Л

По всем вопросам и по дальнейшему пополнению лекций обращаться на ящик

van_mo_mail@mtu-net.ru или на сотовый:

8-901-7271056 спросить Ваню

екция №5

Ведущая: Голубева Зоя Николаевна

Дата: вторник, 25 сентября 2000 г.

Тема: Бесконечно большие последовательности

Теорема:

lim(1-1/n)ⁿ=1/e e=2,7183

^n+

0a_n=1-1/n1 nN, то есть a_n=(1-1/n)ⁿ- ограниченна.

ⁿ⁺¹a_n=ⁿ⁺¹(1-1/n)ⁿ1=ⁿ⁺¹(1-1/n)(1-1/n)…(1-1/n)1<[1+(1-1/n)+…+(1-1/n)]/n+1=(n+1-n1/n)/n+1=n/n+1=1-1/n+1

ⁿ⁺¹(1-1/n)ⁿ<1-1/n+1

(1-1/n)ⁿ<(1-1/n+1)ⁿ⁺¹

a_nn₊₁ nN  последовательность возрастает и ограниченная.

(1-1/n)ⁿ – имеет конечный предел

lim(1-1/n)ⁿ=1/e

^n+

Следствие

lim(1+1/n)ⁿ=e

^n+

lim1/(1+1/n)ⁿ=(n/n+1)ⁿ=[1-1/(n+1)]ⁿ⁺¹/ [1-1/(n+1)]=(1/e)/1=1/e

^n+

lim[1/(1+1/n)ⁿ]=1/e

^n+

lim(1+1/n)ⁿ=e

^n+

Определение под последовательности

Пусть дана a_n зададим произвольный набор натуральных чисел таких, что

n₁23<…k<….

a_n1,a_n2,…,a_nk,…

Полученная последовательность называется под последовательностью и сходной последовательности.

a_n=(-1)ⁿ

{a_n}={-1;1;-1;1….}

n₁=2;n₂=4,….,n_k=2k

{a_nk}={1,1,1,1…}

Теорема

Пусть последовательность a_n сходится, тогда последовательности

 lim a_n=a {a_nk} – гас и lim

^n+

lim a_nk=0

^n+

Доказательство так как a_n – сходиться, то ε>0 N: n>N  a_n-a<ε

a_nk; n_k>N то есть a_nk-a<ε

Пример

a_n=(-1)ⁿ – не имеет предела

{a_2n}={1,…,1,…,}

{a_2n-1}={-1,….,-1,…}

имели бы тот же самый предел.

Предел функции.

Определение

Пусть y=f(x) определена в O(x₀). Мы говорим, что функция f(x) имеет предел в при хх₀ если ε>0  >0

x:0<x-x₀< f(x)-b<ε

lim f(x)=b

^xx_

Через окрестности это определение записывается следующим образом

ε>0 >0 x0_(x₀)f(x)0_ε(b)

Если lim f(x)=0, то f(x) наз бесконечно малой при xx₀.

^xx_

Замечание. Необходимо указать в каком именно процессе f(x) бесконечно малое. Надо указать к какому числу  а.

f(x)=x-1

1.x1 lim(x-1)=0, то есть y=x-1 бесконечно малое при x1

^x1

2 .x2 lim(x-1)=1, то есть y=x-1 не является бесконечно малой при x2

^x1

Пример

f(x)=2x+1 x1

Докажем lim(2x+1)=3

^x1

ε>0 >0 x:0<x-1< (2x+1)-3<ε

(2x+1)-3<ε

|x-1<ε/2

x1

Положим =ε/2

Теорема о бесконечно малом

1)(x);(x) – бесконечно малое xx₀  (x)+(x) – бесконечно малое при xx₀

2)(x);(x) – бесконечно малое при xx₀

3)Если f(x) – ограниченна в O(x₀) и (x) – бесконечно малое при xx₀, то f(x);(x) – бесконечно малое при xx₀

Доказательство (3)

Так как f(x) – ограниченна в O(x₀), то  С>0: xO(x₀)|f(x)C;

Так как (x) – бесконечно малое при хх₀, то ε>0 >0 x: 0<x-x₀<  (x)<ε ε₁>0

Положим ε=ε₁/c

>0 x: 0<x-x₀|< f(x)(x)=f(x)a(x)1 lim f(x)(x)=0, то есть f(x)a(x) – бесконечно малое при xx₀

^xx_

Лекция №6

Ведущая: Голубева Зоя Николаевна

Дата: среда, 26 сентября 2000 г.

