-x₀)ⁿ=(х-х₀)ⁱⁱ  f(x)-T_n(x)=(x-x₀)ⁿ(x-x₀)=0((x-x₀)ⁿ) при хх₀ что и требовалось доказать.

Замечание: в случае если х₀=0 формула Тейлора называется Маклорена f(x)=f(0)+[f’(0)x]/1!+ [f’’(0)x²]/2!+ [fⁿ(0)xⁿ]/n!+0xⁿ при х0

1 На концах отрезка [a,b] и на концах принимает значение разных знаков

2 (x-x₀)-бесконечно малое при хх₀

1 x0

1 (∆x) – бесконечно малое при ∆х0, а (∆x)∆х – есть о∆х

1 Y – ордината касательной

a – x-x₀ =∆x

1 ∆-погрешность вычисления.

Т^еорема –Если f(x) непрерывна на [a,b] дифференцируема на отрезке (а,b), то  с(a,b): f(b)-f(a)=f(c)(b-a)

1 (x-x₀)=∆x

1 Теорема – Если f(x) непрерывна на [a,b] дифференцируема на отрезке (а,b), то  с(a,b): f(b)-f(a)=f(c)(b-a)

I^I – g’(c₁)=0 по условия теоремы

I^II – (b-a)=0

4 - Теорема (Ролля): Пусть функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a,b] и дифференцируема на (a,b). Кроме того на концах интервала она принемает равные значения f(a)=f(b), тогда  с(a,b): f(c)=0

1 0((x-x₀)ⁿ)(x-x₀) – остаточный член в форме пеано

iⁱ (х-х₀) – бесконечно малое при хх₀