Тема: Замечательные пределы

Теорема

f(x)>g(x) в O(x₀) и  lim (f(x))=b и  lim (g(x))=c. Тогда bc

^xx_ ^xx_

Доказательство:

Рассмотрим функцию (x)=f(x)-g(x)>0 в O(x₀)  lim ((x))= lim (f(x)) - lim (g(x))= b-c и в силу предыдущей

^xx_ ^xx_ ^xx_

теоремы b-c0, то есть b0 что и требовалось доказать.

Теорема

f(x)(x)g(x)  xO(x₀) и  lim (f(x))=b и  lim (g (x))=b.  lim ( (x))=b

^xx_ ^xx_ ^xx_

Доказательство:

f(x)=b+(x)

g(x)=b+(x)

где (x) и (x) – бесконечно малые при хх₀

b+(x)(x)b+(x)

Так как (х) и (х) – бесконечно малые то ε>0 ₁>0:  xO_1(x₀)  (x)<ε

₂>0:  xO_2(x₀)  (x)<ε

Положим =min{₁;₂}

Т огда  xO_(x₀)  (x)<ε

(x)<ε

-ε<(x)<ε

-ε<(x)<ε

b-ε

-ε<(x)-b<ε

(x)-b<ε  xO_(x₀)

 ε>0  =min{₁;₂}  (x)-b<ε xO_(x₀) то есть lim ( (x))=b

^xx_

Первый замечательные пределы.

Терема lim (sin(x)/x)=1

^x0

Д оказательство:

S_∆OMN=1/2 sin(x)

S_секOMN=1/2(x)

S_∆OKN=1/2 tg(x)

S_∆OMNсек_OMN< S_∆OKN

1/2sin(x)<1/2(x)

sin(x)

1

lim (1-cos(1/n))=0

^n+

lim (1-cos(x))=0  lim (cos(x))=1

^{x0 x0}

lim (x/sin(x))=0

^x0

x>0

lim (x/sin(x))=1

^x0

lim(1/(x/sin(x)))= lim(sin(x)/x)=1 что и требовалось доказать

^{x0 x0}

Определение бесконечного предела и пределов при х+.

lim (f (x))=+  ε>0 >0:  xO_(x₀)f(x)O_ε(+)

^xx_

(x): 0<x-x₀<

(////////// x

ε

lim (f (x))=-  ε>0 >0:  xO_(x₀)f(x)O_ε(-)

^xx_

(x): 0<x-x₀<

lim (f (x))=  ε>0 >0:  xO_(x₀)f(x)O_ε()

^xx_

f(x)>ε

lim (f (x))=b  ε>0 ∆>0:  xO_∆(+)f(x)O_ε(b)

^x+

 x: x>∆ f(x)-b <ε

lim (f (x))=b  ε>0 ∆>0:  xO_∆(-)f(x)O_ε(b)

^x-

 x: x<-∆ f(x)-b <ε

О дносторонние пределы.

Определение

f(x) определена в O⁺(x₀)

lim (f (x))=b  ε>0 >0:  xO⁺_(x₀)f(x)O_ε(b) x₀0+

^xx_⁺⁰

Определение

f(x) определена в O^-(x₀)

lim (f (x))=b  ε>0 >0:  xO^-_(x₀)f(x)O_ε(b) x₀-0

^xx_^-0

Теорема Пусть f(x) определена в O(x₀) Для того чтобы существо-

вал предел  lim(f(x))=b   lim(f(x))=lim(f(x))=b

^xx_ ^xx_^{+0 xx}_^-0

Пусть  lim(f(x))=b, то есть ε>0 >0:  xO_(x₀)f(x)O_ε(b) f(x)O_(b) для  xO⁺_(x₀) и для  xO^-_

^xx_

 xO^-_(x₀) lim(f(x));lim(f(x))=b что и требовалось доказать.

^xx_^{+0 xx}_^-0

Второй замечательный предел.

Теорема lim(1+1/x)^x=e

^x+

Доказательство: Пусть n – целая часть х – n=[x] nx

[1+1/(n+1)]ⁿ(1+1/x)^x(1+1/n)ⁿ⁺¹

Если x+, то n+

[1+1/(n+1)]ⁿ⁺¹1/[1+1/(n+1)](1+1/x)^x(1+1/n)ⁿ(1+1/n)  lim(1+1/x)^x=e

^x+

Лекция №7

Ведущая: Голубева Зоя Николаевна

Дата: вторник, 3 октября 2000 г.

Тема: Сравнение бесконечно больших и бесконечно малых.

Определение.

Пусть (x) и (x) – бесконечно малые при хх₀ ()

1. (x) ~ (x) при хх₀ () если lim (x)/(x)=1 ^{xx0 ()}

2. (x) и (x) одинакового порядка при хх₀ () если lim (x)/(x)=с0 ^{xx0 ()}

3. (x) бесконечно малое более высокого порядка малости чем (x) при хх₀ () если lim (x)/(x)=0 ^{xx0 ()}

Определение.

Пусть f(x) и g(x) – бесконечно большое при хх₀ ()

1) f(x) ~ g(x) при хх₀ () если lim f(x)/g(x)=1 ^{xx0 ()}

2)f (x) и g (x) бесконечно большие одинакового порядка роста, если при хх₀ () если limf(x)/g(x)=с ^{xx0 ()} <

В частности, если с=1, то они эквивалентны

1. f (x) бесконечно большое более низкого порядка роста чем g (x) или иначе g(x) бесконечно большое более высокого порядка роста чем g(x) при хх₀ () если lim f (x)/g (x)=0 ^{xx0 ()}

Примеры:

1. s in(x) – бесконечно малое

x при хх₀ – бесконечно малое

Сравним их lim sin(x)/x=1  sin(x)~x

^x0

при х0

1. 1n(1+x) – бесконечно малое

х при х0 – бесконечно малое

Сравним их lim ln(1+x)/x= lim ln(1+x)^1/x =1 

^{x0 x0}

ln(1+x) ~ x, при х0

1. x² – бесконечно большие

2х²+1, при х+ – бесконечно большие

Сравним lim x²/(2x²+1) = lim x²/x²(2+1/x²)=1/2

^{x+ x+}

то есть функция является бесконечно большой и

одинакового порядка. Замечание: если одну из

функций одинакового порядка роста домножить на

одинаковую const, то они станут эквивалентны.

Определение:

1. пусть (х)=о(х) – бесконечно малое при хх₀(). То мы говорим, что (х) и (х) при хх₀ (), если (х)=(х)(х), бесконечно малое при хх₀ (). Другими словами - (х) – бесконечно малое более высокого порядка, чем (х) така как (х)/(х)=(х) – бесконечно малое, то есть lim (x)/(x)=0 ^{x0 ()}

2. пусть f(х)=оg(х) – бесконечно большое при хх₀(). То мы говорим, что f(х) и g (х) при хх₀ (), если f (х)=(х)g (х). Другими словами - f (х) – бесконечно большое более низкого порядка, чем g(х) так как f(х)/g (х)=(х) – бесконечно малое, то есть lim f (x)/g (x)=0 ^{x0 ()}

Шкала бесконечности.

Степенные бесконечности.

xⁿ=o(x^m), 0

Докажем:

xⁿ=x^m(xⁿ/x^m)=x^m(1/x^(m-n))=x^m(x) m-n>0 x^m(x)o(x^m)

Показательные бесконечности.

а^х=о(b^х), 1

Докажам

a^x=a^x(b^x/b^x)=a^x(a/b)^x=b^x(xo(b^x) (0

Логарифмическая бесконечность

l n(x)=o(x^), >0. Логарифмическая бесконечность слабее любой степенной бесконечности.

ln(x)

lim ln(x)/x^=lim [(ln(x)/(x^/2x^/2))((/2)/(/2))]=

^{x0 x0}

lim [(ln(x)/x^/2)(2/(x^/2)]

^x0

Произведение бесконечно малых на ограниченную

равно бесконечно малой.

lim (ln(x)/x^)=0  (lim(x))/x^=(x)  ln=x^(x)ox^,

^x0

x+

Показательная и степенная.

X^k=o(a^x),  k>0,a>1 x+ lim(x^k)/(a^x)=0

^x+

Теорема: Пусть (x) ~ ₁(x) при xx₀ ()

(x) ~ ₁(x) при xx₀ ()

Тогда lim (x)/(x)=lim ₁(x)/₁(x)

^{xx0 () xx0 ()}

Доказательство:

lim(x)/(x)=lim[(x)₁(x)₁(x)]/[₁(x)₁(x)(x)]=lim((x)/(x))lim(₁(x)/(x))lim(₁(x)/₁(x))=lim ₁(x)/₁(x) что

^{x0 x0 x0 x0 x0 x0}

и требовалось доказать. Замечание: аналогичное утверждение справедливо для двух бесконечно больших.

Пример:

lim sin(x)/3x=limx/3x=1/3

^{x0 x0}

Определение: (главного слагаемого)

₁(x)+₂(x)+…+_n(x), при xx₀ ()

Главным слагаемым в этой сумме называется то слагаемое по сравнению с которым остальные слагаемые являются бесконечно малыми более высокого порядка малости или бесконечно большие более низкого порядка роста.

₁(x) – главное слагаемое, если ₂(х)=о(₁(х)),…,_n(x)=o(₁(x)) при xx₀ ()

Конечная сумма бесконечно малых эквивалентна своему главному слагаемому:

₁(x)+₂(x)+…+_n(x) ~ ₁(x) , при xx₀ () если ₁(х) – главное слагаемое.

Доказательство:

lim [₁(x)+₂(x)+…+_n(x)]/₁(x)=lim[₁(x)+₁(x)(x)+…+₁(x)(x)]/₁(x)=lim[₁(x)(1+₁(x)+…+_n(x))]/₁(x)=1 ^{xx0 () xx0 () xx0 ()}

Пример:

lim (e^x+3x¹⁰⁰+ln3x)/(2^x+1000x³+10000=lim e^x/2^x=lim e^x/(e^x(x))=+

^{x+ x+ x+}

2^x=o(e^x)e^x(x)

Основные эквивалентности.

e^x-1 – бесконечно малое при х0. lim (e^x-1)/x=1, то есть e^x-1 ~ x при x0

^x0

1-cosx – бесконечно малое при х0. lim (1-cos x)/(x²/2)=lim{2sin(2x/2)]/[x²/2]=lim [2(x/2)²]/[x²/2]=1,

то есть

1-cos(x) ~ x²/2 при х0 и (1+x)^p-1 ~ px при х0

Лекция №8

Ведущая: Голубева Зоя Николаевна

Дата: вторник, 10 октября 2000 г.

Тема: «Асимптотические формулы»

Формулы содержащие символ о - называются асимптотические.

1) lim [sin(x)/x]=1  (по определению конечного предела sin(x)/x=1+(x), где (х) – бесконечно малое при х0

^x0

 sin(x)=x+(x)x, где (х) – бесконечно малое при х0  sin(x)=x+ox, при х0; sin(x)~x, при х0

2) lim [ln(1+x)/x]=1  (по определению конечного предела ln(1+x)/x=1+(x), где (х) – бесконечно малое при

^x0

х0  ln(1+x)=x+(x)x, где (х) – бесконечно малое при х0  ln(1+x)=x+ox, при х0; ln(1+x)~x, при х0

3) lim [(e^x-1)/x]=1  (по определению конечного предела (e^x-1)/x=1+(x), где (х) – бесконечно малое при х0

^x0

 (e^x-1)=x+(x)x, где (х) – бесконечно малое при х0  (e^x-1)=x+ox, при х0; (e^x-1)~x, при х0; e^x=1+x+o(x), при x0

4) lim [(1-cos(x)/(x²/2)]=1  (по определению конечного предела (1-cos(x)/(x²/2)=1+(x), где (х) – бесконечно

^x0

малое при х0  1-cos(x)=(x²/2)+(x)x²/2, где (х) – бесконечно малое при х0  1- cos(x)=(x²/2)+ox²; при х0; 1- cos(x)~x²/2, при х0; cos=1-x²/2+o(x²), при x0

1) lim [((1+x)^p-1)/px]=1  (по определению конечного предела ((1+x)^p-1)/px =1+(x), где (х) – бесконечно

^x0

малое при х0  (1+x)^p-1=px +(x)-p, где (х) – бесконечно малое при х0  (1+x)^p-1=px+ox, при х0; (1+x)^p-1~px, при х0;(1+x)^p=1+p(x)+o(x), при x0

Если f(x)~g(x), при хх₀ (), то lim[f(x)/g(x)]=1  f(x)/g(x)=1+(x), где (х)–бесконечно малое при хх₀ ()

^{хх0 ()}

 f(x)=g(x)+(x)g(x) f(x)=g(x)+og(x) при хх₀ ()

Замечание: не всякие бесконечно малые, бесконечно большие можно сравнить.

Пример:

(x)=xsin(1/x), при х0

(х)=ф=х, при х0

(x)/(x)=sin(1/x)

lim[(x)/(x)]=lim[sin(1/x)] – который в свою очередь не существует.

^{x0 x0}

Эти бесконечно малые несравнимы.

Для удобства формул полагают по определению, что о(1)=(х), при хх₀ ()

а⁰1 n!=123….n o!

Определение: Пусть y=f(x) определена в О(х₀) и  lim f(x)=f(x₀): y=f(x) при хх₀ называется непрерывной в

^хх_

точке х₀ (то есть  ε>0  >0:  xO_(x₀)  f(x)O_ε(f(x₀))

Непосредственно из определения предела следуют следуемые теоремы о непрерывных функциях.

Теорема: Пусть f(x), g(x) – непрерывны в точки х₀, тогда f(x)+g(x) – непрерывна в точки х₀

Доказательство:1) f(x), g(x) определена в О(х₀)  f(x)+g(x) определена в О(х₀)

2) lim (f(x)+g(x))=limf(x)+limg(x)=f(x)+g(x) что и требовалось доказать

^хх_ ^хх_ ^хх_

Теорема: Пусть f(x), g(x) – непрерывны в точки х₀, тогда f(x)g(x) – непрерывна в точки х₀

Доказательство:1) f(x), g(x) определена в О(х₀)  f(x)g(x) определена в О(х₀)

2) lim (f(x)g(x))=limf(x)limg(x)=f(x)g(x) что и требовалось доказать

^хх_ ^хх_ ^хх_

Теорема: Пусть f(x), g(x) – непрерывны в точки х₀, тогда f(x)/g(x) – непрерывна в точки х₀

Доказательство:1) f(x), g(x) определена в О(х₀)  f(x)/g(x) определена в О(х₀)

2) lim (f(x)/g(x))=limf(x)/limg(x)=f(x)/g(x) что и требовалось доказать

^хх_ ^хх_ ^хх_

Теорема(об ограниченности непрерывной функции в окрестности точки). Пусть y=f(x) непрерывна в точки х₀, тогда она ограниченна в некоторой окрестность этой точки.

Доказательство: limf(x)=f(x₀), то есть  ε>0  >0 x: x-x₀<  f(x)-f(x₀)<ε . Предполагается, что  выбрано так, что f(x) определена в соответствующих точках. О_(х₀)О(х₀). Так как это справедливо для любого ε>0, то возьмем ε=1  >0 -10)<1; xO_(x₀)O(x₀) f(x₀)-10)x, то есть В

xO_(x₀)O(x₀)

Теорема:(о непрерывности сложной функции) Пусть y=f(x) непрерывна в точки х₀, а z=g(y) непрерывна в точки y₀=f(x₀), тогда сложная функция имеет вид z=g(f(x₀)) – непрерывна в точки х_0.

Доказательство: Зададим  ε>0 в силу непрерывности z=g(y) в точки у₀  б>0x: y-y₀|<б g(y)-g(x₀)<ε

По найденному б>0 в силу непрерывности функции f(x) в точки х₀  >0 x: x-x₀< f(x)-f(x₀)<б

ε>0 >0 x:x-x₀< y-y₀<б  g(y)-g(y₀)<ε g(f(x))-g(f(x₀)) то есть lim g(f(x))=g(f(x₀))

^xx_

Замечание: можно переходить к пределу под знаком непрерывной функции limf(x)=limg(y) limf(x)=f(x₀)=y₀ ^xx_ ^xx_ ^xx_

Непрерывность некоторых функций.

1) y=c (постоянная) непрерывна в х₀ R lim c=c. Зададим ε>0 рассмотрим разность f(x)-f(x₀)=c-c=0<ε

^xx_

 x: x-x₀< (>0)!

2) y=x непрерывна в  x₀R, то есть lim x=x_0. Зададим ε>0 рассмотрим разность f(x)-f(x₀)=x-x₀<ε

^xx_

 x: x-x₀< (>0)! =ε!

Следствие.

Многочлен p(x)=a_nxⁿ+ a_n-1x^n-1+…+a₁x+a₀

(a_n,a_n-1…a₁,a₀ – зададим число)

n=0,1,2,3…. непрерывен в любой точки х₀ оси как сумма произведения непрерывной функции. Рациональная функция:

R(x)=p(x)/q(x). Частная двух многочленов непрерывна в любой точки х₀ в которой q(x)0

Лекция №9

Ведущая: Голубева Зоя Николаевна

Дата: среда, 11 октября 2000 г.

Тема: «Точки разрыва»

1) Доказать, что lim [((1+x)^p-1)/px]=1

^x0

y=(1+x)^p-1

lim [((1+x)^p-1)/px]= x0  y0 =lim ([ln(1+x)]/x)([(1+x)^p-1]/[pln(1+x)]=lim ([ln(1+x)]/x)

^x0 (1+x)^p=y+1 ^{x0 x0}

p[ln(1+x)]=ln(y+1)

lim([(1+x)^p-1]/[pln(1+x)]=lim y/[ln(y+1)]=1 что и требовалось доказать  (1+x)^p-1~px при x0

^{x0 y0} (1+x)^p=1+px+o(x) при х0

2) Доказать, что lim (e^x-1)/x=1

^x0

y=e^x-1

lim (e^x-1)/x= x0  y0 =lim y/[ln(y+1)]=1 что и требовалось доказать 

^x0 e^x=y+1 ^y0

x=ln(y+1)

e^x-1~x при x0

e^x=1+x+o(x) при х0

Классификация точек разрыва функции.

Определение: Пусть y=f(x) определена в О(х₀), а в самой точке х₀ может быть как и определена, так и неопределенна.

1) Точка х₀ называется точкой разрыва 1^ого рода функции, если

а) Существует lim f(x)’=lim f(x)’’ , но либо функция неопределенна в точки х₀ либо f(x₀)b. Тогда точка х₀

^xx_^{+0 xx}_^-0

точка устранимого разрыва.

1,x=1

Y=(x-1)/(x-1)=

Не , x=1

б) f(x)=cb

Можно доопределить или переопределить в точке х₀, так что она станет непрерывной.

 lim f(x)=b; lim f(x)=c, но bc

^xx_^{+0 xx}_^-0

Может быть и определена f(x₀)=b

Или f(x₀)=d

2 )Точка х₀ называется точкой разрыва 2^ого рода функции если она не является точкой разрыва 1^ого порядка, то есть если хотя бы один из односторонних пределов не существует или равен бесконечности.

y=sin(1/x)

Основные теоремы о непрерывных функциях.

Теорема: Все основные элементы функции непрерывны в любой точки своей области определения.

Определение: (функции непрерывной на отрезке)

y=f(x) – называется непрерывной на отрезке [a,b], если она непрерывна в любой точке х(a,b). В точке х=а функция непрерывна справа, то есть lim f(x)=f(a), а в точке х=b функция непрерывна слева lim f(x)=f(b).

^xx_^{+0 xx}_^-0

Функция непрерывна на множестве D если она непрерывна в этой точке.

Теорема: (о сохранение знака непрерывной функции)

Пусть y=f(x) непрерывна в точке х₀ и f(x₀)>0 (f(x₀)<0), тогда f(x)>0 f(x)<0 непрерывна в некоторой точки О(х₀)

Доказательство:  lim f(x)=f(x₀) ε>0  >0 x: x-x₀<  f(x)-f(x₀)|<ε.

^xx_

Пусть f(x₀)>0, выберем ε=f(x₀)  f(x)-f(x₀)0) xO_(x₀) (>0!)

-f(x₀)0)0); f(x)>0 xO_(x₀), если f(x₀)<0, то ε=-f(x₀)

Теорема Коши: ( о нуле непрерывной функции)

Пусть f(x) непрерывна на [a,b] и на концах его принимает значение разных знаков f(a) f(b) <0, тогда  x₀(a,b): f(x₀)=0

Доказательство:

f(b)>0 f(a)<0

Разделим отрезок [a,b] пополам. Если в середине отрезка f(x)=0, то всё доказано, если нет, то выберем ту половину отрезка, на концах которой функция принимает значение разных знаков. Выбранной отрезок поделим пополам. Если в середине нового отрезка f(x)=0, то всё доказано, если нет, то выберем ту половину от той половины, на концах которой функция принимает значение разных знаков и т.д.

[a,b][a₁,b₁][a₂,b₂]

Последовательность левых концов удовлетворяет отношению a12<…n<…

bb₁b₂…b_n…>a 

{ a_n}-ограниченная не убывающая  lim a_n=b f(a)<0 f(a_n)<0 n

^x+ [a_nb_n]=(b-a)/2ⁿ 0 при n

{b_n}-ограниченная не возрастающая  lim b_n= f(b)>0 f(b_n)>0 n

^x+

В силу непрерывности функции lim f(a_n)=f (lim b_n)=f()0 lim (b_n-a_n)=-= lim (b-a)/2ⁿ=0=

^{x+ x+ x+ x+}

f()0

 f()=0 x₀=

f()=f()0

Условие непрерывности функции нельзя отбросить: f(b)>0; f(a)<0

Теоремы Вейштрасса.

1) Теорема: Пусть функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a,b]. Тогда она ограниченна на нём.

Замечание: а) Условие непрерывности нельзя отбросить

Неограниченна сверху  неограниченна

б) Нельзя заменить отрезок на интервал или

полуинтервал.

Непрерывна на (0;1]

2) Теорема: Пусть функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a,b]. Среди её значений есть наибольшее и наименьшее.

Замечание: а) Множество [0;1] наибольшее значение 1М

наименьшее значение 0  М

б) Множество (0;1]=М наибольшее значение 1М

нет наименьшего

в) Множество [0;1)=M нет наибольшего

наименьшее значение 0  М

г) Множество (0;1)=М нет ни того не другого.

Условие отрезка нельзя заменить на интервал или полуинтервал.

x(0;1] непрерывна на (0;1] нет наибольшего значения